<<
>>

Нечеткая кооперативная игра

— это положительно однородная функция V : [0,1]п —т- IR , которая ставит в соответствие каждой нечеткой коалиции г ее выигрыш V{г) .

Как и в стандартном случае, функцию V будем называть характеристической функцией.

Положительная однородность функции V означает, что У(0) = 0 ? IRn (ср. и(0) = 0 в случае стандартных кооперативных игр) и V(А г) = A V(T) ДЛЯ А ? IR_|_ . Последнее предположение позволяет нам продолжить характеристическую функцию V с единичного куба [0,1]п на , полагая

Нечеткие кооперативные игры в различных контекстах изучались многими авторами (см., например, Васильев, 1984 Данилов, Сотсков, 1983; Экланд, 1983; Aubin, 1979, 1981а,b Aumann, Shapley, 1974; Baudier, 1973; Billot, 1992; Owen, 1972 Pechersky, 1986; Rosenmueller, 1977; Shapley, Shubik, 1969 и ДР-)-

(Безусловно, требование положительной однородности не является обязательным, однако семейство положительно однородных нечетких кооперативных игр само по себе достаточно обширно и представляет самостоятельный интерес.)

Введение в рассмотрение нечетких коалиций — это в не-котором смысле попытка «убить двух зайцев»: с одной стороны, рассмотрение нечетких коалиций представляет собой один из возможных способов отказа от довольно жесткого условия участия игрока лишь в одной коалиции, а с другой — это один из возможных способов обхода трудностей, связанных с конечностью множества всех коалиций, структура которого очень бедна, что приводит к тому, что получающиеся результаты, по замечанию Обена, «либо тривиальны, либо очень сложны» (Обей, 1988).

Один из вариантов интерпретации следующий (см., например, Ауман, Шепли, 1974; Обей, 1988). Поскольку мы интерпретировали всякое подмножество множества I как коалицию игроков, то всякое нечеткое подмножество — своего рода идеализированное множество, заданное с помощью указания для каждой точки множества некоторого веса, значение которого лежит в промежутке между 0 и 1 и который означает «степень принадлежности» точки множеству — мы будем (в соответствии с определением) интерпретировать г как нечеткую коалицию игроков, а числа тг- — как степень участия (принадлежности) игрока i в коалиции т.

Игрок полностью участвует в г , если тг- = 1, он совсем не участвует в ней, если г; = 0, и он участвует в ней частично, если тг- G (0,1). Так как множество нечетких коалиций [0,1]п представляет собой выпуклую оболочку множества обычных коалиций {0,1}п, то всякую нечеткую коалицию можно записать в виде

T = ^2/iseS, где =

S S

Тогда степень участия игрока тг-, i ? I определяется по формуле

П = Е Vs-

s-.ies

Следовательно, если ps интерпретировать как вероятность того, что образуется коалиция S , то степень участия игрока г — это сумма вероятностей формирования коалиций S , которым i принадлежит.

Достаточно удачной представляется возможная интерпретация соответствующих компонент тг- как времени, то есть Ti — это то время, которое игрок i «готов трудиться» на коалицию г .

Перейдем теперь к обсуждению понятия сбалансированного набора коалиций (в духе Экланда), нечетких коалиций, определим каноническое представление стандартных кооперативных игр и рассмотрим еще одну полезную интерпретацию нечетких коалиций. Предположим, что коалиции представляют своих участников (или интересы своих членов). Предположение, что каждый игрок является участником только одной коалиции, очень сильно. Обычно один и тот же индивид может участвовать в нескольких коалициях, организациях, принимать участие в различной деятельности, причем каждая такая коалиция «защищает» его интересы. Однако, если индивид i является участником одновременно двух коалиций, скажем, 5*1 и S2 , то он не может быть полностью представлен по отдельности ни коалицией Si, ни коалицией S2, поскольку каждая из этих коалиций считает его своим членом. (Далее, как и всегда, мы будем называть участников игроками). Иными словами, (см. Данилов, Сотсков, 1983) участник не обязан полностью включаться в одну коалицию, а может делить свою активность (и соответственно получать вознаграждение в виде каких-то результатов деятельности коалиций) между несколькими различными коалициями («играть несколько ролей»). Поставим в соответствие каждому игроку i и каждой из этих двух коалиций такую степень участия

/4 > 0, /4 > 0, что + /4 = 1.

