<<
>>

5.5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА ЭФФЕКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ 5.5.1. Многокритериальные задачи

Задача многокритериальной оптимизации — это задача с несколькими критериями, которые с разных сторон характеризу­ют различные решения. Чаще всего заранее выделено направле­ние улучшения каждого критерия, например его увеличение.
Но одновременное увеличение всех критериев практически всегда не­возможно. Скажем, имея некоторую ограниченную сумму де­нег, нельзя купить побольше и сахара, и муки. Более конкрет­но можно сказать так: «Имея деньги в количестве S при ценах на сахар Рс и на муку Рм, можно купить такое количество сахара Хс и такое количество муки Хм, что РСХС + РЫХМ < S, Хс > О, А-,,>0».

На рис. 5.3. показана область АВО, любая точка которой удов­летворяет этому нестрогому неравенству. Все границы включены в область допустимых значений. Нам хотелось иметь одновремен­но шах Хс и max Хи, но это невозможно.

Поэтому в этой задаче, как и в других многокритериальных задачах, речь ведут не об оптимальных решениях, а об эффектив­ных.

Вспомним: вектор значений показателей X (X = {Хс, Хи) в на­шем примере) называют эффективным (или оптимальным по Па- рето), если в множестве имеющихся показателей нет другого та­кого, который был бы не хуже X по всем компонентам и превос­ходил X хотя бы по одной компоненте.

I, Рис. 5.3. Соотношение между объемами покупок


Эффективные решения — это такие решения, которые не мо­гут быть улучшены сразу по всем критериям. н Возникает вопрос, как искать решение, как формализовать задачу (ведь, наверняка, потребуется использование ЭВМ), как согласовать противоречивые стремления? Перечислим некоторые возможные способы действий.

Можно взять сумму критериев, в которую каждый критерий войдет с каким-то сомножителем («весом критерия»). Можно ка­ким-либо другим образом объединить (говорят «свернуть») исход­ные критерии в один. Иногда критерии предварительно упорядо­чивают по важности, а затем последовательно решают несколько оптимизационных задач (число задач равно числу критериев) в порядке убывания важности критериев.

Если после упорядочивания критериев по важности оказыва­ется, что первый критерий К] существенно важнее всех осталь­ных, критерий К2 намного важнее всех критериев, кроме К]; кри­терий К} существенно важнее всех, кроме К1 и К2, и т.д., то есте­ственно считать, что г-ое решение (альтернативу) лучше _/-го решения (/-ой альтернативы), когда это /-ое решение лучше у-го по критерию К{. Если /-ое иу'-ое решения эквивалентны по К}, то предпочтение отдается лучшему по критерию К и т.д. Такое упо­рядочение называется лексикографическим, оно возможно лишь при значительной неравноценности критериев. В приводимой табл. 5.8 дается пример такого упорядочивания пяти альтернатив

Аь ...,Л5 по четырем критериям Кх.................... К4. В клетках — значения

а,У для г-ой альтернативы по _/-му критерию.

Таблица 5.8 Результаты многокритериального оценивания
А К
место
Л 20 10 15 30 II
А2 20 10 15 25 III
Лз 20 14 11 20 I
Л4 15 16 16 25 IV
А 5 10 18 20 30 V

По каждому критерию хотим иметь максимум, ДГ, — самый важный, К4 — самый неважный.

Можно для каждого критерия сразу задать границу, за кото­рую не должны выходить значения критерия, и искать оптималь­ное решение поочередно по каждому критерию, считая, что ос­тальные укладываются в заданные границы (то есть практически сразу вводя дополнительные ограничения, которые могут появ­ляться из каких-то соображений или решения оптимизационных задач, внешних по отношению к данной задаче). Иногда исполь­зуют парные сравнения значений критериев.

Для примера с мукой и сахаром можно было бы искать реше­ние, задавшись дополнительным ограничением снизу на объем закупки, например, сахара:

Тогда получилась бы просто однокритериальная задача:

хм шах;

-» . РМХМ + Рсхс —

хс0.

В данной простой ситуации решение находится сразу из фи­нансового ограничения или из графика. При большом количестве переменных, критериев и ограничений задача становится намно­го сложнее.

Распространенным является следующий способ решения много­критериальных задач. Решают оптимизационную задачу с одним первым критерием, считая, что других критериев нет. Потом реша­ют задачу с одним вторым критерием. И так далее. После выявления тех экстремальных уровней, которые в принципе достижимы по каж­дому критерию в отдельности, для каждого критерия, начиная с наи­более важного, задается порог, который не должен нарушаться. За­тем считают условие нерушимости порога по первому критерию ог­раничением, решают задачу оптимизации для второго критерия, добавляют ограничения по порогу второго критерия, решают зада­чу для третьего критерия и т.д. Поясним сказанное примером.

