<<
>>

4.2. Текущая стоимость

Текущая стоимость (present value) — дисконтированная стойкость бу­дущего денежного потока.

Ознакомившись со сложными процентами, мы можем приступить к изучению текущей стоимости.

При любом типе экономики, где капитал имеет стоимость, доллар сегодня стоит больше дол­лара, который должен быть получен через год, два, три. Поэтому

нам нухны средства идентификации денежных потоков во вре­мени, чтобы определить стоимость денег с учетом доходов буду­щих периодов. Зная текущую стоимость будзшшх денежных пото­ков, мы можем нивелировать разницу во временном распределе­нии денежных потоков.

Допустим, вам совершенно точно известно, что у вас будет возможность получить по 1000 дол. в конце каждого из ближай­ших двух лет. Если ваши издержки упущенных возможностей составляют 8% в год, то сколько стоит это предложение сейчас? Прежде всего следует решить вопрос, какая наличная сумма се­годня превратится в 1000 дол. по прошествии одного года при 8 % годовых? Находя TV в предыдущем разделе, мы умножали исходную сумму на (1 + г), где г — ставка процента. В данном случае нам известна TV и ставка процента, требуется найти соот­ветствующую начальную стоимость. Поэтому мы делим TV на ставку процента — операция, известная как дисконтирование. В нашем случае текущая стоимость (present value — PV) 1000 дол., которые должны быть получены в конце 1 года, равна:

PVX = 1000 дол./1,08 - 925,93 дол.

Аналогично находим PV1000 дол., которые должны быть по­лучены по прошествии 2 лет:

PV2 = 1000 дол./(1,08)* = 857,34 дол.

Вы видите, что PVi меньше PV1- Такое соотношение отвеча­ет общей идее стоимости денег с учетом доходов будущих пери­одов.

При определении PV полезно записывать данные так, чтобы отделить процентный коэффициент от суммы, которая будет по­лучена в будущем. Например, PV2 можно записать следующим образом:

PV2 = 1000 дол.|1/(1,08)2} = 857,34 дол.

Здесь мы вычленили процентную составляющую, что значи­тельно облегчает расчет PV. В таких расчетах процентная ставка обычно называется ставкой дисконтирования.

74

Ставка двсковтяроеашя (discount rate) — пропевшая ставка, исполь­зуемая для определения текущей стоимости будущих денежных потоков.

(4.4)

Общая формула для расчета PV суммы Хп, которая должна быть получена по прошествии « лет, где к — ставка дисконтиро­вания, имеет вид:

PV= Хп [1/(1 + к)п].

годы

Рве. 4.3. Текущая стоимость 100 дол. при ставке дисконтирования

5, 10 и 15%

Нужно отметить, что формула (4.4) является просто обратной формой выражения (4.1) ТУ для х дол.

На рис. 4.3 изображена РУ 100 дол., получаемых через 1— 10 лет при ставке дисконтирования 5, 10,15%.

Видно, что РУ100 дол. уменьшается по нисходящей тем боль­ше, чем позднее они будут получены. Конечно, чем больше про­центная ставка, тем меньше РУ и тем более резкая кривая. При ставке дисконтирования 15% РУ 100 дол., которые будут получе­ны через 10 лет, равна 24,72 дол.

РУ денежного потока, представляющего собой аннуитет из ряда равновеликих выплат за определенное число отрезков вре­мени, равна:

Л1

РУ= £*/(1+*)', (4.5)

1-1

где т — число отрезков времени, за которые происходят выплаты хпо прошес­твии каждого нэ них;

£ — сумма дисконтированных выплат в конце отрезков времени от 1 до т.

Если 1000 дол. ожидались в конце каждого из ближайших 2-х лет при ставке дисконтирования 8%, мы бы имели:

РУ= 1000 дол./(1,08) + 1000 дол./(1,08)2 = 925,93 + 857,34 =

- 1783,27 дол.

Составление таблиц текущей стоимости

К счастью, нет необходимости вручную подсчитывать PV по фор­муле (4.

4). Таблицы PV дают нам возможность легко определить PV 1 дол., который должен быть получен через много лет при за­данной ставке дисконтирования. Чтобы показать процесс состав­ления таблиц, мы сделаем некоторые расчеты, используя 10-про- центаую ставку дисконтирования. Допустим, мы хотим знать PV 1 дол., который будет получен через год:

PVX - 1/(1 + 0,-10) = 0,90909.

Аналогично через два года: , PVi = 1/(1 + 0,10)2 - 1/1,21 - 0,82645.

Таблицы PV освобождают нас от необходимости делать вы­числения каждый раз, когда это нужно. Из такой таблицы мы ви­дим, что при ставке дисконтирования 10% коэффициенты дис­контирования для 1-го и 2-го года составляют 0,90909 и 0,82645 соответственно, т. е. то же самое, что мы и получили.