Это равенство означает, что эти две коалиции полностью представляют i. Если рг3 = 0 , то i ^ Si ; если же рг3 = 1, то эта коалиция полностью представляет игрока i.

Предположим теперь, что рг3 + рг3 < 1. Это неравенство соответствует тому случаю, когда игрок i не представлен полностью этими двумя коалициями. Ясно, что этот подход может быть легко обобщен на случай более чем двух коалиций, а поэтому мы можем связать с каждой коалицией S семейство таких чисел рг3 , что рг3 есть степень участия игрока i в коалиции S .

Потребуем теперь, чтобы каждая коалиция представляла своих участников в равной степени, то есть чтобы выполнялось равенство рг3 = для всех i,j ? S. Это общее значение будем обозначать через ps ¦ Как отмечает А. Билло (Billot, 1992): «... ничто не дает нам повода для экономического

объяснения, почему агенты принадлежат к различным уровням принадлежности коалиции». (В этом смысле «временная» интерпретация степени участия приводит к тому, что разное время участия вызывает, так сказать, «распад» коалиции.) Таким образом, каждый игрок i «разделен» между коалициями и полностью представляется семейством ? коалиций S, если

Е Ms = 1.

iesez

Неравенство < 1 означает, естественно, что игрок i

лишь «частично» представлен семейством ? .

Ясно, что такое семейство коалиций ? и соответствующий набор чисел {ps}seB определяет нечеткую коалицию т следующим образом:

Е =

s :ies ев.

Более того, любая нечеткая коалиция г ? [0,1]п определяется некоторыми наборами ? и {ps}seB , которые могут, разуме-ется, быть не единственными. Мы будем называть такие семейства представляющими семействами (для г). Для любой коалиции S число ps будет называться уровнем реализуемости коалиции S.

Пусть v — стандартная кооперативная игра с множеством игроков I = {1,..., п} . Определим каноническое представление игры v следующим образом. Представим себе, что:

если выигрыш (доля или дивиденды) игрока i в коалиции S Э г есть t, то его выигрыш в той же коалиции с уровнем реализуемости ps , равняется pst]

каждый игрок получает выигрыши (дивиденды) от каждой коалиции, в которой он участвует.

Предположим теперь, что {?, (ps)seB.} задано. Ясно, что суммарный выигрыш, который это семейство может гаранти- ровать своим членам, есть

sez

Каноническим представлением игры v называется нечеткая кооперативная игра v* : [0, l]n —> IRn , которая ставит в соответствие каждой нечеткой коалиции г максимальный суммарный выигрыш, который могут гарантировать представляющие ее семейства. Из определения и свойств (1), (2) сразу следует, что v* определяется формулой

V*(T) = sup{^2/j>SV(S) : US > о, ^^se5 = г}.

s s

Нетрудно проверить, что функция v* суперлинейна, то есть вогнута и положительно однородна. Мы еще вернемся к свойствам игры v* ниже.

Эта функция, ее модификации и ее сужение на вершины единичного куба используются при рассмотрении проблем, связанных со сбалансированностью стандартных игр (см., например, Aubin, 1981а,b; Drissen, 1985; Ichiishi, 1993; Shapley, Shubik, 1969).

Нельзя обойти вниманием еще одну, возможно самую попу-лярную, интерпретацию нечетких коалиций, по крайней мере в ситуации экономики обмена. Мы приведем эту интерпретацию, не ограничиваясь рамками собственно экономики обмена, а кратко дадим еще определения соответствующей игры рынка и ядра экономики.

Соответствующая экономическая ситуация такова (см., например, Экланд, 1983): каждый из п агентов характеризуется своей функцией полезности (предположение о том, что отношения предпочтения агентов представимы с помощью соответствующих функций полезности абсолютно не существенны в данном контексте), зависящей только от его набора товаров хг ? , где к — число товаров, а г — номер агента, и обладает начальным набором товаров шг ?

Мк+ . Общие ресурсы

в такой экономике (производства нет) определяются равенством и1 + • • • + ujn = Q . Каждый из участников стремится максимизировать свою полезность за счет возможного обмена с другими участниками.