Пример 5.10. Предприимчивая тетя покупает в одном месте муж­ские свитера (в количестве не более 60 штук), в другом — женские (не более 40 штук). С помощью мягкой щетки она делает начес и продает по 2 условные единица за мужские и по 4 единицы за жен­ские. За некоторый единичный интервал времени она может наче­сать не более 80 свитеров. Поскольку тетя хочет удержаться и на рынке мужских свитеров (пусть их индекс М), и на рынке женских свитеров (пусть их индекс Ж), постольку она интересуется не мак­симумом дохода или прибыли, а оценками сразу по нескольким критериям. Пусть закупочные цены в условных единицах таковы: мужские свитера по 1 ед / шт., женские по 2 ед / шт. Оптимизацион­ная задача тети выглядит так (хм, хж — объемы закупок):

= 2хм —> шах;

К2 - 4хж —» тах;

Кь= хм + 2хж —> min;

0 < < 60;

0йхжй40;

хмж П] = 100), П2 = 112 (хочет иметь К22 = 112)иЯ3= 120 (tf3£/73 = 120).

'. /-и - г .' :

' ■ .к го >'■»

! l! VA'! .Vi.-;

1Ч.,Ц vi-.!*! ■>'•-.. .f. -hi

0 K3 420 40 60 BO 100 Рис. 5.4. Иллюстрация к примеру задачи с тремя критериями
ч !!'Г»

'f л.

'■Jti'p- ■■ •••• ^ 'jli^ »НмйК---'

- )'.

. • ivai



Сначала она решает такую задачу:

*„,

- 40;

мкШ; 4х^ > 112

/ -Л О! г / - м. '

■'ч-г, :.

и,



(что дает хм > 50, хж > 28) с целевой функцией К3м + 2хж —>min. Ясно, что решением будет .хл = 50, хж = 28 с К$= 106 < 120 = Я3, чем и завершится данная задача. Если бы было Я3 = 95, то реше­ния в данной задаче не существовало.

Важно, что каждый из способов работы со многими критери­ями возможен только при определенных условиях, в каких-то рам­ках. При решении многокритериальных задач появляются специ­фические проблемы, которых нет в однокритериальных задачах, и эти проблемы зачастую не удается до конца разрешить. Поэто­му работа с многокритериальными задачами всегда трудна и тре­бует высокой квалификации исследователя.

<< | >>
Источник: Шапкин А. С., Шапкин В. А.. Теория риска и моделирование 11123 рисковых ситуаций: Учебник. — М.: Издательско-торговая кор­порация «Дашков и К0», — 880 с.. 2005

Еще по теме 5.5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА ЭФФЕКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ 5.5.1. Многокритериальные задачи:

  1. Алгоритм решения многокритериальной задачи в общем случае.
  2. 5.5.3. Выбор решений при наличии многокритериальных альтернатив
  3. 1.3. Связь различных способов описания выбора. Однокритериальный и многокритериальный выбор
  4. 3.1. Обзор методов многокритериального выбора корпоративного управления
  5. 5.6. Многокритериальный выбор в условиях неопределенности
  6. Глава 5. Методы многокритериального выбора на основе дополнительной информации
  7. Глава 16. Quick Choice — система многокритериального выбора вариантов
  8. Лекция № 1 3. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
  9. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности
  10. Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности
  11. 2.1. Методы многокритериальной оптимизации
  12. Неопределенность и многокритериальность.
  13. 3.4. Метод многокритериальной оптимизации корпоративных структур
  14. 3.3. Метод многокритериальной оптимизации механизма корпоративного управления на основе теории графов
  15. 4.5.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО АНАЛИЗА ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ МАРКЕТИНГА В СИСТЕМЕ MARKETING EXPERT
  16. 1.1. Постановка задачи принятия решений. Критериальный язык описания выбора
  17. Многокритериальный характер системы и структуры рынка
  18. 1.2. Описание выбора на языке бинарных отношений. Формальные модели задачи принятия решений
  19. 6.6. Выбор оптимального портфеля с помощью аппарата линейного программирования 6.6.1. Графическое решение задачи
  20. 3.2. Метод многокритериальной оптимизации механизма корпоративного управления на основе анализа множества Парето