Если объем денежных потоков непостоянен — 1 дол. через год, 3 дол. через 2 года, 2 дол. через 3 года — PV этих серий при ставке дисконтирования 10% составят

PV 1 дол., который будет получен через 1 год, равна 1 • (0,90909) -

= 0,90909 дол.

PV3 дол., которые будут получены через 2 года, равна 3 • (0,82645) =

— 2,47935 дол.

PV2 дол., которые будут получены через 3 года, равна 2 • (0,75131) =

_______________________________________________ - 1,50262 дол.

PV серии = 4,89106 дол.

Используя таблицы PV, мы можем подобным же образом рас­считать PV любой серии будущих денежных потоков.

Процедура для серий упрощается, если потоки денежных средств в будущих периодах однородны, как, например, анну­итет. Предположим, что в серии будущих денежных потоков 1 дол. должен быть получен в конце каждого из трех последу­ющих лет.

гГлжва 4. Сложше ороцеоты ■ текущая стоимость

Расчеты РУуюго потока таковы: : РУ 1 дол., который должен быть получен через 1 год = 0,90909 дол. РУ1 дол., который должен быть получен через 2 года — 0,82645 дол. РУ 1 дол., который должен быть получен через 3 года — 0,75131 дол. РУ серии = 2,48685 дол.

При четной серии денежных потоков делать эта расчеты не нужно, можно использовать коэффициент дисконтирования 2,48685, т.

е. просто умножить 1 дол. на 2,48685, чтобы получить 2,48685 дол.

Коэффициент дисконтирования — текущая стоимость одного доллара, который будет получен в далеком будущем.

Таблицы РУ для равномерных денежных потоков позволяют нам найти подходящий сложный коэффициент дисконтирова­ния. Коэффициент для равномерных серий денежных потоков за 3 года при ставке дисконтирования 10% равен 2,4868, как мы и рассчитали.

Таким образом, для равномерных денежных потоков мы просто умножаем соответствующий коэффициент дисконтирова­ния на денежный поток.

Использование таблиц текущей стоимости

Используя соответствующие таблицы РУ, можно рассчитывать РУ различных потоков денежных средств в будущем. Если прос­ледить пр любому из рядов значения ставки дисконтирования, то видно, что чем она больше, тем меньше коэффициент дисконти­рования. Линейной зависимости тут не существует, поскольку коэффициент дисконтирования уменьшается все медленнее и медленнее по мере роста ставки дисконтирования. Следователь­но, РУ суммы, которая будет получена в будущем, уменьшается по нисходящей по мере роста ставки дисконтирования. Эта вза­имосвязь показана на рис. 4.3. Когда ставка дисконтирования равна 0, РУ доллара, который должен быть получен в будущем, равна 1 дол. Иными словами, стоимость денег берется, без учета доходов будущих периодов. Однако по мере роста ставки дискон­тирования РУ уменьшается по нисходящей. По мере приближе­ния ставки дисконтирования к бесконечности РУ будущего дол­лара приближается к 0.

В качестве дополнительного примера использования таблиц, возьмем следующий случай. Нужно определить

77

РУ 500 дол., которые должны быть получены через 1 год, РУ400 дол., которые должны быть получены через 2 года, РК300 дол., которые должны быть получены через 3 года, РУ 200 дол., которые должны быть получены через 4—10 лет,

ставка дисконтирования 12%. Здесь мы имеем неравномерный денежный поток для первых 3 лет в равномерный денежный по­ток (или аннуитет) для 4—10 года.

/У первого потока следующая:

/У 500 дол. по прошествии 1 года — 500 дол. • (0,89286) = 446,43 дол. РУ400 дол. по прошествии 2 лет — 400 дол. • (0,79719) - 318,88 дол. /У300 дол. по прошествии 3 лет — 300 дол. • (0,71178) = 213,53 яол

- 978,84 дол.

Поскольку для второго денежного потока аннуитет начинает­ся не в нулевой год, а в начале четвертого, мы находим ІТанну­итета на 10 лет, вычитаем РУ за первые 3 года и получаем РУ ан­нуитета для 4—10 года.

і^200 дол. за 10 лет - 200 • (5, 6502) = 1130,04 дол. РУ 200 дол. за 3 года - 200 .• (2, 4018) = 480,36 гтп

= 649,68 дол.

Таким образом, РУ всех денежных потоков равна: РУ неравномерного потока = 978, 84 дол.

/^равномерного потока ~ 649,68 тгол.

= 1628,52 дол.

Существует большой спектр проблем, связанных с расчетами РУ, и чтобы разобраться в большинстве из них, обратите внима­ние на задания в конце главы.

При помоши калькуляторов расчеты РУ и ТУ значительно уп­рощаются. Если же имеются встроенные функции, то задача сво­дится к нажатию кнопок. Кроме того, есть компьютерные прог­раммы с большой разрешающей способностью, однако в некото­рых случаях проще и легче воспользоваться таїблицами, поэтому мы уделили им столько внимания.