В экономике обмена коалиция S С I блокирует распределение (ж1,..., хп), если существует такой набор товаров уг ? IR+, i ? S, что Ui(y%) > Ui(x%) для любого г ? S, и уг = X^'es^8 • Распределение (ж1,..., хп) называется допустимым, если Х^'е/®8 = X}iei ¦

Ядром экономики обмена называется множество допустимых распределений, которые не блокируются никакой коалицией.

Аналогия с с-ядром кооперативных игр очень сильная: любой экономике обмена можно поставить в соответствие кооперативную игру без побочных платежей таким образом, что ядро одной будет соответствовать с-ядру другой. Действительно, положим для любой коалиции S / 0 :

R(S) = {(y%es-.yl enk+,teS и ?t-esy*' = ?t-esa;*'},

U(S) = {(ui(yi))ies '¦ (y^ies G R(S)}.

R(S) — это множество перераспределений, которые может реализовать коалиция S . При S = / получаем R(I) = R — множество допустимых распределений. Множество U(S) С IR^ — множество векторов полезностей, которые коалиция S может гарантировать своим членам.

Игрой рынка, соответствующей экономике обмена, называется кооперативная игра без побочных платежей, определяемая формулой

V(S) = U(S) - S С I,

где

U(S) = {ж ? IR5 : (ж*)ies = (iii)ies для некоторого и ? U(S)}.

Хорошо известно следующее предложение (см., например, Розенмюллер, 1974; Экланд, 1983), которое формализует отно-шение между ядром экономики и с-ядром соответствующей игры рынка. Предложение 6.3.1. Если (х1,...,хп) принадлежит ядру экономики, то вектор (ui(xr),... ,ип(хп)) принадлежит с- ядру игры рынка. Если (vi,..., vn) принадлежит с -ядру игры рынка, то в ядре экономики найдется такое распределение (ж1,..., хп) , что Vj < Uj (х3) для всех j ? I.

Следствие 6.3.1. Ядро экономики обмена непусто тогда и только тогда, когда непусто с-ядро соответствующей ей игры рынка.

Понятие блокирования очевидным образом переносится с обычных коалиций на случай нечетких коалиций. А именно, говорят, что нечеткая коалиция блокирует распределение (ж1,..., хп) , если существуют такие наборы товаров у1 ? , г ? S , что

иг(уг) > ui{xr) ДЛЯ любого i ? S

и

=

ies ies

где S — носитель коалиции г, то есть множество тех игроков г ? I, для которых тг- ф 0.

Нечетким ядром экономики называется множество допустимых распределений, которые не блокируются никакими нечеткими коалициями.

Интерпретация нечетких коалиций (в контексте экономики обмена), о которой говорилось выше, состоит в следующем (см.

Экланд, 1983). Представим себе общество 1т , построенное по образцу I, но содержащее в т раз больше индивидов: для каждого j ? / в этом обществе будет m участников типа j , то есть т участников, наделенных одной и той же функцией полезности Uj и таким же начальным ресурсом и3 . Любая коалиция А из 1т определяется заданием типов ее участников и числом участников каждого типа, то есть коалицией S из I и целыми числами amj < т для каждого j ? S . Тот факт, что коалиция А может гарантировать набор товаров

у3 каждому из своих членов типа j , выражается равенством (в котором левая и правая часть поделены на т)

у^ tuiLyi = ;

JES jes

или, если положить amj/m = Tj , равенством

jes jes

Пусть каждый участник типа j имеет набор товаров хг ? IR+ ,

тогда этот набор блокируется коалицией А , если найдется такое распределение у , что

uj(yJ) > Uj(xJ) для любого j ? S.

Таким образом, если принять во внимание то, что вещественные числа можно сколь угодно точно аппроксимировать рациональными, мы можем выбрать целые числа amj так, что при т —т- +оо мы будем получать желаемую аппроксимацию для любых Tj . В этом смысле можно сказать, что нечеткие коалиции представляют собой коалиции в экономике, аналогичной первоначальной экономике, но с очень большим числом индивидов.

Наконец, определение нечеткого ядра формулируется следующим образом (мы используем положительную однородность функции V).

С-ядром нечеткой кооперативной игры V (или нечетким с-ядром игры V ) называется множество

C{V) = {х еШ1 :хх + ... + xn = V(e)1 ХТ > V(T) ДЛЯ всех г ? IR+},

где е = (1,..., 1) .

