4.9.3. Оптимизация портфеля с помощью модели Шарпа

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом. • Основные допущения модели Шарпа:

• в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое оэ/сидание доходности;

• существует некая безрисковая ставка доходности Я/, т.

с. доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами;

• взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности ценной бумаги) с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности рынка) описывается функцией линейной регрессии;

• под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;

• считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие значения доходности.

По модели Шарпа отклонения доходности ценной бумаги связываются с отклонениями доходности рынка функцией линейной регрессии вида:

(л-Я_у) = а + р-(/?_ш-/?Д

где (г, - /?/) — отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой; (/?,„ - /?/) — отклонение доходности рынка от безрисковой; а, р — коэффициенты регрессии.

Исходя из этой формулы, можно по прогнозируемой доходности рынка ценных бумаг в целом рассчитать доходность любой ценной бумаги, его составляющей:

Я, = -ЯД

где а„ Р, — коэффициенты регрессии, характеризующие данную ценную бумагу.

Теоретически, если рынок ценных бумаг находится в равновесии, то коэффициент а, будет равен нулю. Но так как на практике рынок всегда разбалансирован, то а, показывает избыточную доходность данной ценной бумаги (положительную или отрицательную), т. е. насколько данная ценная бумага переоценивается или недооценивается инвесторами.

Коэффициент р называют Р-риском, т.

к. он характеризует степень зависимости отклонений доходности ценной бумаги от отклонений доходности рынка в целом. Основное преимущество модели Шарпа — математически обоснована взаимозависимость доходности и риска: чем больше р-риск, тем выше доходность ценной бумаги.

Кроме того, модель Шарпа имеет особенность: существует опасность, что оцениваемое отклонение доходности ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называют остаточным риском. Остаточный риск характеризует степень разброса значений отклонений доходности ценной бумаги относительно линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднее квадратическое отклонение эмпирических точек доходности ценной бумаги от линии регрессии. Остаточный риск /-ой ценной бумаги обозначают о,/.

Другими словами, показатель риска вложения средств в данную ценную бумагу определяется р-риском и остаточным риском а,.

В соответствии с моделью Шарпа доходность портфеля ценных бумаг — это среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом Р-риска. Доходность портфеля определяется по формуле:

Я_р = Л/ + Е («/ •)⁺ (*« -X/ у Е (Р/ ■ Ъ х

1=1 /=1

где Rf— безрисковая доходность;

Я_т — ожидаемая доходность рынка в целом.

Риск портфеля ценных бумаг может быть найден с помощью оценки среднего квадратичного отклонения функции Rf\\ определяется по формуле:

ХФгЪ) (ОІ-»?),

) /«1

где а„ — среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, т. е. показатель риска рынка в целом; р„ ст_5/ — Р-риск и остаточный риск і-ой ценной бумаги;

С использованием модели Шарпа для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:

/=| 1=1

І(Рг^)] +1

^1=1 У 1=1

Обратная задача выглядит аналогичным образом:

X, + X (а, -IV,)+ (Л_и -Л, )• X (Р,- -Г,) > Я_геч;

/=1

V/=1 У 1=1

И', >&, [1^=1.

При практическом применении модели Шарпа для оптимизации фондового портфеля используются следующие допущения и формулы.

1) Обычно в качестве безрисковой ставки доходности /^принимают доходность государственных ценных бумаг, например, облигаций внутреннего государственного займа.

2) В качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период / используются экспертные оценки рыночной доходности от аналитических компаний, из средств массовой информации и т. п. В условиях развитого фондового рынка для этих целей принято использовать какие-либо фондовые индексы. Для не очень большого по количеству ценных бумаг фондового рынка принимается среднее значение доходности ценных бумаг, составляющих рынок, за этот же период /:

где г_ш — доходность рынка ценных бумаг в период г„ — доходность /-ой ценной бумаги за период Л 3) Р-риск ценной бумаги рассчитывается по формуле:

V г ^ ( г

г — V? ^/=1 ^ГИ ^Kfi-------

----------------

'ml

р,=

f = 1

-R_fi - - T

'mi

где Р/ — Р-риск /-ой ценной бумага;

/?/, — безрисковая доходность в период /;

Т— рассматриваемое количество периодов времени.