15.7. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ БЛЭКА-ШОУЛЗА

Рабочая книга Более реалистичная и часто используемая на практике модель оценки стоимости опционов на акции — это модель Блэка—Шоулза". При ее выводе используются соображения, аналогичные 15.7 описанным выше, однако при этом предполагается осуществление непрерывной корректировки дублирующего портфеля.

В исходную формулу Блэка—Щоулза для определения цены европейского опциона "колл", входят пять параметров, значение четырех из которых доступны инвесторам:

курс акций 5, цена исполнения Е, безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка в пересчете на год для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона) г, и промежуток времени до срока истечения опциона Т.

(15.4)

С = N (й1)Б — N (й 2) Ее —Т 1п(5 / Е) + (г + о2 /2)Т

с4Т

Р = С — 5 + Ее-гТ где 13

С — цена опциона "колл" •У — курс акций

Е — цена исполнения опциона .

К — безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка

(в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона))

Г—промежуток времени до срока истечения опциона в годах

а— риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в расчете на год) 1п—натуральный логарифм

е — основание натурального логарифма (приблизительно 2,71828)

М(а) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше РксНег В1ас1с, ап(1 А/угоп ИсШез, "ТНе рпстЛ о/ ОрИом апй ОЛег Согрога1е ЫаЫИИе5 ", Лита1 о/РоПНса! Есопоту, 81 (Мау/Лпе 1973).

Непрерывно начисляемая ставка доходности равна натуральному логарифму (1+ ставка доходности).

паритета опционов "пут" и "коля", т.е. воспользовавшись соотношением Р = С - 8 + Ее'Л. В результате получаем формулу для нахождения стоимости опциона "пут": р=(N а,)—1)5+(1—N а 2 ))Ее-гт

При выводе своего уравнения Блэк и Шоулзпредположили, чтоДо даты истечения опциона выплата дивидендов не производится. Мертон обобщил эту модель, добавив к ней возможность получения постоянного дивидендного дохода,' №14 В результатЛ была получена формула для оценки стоимости опциона с учетом дивидендов:

С = N (йх)Бе-йТ — N (й 2)Ее~гТ , 1п(5 / Е) + (г — й + а2 / 2)Т

й = т= (15.5)

а4Т

й2 = й1 —&4Т

Обратите внимание на тот факт, что ожидаемая доходность акций в выражении для оценки стоимости опциона в явном виде не фигурирует. Ее влияние осуществляется через изменение курса акций. Любые изменения в ожиданиях Относительно будущего курса акций или ожидаемой доходности от инвестиций в акции будут приводить к изменению курса акций и, таким образом, к изменению стоимости опциона "колл". Однако при любом заданном курсе акций цену опциона можно определить и не зная ожидаемой доходности акций. Финансовые аналитики, спорящие по поводу ожидаемой доходности акций, вполне могут, исходя из складывающегося курса акций, прийти к единому мнению относительно цены опциона.

В реальной ситуации ни изменчивость (о), ни дивидендная доходность акции (а) не известны с полной определенностью, и опыт свидетельствует о том, что обе эти величины подвержены случайным изменениям с течением времени. На практике используются специально разработанные модели, учитывающие вероятностный характер этих переменных. Расчет с использованием формулы оценки стоимости опциона с корректировкой по выплате дивидендов, выраженной уравнением 15.5, легко проводится с применением электронных таблиц. Один из примеров таких расчетов включен в качестве приложения к этому учебнику. Для удобства представим информацию в виде таблицы, подобно тому, как это сделано при расчете приведенной стоимости в главе 4; Предположим, например, что мы хотим рассчитать стоимость опционов "колл" и "пут" сроком на шесть месяцев с ценой исполнения 100 долл., для которых курс подлежащих акций равен 100 долл., дивидендная доходность составляет 3% годовых, а изменчивость курса акций равна 0,20.

Таблица 15.7. Таблица расчета стоимости опциона 5 Е Я Т й о Результаты 100 100 0,08 0,5 0,03 0,2 С=6,79 долл. Р=4,35 долл. V " КоЬеП С. МеНоп, "ТНеогу о/КаНопа! ОрНоп РпстЛ", Ве11Лита1 о/ Мапаутеп! 8с1епсе, 4 (Зрппе 1973).

В табл. 15.8 кратко охарактеризовано влияниешести исходных параметров на цены опционов "колл" и опционов "пут", всоответствии с уравнением 15.5. Эта таблица интерпретируется следующим образом.

Увеличение курса подлежащих акций приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

Увеличение цены исполнения приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

Усиление изменчивости курса акций приводит к росту цен как на опционы "колл", так и на опционы "пут".

Увеличение промежутка времени до даты истечения опциона приводит к росту цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут" 15.

Увеличение процентной ставки приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

Увеличение дивидендной доходности приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

В частном случае, когда курс акций, лежащих в основе опциона, равен приведенному значению цены "страйк"

(т.е. 5 = Ее-т

), для расчета цен опционов можно использовать удобную приближенную формулу —

—=0>м4т

Такое приближение справедливо и для цены опционов "пут". Таким образом, если курс акций равен 100, цена "страйк" равна 108,33 долл., срок истечения составляет один год, безрисковая процентная ставка составляет 8%, выплаты по дивидендам равны нулю, а изменчивость курса равняется 0,20, приблизительная стоимость как опциона "колл", так и опциона "пут" равна 0,08 цены акций, или 8 долл16.

Если для расчета соответствующих цен на такие опционы воспользоваться точной формулой (уравнение 15.5), окажется, что приближенная формула дает достаточно точные результаты:

Это относится только к американским опционам.

Обратите внимание на тот факт, что процентная ставка в приближенную формулу невходит.

Контрольныйгвопрос 15»7 •

Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, равна не 0,2, как в рассмотренном выше примере, а 0,3. Чему равна приблизительная цена