<<
>>

15.7. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ БЛЭКА-ШОУЛЗА

Рабочая книга Более реалистичная и часто используемая на практике модель оценки стоимости опционов на акции — это модель Блэка—Шоулза". При ее выводе используются соображения, аналогичные 15.7 описанным выше, однако при этом предполагается осуществление непрерывной корректировки дублирующего портфеля.

В исходную формулу Блэка—Щоулза для определения цены европейского опциона "колл", входят пять параметров, значение четырех из которых доступны инвесторам:

курс акций 5, цена исполнения Е, безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка в пересчете на год для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона) г, и промежуток времени до срока истечения опциона Т.

Эта формула имеет вид: й1 =-

(15.4)

С = N (й1)Б — N (й 2) Ее —Т 1п(5 / Е) + (г + о2 /2)Т

с4Т

Р = С — 5 + Ее-гТ где 13

С — цена опциона "колл" •У — курс акций

Е — цена исполнения опциона .

К — безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка

(в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона))

Г—промежуток времени до срока истечения опциона в годах

а— риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в расчете на год) 1п—натуральный логарифм

е — основание натурального логарифма (приблизительно 2,71828)

М(а) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше РксНег В1ас1с, ап(1 А/угоп ИсШез, "ТНе рпстЛ о/ ОрИом апй ОЛег Согрога1е ЫаЫИИе5 ", Лита1 о/РоПНса! Есопоту, 81 (Мау/Лпе 1973).

Непрерывно начисляемая ставка доходности равна натуральному логарифму (1+ ставка доходности).

Выражение для стоимости опциона "пут" можно получить, произведя подстановку величины С из уравнения

паритета опционов "пут" и "коля", т.е. воспользовавшись соотношением Р = С - 8 + Ее'Л. В результате получаем формулу для нахождения стоимости опциона "пут": р=(N а,)—1)5+(1—N а 2 ))Ее-гт

При выводе своего уравнения Блэк и Шоулзпредположили, чтоДо даты истечения опциона выплата дивидендов не производится. Мертон обобщил эту модель, добавив к ней возможность получения постоянного дивидендного дохода,' №14 В результатЛ была получена формула для оценки стоимости опциона с учетом дивидендов:

С = N (йх)Бе-йТ — N (й 2)Ее~гТ , 1п(5 / Е) + (г — й + а2 / 2)Т

й = т= (15.5)

а4Т

й2 = й1 —&4Т

Обратите внимание на тот факт, что ожидаемая доходность акций в выражении для оценки стоимости опциона в явном виде не фигурирует. Ее влияние осуществляется через изменение курса акций. Любые изменения в ожиданиях Относительно будущего курса акций или ожидаемой доходности от инвестиций в акции будут приводить к изменению курса акций и, таким образом, к изменению стоимости опциона "колл". Однако при любом заданном курсе акций цену опциона можно определить и не зная ожидаемой доходности акций. Финансовые аналитики, спорящие по поводу ожидаемой доходности акций, вполне могут, исходя из складывающегося курса акций, прийти к единому мнению относительно цены опциона.

В реальной ситуации ни изменчивость (о), ни дивидендная доходность акции (а) не известны с полной определенностью, и опыт свидетельствует о том, что обе эти величины подвержены случайным изменениям с течением времени. На практике используются специально разработанные модели, учитывающие вероятностный характер этих переменных. Расчет с использованием формулы оценки стоимости опциона с корректировкой по выплате дивидендов, выраженной уравнением 15.5, легко проводится с применением электронных таблиц. Один из примеров таких расчетов включен в качестве приложения к этому учебнику. Для удобства представим информацию в виде таблицы, подобно тому, как это сделано при расчете приведенной стоимости в главе 4; Предположим, например, что мы хотим рассчитать стоимость опционов "колл" и "пут" сроком на шесть месяцев с ценой исполнения 100 долл., для которых курс подлежащих акций равен 100 долл., дивидендная доходность составляет 3% годовых, а изменчивость курса акций равна 0,20.

Безрисковая ставка равна 8% годовых. Исходные и выходные данные программы оценки стоимости опционов представлены в табл. 15.7.

Таблица 15.7. Таблица расчета стоимости опциона 5 Е Я Т й о Результаты 100 100 0,08 0,5 0,03 0,2 С=6,79 долл. Р=4,35 долл. V " КоЬеП С. МеНоп, "ТНеогу о/КаНопа! ОрНоп РпстЛ", Ве11Лита1 о/ Мапаутеп! 8с1епсе, 4 (Зрппе 1973).

В табл. 15.8 кратко охарактеризовано влияниешести исходных параметров на цены опционов "колл" и опционов "пут", всоответствии с уравнением 15.5. Эта таблица интерпретируется следующим образом.

Увеличение курса подлежащих акций приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

Увеличение цены исполнения приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

Усиление изменчивости курса акций приводит к росту цен как на опционы "колл", так и на опционы "пут".

Увеличение промежутка времени до даты истечения опциона приводит к росту цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут" 15.

Увеличение процентной ставки приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

Увеличение дивидендной доходности приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

В частном случае, когда курс акций, лежащих в основе опциона, равен приведенному значению цены "страйк"

(т.е. 5 = Ее-т

), для расчета цен опционов можно использовать удобную приближенную формулу —

—=0>м4т

Такое приближение справедливо и для цены опционов "пут". Таким образом, если курс акций равен 100, цена "страйк" равна 108,33 долл., срок истечения составляет один год, безрисковая процентная ставка составляет 8%, выплаты по дивидендам равны нулю, а изменчивость курса равняется 0,20, приблизительная стоимость как опциона "колл", так и опциона "пут" равна 0,08 цены акций, или 8 долл16.

Если для расчета соответствующих цен на такие опционы воспользоваться точной формулой (уравнение 15.5), окажется, что приближенная формула дает достаточно точные результаты:

Это относится только к американским опционам.

Обратите внимание на тот факт, что процентная ставка в приближенную формулу невходит.

Контрольныйгвопрос 15»7 •

Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, равна не 0,2, как в рассмотренном выше примере, а 0,3. Чему равна приблизительная цена

<< | >>
Источник: Зви Боди, Роберт Мертон. Финансы. 2007

Еще по теме 15.7. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ БЛЭКА-ШОУЛЗА:

  1. 3.2. «Паутинообразная» модель ценообразования
  2. 15.7. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ БЛЭКА-ШОУЛЗА
  3. Основные термины
  4. 17.3.2. Применение формулы Блэка-Шоулза для оценки стоимости реальных опционов
  5. МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ (синоним МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ НА РЫНКЕ КАПИТАЛЬНЫХ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ)
  6. 10.3. Модели ценообразования на рынке капиталов
  7. Глава 13. МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКТИВОВ
  8. МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКТИВОВ
  9. Глава 14. ОПЦИОНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ОПЦИОНОВ 14.1.
  10. Исторические аспекты налогового планирования в условиях развития теорий финансового менеджмента
  11. Глава 13 . МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКТИВОВ
  12. МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКТИВОВ
  13. Модель Блэка-Шоулза для определения стоимости опциона
  14. Выводы
  15. § 32.1. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛЗА
  16. § 32.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛЗА ДЛЯ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ РЕАЛЬНЫХ ОПЦИОНОВ НА РАСШИРЕНИЕ БИЗНЕСА
  17. Теория ценообразования опционов
  18. Модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза
  19. Варранты