Предположим теперь, что v —стандартная кооперативная игра. Непосредственно из определений следует, что эта игра сбалансирована, если v(I) = v*(e) . Она вполне сбалансированаили тотально сбалансирована (то есть сбалансирована любая ее под-игра с множеством игроков S С I, определяемая сужением исходной игры на S), если v(S) = и*(е5) для всех S . Конечно же, v(S) < v*(es) для любой S . Функция v* является наименьшей суперлинейной (то есть вогнутой и положительно однородной) функцией, большей чем дискретная функция v.

Как уже отмечалось в разделе 6.1, следующее предложение хорошо известно (см. Бондарева, 1963; Shapley, 1967; Aubin, 1981а).

Теорема 6.3.1. С-ядро C(v) (стандартной) кооперативной игры v непусто тогда и только тогда, когда v сбалансирована. В этом случае C(v) = C(v*) .

Мы приведем здесь набросок доказательства этой теоремы. Как мы отмечали только что, сбалансированность означает, что v(I) = v*(e).

Если V — суперлинейная нечеткая игра, то (см. Aubin, 1981а) ее с-ядро совпадает с супердифференциалом dV(e) функции V в точке е = (1,..., 1) , то есть

C(V) = dV(e),

причем супердифференциал вогнутой функции / в точке т определяется формулой

df(r) = {х е кп : /(г) - f(t) >(x,T-t),Vte Rn}.

Поскольку очевидно, что C(v*) С C(v) (так как в нечетком случае просто больше ограничений или они более сильные, т. к. v(S) < и*(е5)), то из непустоты супердифференциала вогнутой функции следует непустота C(v*) .

Пусть v — стандартная игра. Множество

A{v) = {х G К1 : x(S) > v(S), VS С 1}

называется (см. Aubin, 1981а; Sharkey, 1981) множеством приемлемых векторов (или приемлемых исходов), или просто приемлемым множеством.

Для нечеткой кооперативной игры V приемлемое множество А(у) определяется аналогично:

A(V) = {ж е К1 : ХТ > V(T), Vr G [0, If}.

Очевидно (см. Рокафеллер, 1973; Aubin, 1981а,b), что нижняя опорная функция р множества A(v) , определяемая равенством

PA(V){T) = inf {(ж, г) : ж ? A(v)},

совпадает с функцией v* . Более того, PA(V)(t) = PA(V*)(T) > а следовательно, A(v) = A(v*) . Ясно, что A(v) — непустое, замкнутое, выпуклое множество. Оно R^. — устойчиво, то есть A(v) = A(v) + R!j: .

Супердифференциация dv*(e) есть множество тех точек ж множества A(v*) = A(v) , для которых же = v*(e) = v(e) . А это и есть как раз с-ядро (или нечетное с-ядро), т.е. C(v) = C(v*) .

v(t\ =

^ps(rHS'),

где PS(T) = Пг'е5 r« ri;e/\s(l — r«) • Интересно, что при этом вектор Шепли оказывается равным интегралу от градиента функции v по главной диагонали куба [0,1]п .

Замечание 6.3.1. Нетрудно заметить, что если игра тотально сбалансирована, то нечетная игра v* является продолжением стандартной кооперативной игры v с вершин единичного куба на весь куб. Существуют и другие варианты продолжения игры v на куб. Так, например, хорошо известно мультилинейное расширение Оуэна (Owen, 1972), определяемое для игры v следующим образом: Замечание 6.3.2. Необходимо упомянуть еще одно обобщение кооперативных игр, связанное с рассмотрением бесконечных множеств игроков. Игры с континуумом участников используются, в частности, для моделирования ситуаций с очень большим числом участников (см. например, Ау- ман, Шепли, 1977).

<< | >>
Источник: С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов. 2001

Еще по теме Нечеткая кооперативная игра:

  1. 6.3. Нечеткие коалиции
  2. Нечеткая кооперативная игра
  3. 6.4. Приложения кооперативных игр
  4. 1. Бинарный спрос. Значение Шепли.
  5. С
  6. 7. 3. Современная кредитная система Российской Федерации
  7. ТЕСТЫ
  8. Предисловие научного редактора Перевода
  9. ВВЕДЕНИЕ
  10. ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ГЛОССАРИЙ
  11. ЛИТЕРАТУРА.
  12. 3.3.2. Принятие решений в условиях риска
  13. 4.3.1. Особенности действий-способов, закрепленных в ст. 160 УК РФ