Текущая стоимость при начислении процентов более одного раза в год

Если проценты выплачиваются чаще, чем раз в год, формула для расчета РУ должна быть пересмотрена аналогично тому, как мы это сделали с формулой для ТУ. Вместо того чтобы делить объем будущего денежного потока на (1+Л)", как при начислении про­центов один раз в год, мы рассчитываем РУ следующим образом:

РУ=хЛ\ +к/т)тп, (4.6)

где х„ — поток денежных средств во прошествии л лет; т — сколько раз в год начисляются проценты; к — ставка дисконтирования.

Ній 4. Сложные В^МЯТН ■ пцші сговмость

" Допустим, через 3 года должны быть получены 100 дол., став­ка дисконтирования равна 10%,. проценты начисляются ежеквар­тально:

РУ- 100 дол./(1 + 0,10/4) = 74,36 дол.

С другой стороны, если начисление производится раз в пол­года, то

РУ" 100 дол./(1,10)3 - 75,13 дол.

Таким образом, чем реже начисление процентов, тем больше РУ, т. е. взаимосвязь обратна той, которая существует для ТУ. В приложении к данной главе показано, как рассчитывать РУ при непрерывной выплате процентов. Для иллюстрации взаимос­вязи между РУ и частотой начисления процентов рассмотрим наш пример с сотней долларов, которые будут получены через три года при ставке дисконтирования 10%. В приведенной табли­це иллюстрируется эта взаимозависимость (при начислении раз в полгода т — 2, а тп ■ 6 в (4.6); если проценты начисляются ежемесячно, /и = 12, а тп = 36).

НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ, дол.
Раз в год 75,13
Раз в полгода 74,62
Раз в квартал 74,36
Раз в месяц 74,17
Непрерывно 74,08

Ясно видно, РУ уменьшается по нисходящей по мере сокра­щения интервалов выплат, устремляясь к значению непрерывно­го начисления.

Хотя важно понять механику дисконтирования, когда про­центы начисляются чаще, чем раз в год, все расчеты РУ в этой книге подразумевают выплату процентов раз в год. Тем не менее, следует уметь обращаться с дисконтированием при многоразовом начислении.

Определение срока эксплуатации

79

В предыдущем разделе мы находили РУ, зная ставку процента, срок и размеры денежных поступлений. В данном разделе мы бу­дем находить срок по трем остальным переменным. Для примера возьмем следующий случай: за 10 ООО дол. вы можете приобрести некий актив, приносящий по 2000 дол. ежегодно, пока не устаре-

ет и не перестанет приносить доходы, а также не утратит всякую стоимость. Издержки упущенных возможностей для этого актива составляют 18%. Каков должен быть срок его службы, чтобы ин­вестиция была выгодной? В данном случае мы имеем дело с ан­нуитетом, приносящим 2000 дол. в год. Итак:

10 ООО дол. - 2000 дол./(1,18) + 2000 дол./(1,18)2 + + ... + 2000 дол./(1,18)п.

Нужно найти я, дающее 10 ООО дол., в правой часта равенства. Прежде всего разделим размер инвестиции, 10 000 дол., на ежегод­ный доход, 2000 дол., и получим 5,0. По таблице найдем, что при ставке 18% коэффициент дисконтирования равен 5,0081 для 14 лет и 4, 9095 для 13 лет. Следовательно, срок эксплуатации актива должен быть около 14 лет, чтобы инвестиция стала эффективной.

<< | >>
Источник: Ван Хорн Дж. К.. Основы управления финансами: Пер. с англ ./Гл. ред. серии Я. В. Соколов. - М.: Финансы и статистика, - 800 с.. 2003

Еще по теме 4.2. Текущая стоимость:

  1. 10.2.4 Текущая стоимость единицы (реверсии)
  2. 10.5.5 Текущая стоимость аннуитета
  3. Чистая текущая стоимость
  4. 8.4. Текущая стоимость аннуитета
  5. 1.7.5 Текущая стоимость платежа
  6. 5.2.1.4. Текущая стоимость аннуитета
  7. 6.3. Показатели эффективности инвестиционных проектов, определяемые на основании использования концепции дисконтирования 6.3.1. Чистая текущая стоимость
  8. Тема 6. Оценка инвестиций по чистой текущей стоимости
  9. 5.1. Метод чистой текущей стоимости
  10. 1.3. Расчет текущей стоимости с многоразовых поступлений от инвестиций
  11. 1.4. Определение текущей стоимости «вечных» проектов
  12. Метод расчета чистой текущей стоимости инвестиционного проекта
  13. Характерные ошибки при использовании критерия чистой текущей стоимости
  14. Пример расчета чистой текущей стоимости инвестиционного проекта
  15. ГЛАВА 4. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ И ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ
  16. 4.2. Текущая стоимость
  17. 13.3. Сравнение методов текущей стоимости и внутренней нормы прибыли
  18. 3.2.2. Текущая стоимость единицы (реверсии)
  19. 3.2.3. Текущая стоимость аннуитета
  20. 4.3. Текущая стоимость единицы (реверсия)