<<
>>

6.2. Игры без побочных платежей

Очень часто, однако, приходится сталкиваться с ситуациями, когда рассмотрение игр с побочными платежами ставит чрезмерно жесткие ограничения. А именно, может случиться так, что игроки не могут вообще или не могут без потерь перераспределять между собой полученные в ходе игры выигрыши.

Иными словами, не все побочные платежи оказываются возможными. Это может быть вызвано, например, следующими причинами. Во-первых, может не иметься единого средства обмена, а во-вторых, даже если такое средство обмена существует (например, деньги), то полезности игроков могут не быть возрастающими линейными функциями денег. Наконец, побочные платежи могут быть запрещены (например, законом) или быть ограниченными. В такой ситуации задачу рас-пределения выигрышей уже нельзя рассматривать как классическую кооперативную игру, а приходится обращаться к более сложной модели, а именно к так называемым кооперативным играм без побочных платежей (играм с нетрансферабельной полезностью, или, как мы будем их часто сокращенно назы-вать, НТП-играм). Разумеется, классическую кооперативную игру можно рассматривать как частный случаи кооперативной игры без побочных платежей, при этом основные идеи теории классических кооперативных игр переносятся и на игры без побочных платежей, но здесь возникает целый ряд проблем, связанных, например, со спецификой аппарата, используемого в теории НТП-игр, который в последнем случае гораздо сложнее. Помимо этого, в рамках теории кооперативных игр без побочных платежей оказываются содержательными такие задачи, которые для классических кооперативных игр достаточно просты или даже тривиальны.

Кооперативной игрой без побочных платежей (или НТП- игрой) называется пара (I,V), где I = {1,2,..., га} — множество игроков, а V — многозначное отображение, которое ставит в соответствие каждой коалиции S С I множество V(S) , удовлетворяющее следующим условиям:

V(S) С IR5 = {х ? Ш1 : xt = 0 для i V(S) — непустое, замкнутое и исчерпывающее множество в IR5, то есть из х ? V(S), у ? IR5 и у < х следует у ? V(S) (или, что то же самое, V(S) = V(S) — ).

Часто бывает удобно использовать слегка модифицированное определение игры без побочных платежей, рассматривая вместо множеств С IR5 соответствующие цилиндры

VA(S) = V(S) + UI\s.

Множество V(S) обычно интерпретируется как множество векторов полезностей (множество векторов выигрышей, выраженных в терминах полезностей), которые коалиция S может обеспечить своим членам, то есть пространство IR/ рассматривается как пространство полезностей. Мы будем иногда называть множества V(S) игровыми подмножествами. По классической кооперативной игре v можно стандартным образом построить игру без побочных платежей, положив

V(S) = {х ? IR5 : x(S) < Здесь множества У(<5) являются полупространствами в IR5 , граничные гиперплоскости которых имеют соответствующие нормали es , где е = (1,1,..., 1) .

Важный частный случай НТП-игр представляют арбитражные схемы. Арбитражной схемой п лиц называется пара (q, Q) , где q ? ]R/ , a Q С 1R/. Компоненты арбитражной схемы имеют следующий смысл: игроки получают (или уже имеют) выигрыши, соответствующие координатам вектора q, если они не договорились о создании коалиции I, объединяющей всех игроков. Точка q называется точкой status quo. Если же игроки объединились в единую большую коалицию I, то они имеют возможность получить выигрыши в соответствии с любым вектором из множества Q. Арбитражная схема (q, Q) естественным образом порождает следующую игру без побочных платежей:

V(S) = {х ? IR5 : хг < qtl i ? 5}, S ф /,

V(I) = {ж ? IR/ : х < у для некоторого у ? Q}.

Нетрудно видеть, что любая коалиция S ф I в такой игре может обеспечить любому игроку i ? S выигрыш, не превышающий qi , но такие же выигрыши игроки могут получить и самостоятельно, не объединяясь ни в какие коалиции, отличные от {г} . Лишь объединившись в коалицию I, игроки могут добиться большего (как правило, считается, что во множестве Q есть точки х > q ). Соответственно вопрос о решении арбитражной схемы сводится к вопросу об определении некоторой точки из множества Q , которую можно было бы считать в некотором смысле «справедливым» распределением выигрышей.

Арбитражные схемы (или задачи о сделках, или задачи торга ) представляют особый интерес. Не останавливаясь здесь на них подробно, отметим, тем не менее, следующий важный момент. Одной из причин, по которой упомянутые игры называются «арбитражными схемами», является следующее. Как правило, для решения подобного вида игр используется аксиоматический метод, то есть формулируется ряд свойств, которым должно обладать решение таких игр. А значит, нахождение решения такой игры можно трактовать следующим образом: «справедливое» распределение определяет некий беспристрастный арбитр, руководствуясь некоторыми правилами (сформулированными в виде аксиом).

В качестве примера рассмотрим классическую арбитражную схему Нэша. Нэшем (Nash, 1950) была предложена система аксиом, которой должно удовлетворять значение (решение), определенное на множестве G2 арбитражных схем (далее АС) двух лиц с выпуклыми компактными множествами допустимых векторов выигрышей Q , в которых существует вектор х > q . Значением Нэша (или арбитражным решением Нэша) называется функция г : G2 —> IR2, (мы будем обозначать r(q,Q) = q = (gi, q2)) > удовлетворяющая следующим шести аксиомам.

N1 (индивидуальная рациональность). q>q.

N2 (допустимость), q ? Q .

N3 (Парето-оптимальность). q ? irQ , где irQ — множество Парето-оптимальных точек множества Q .

N4 (независимость от посторонних альтернатив). Если q ? Q С Qi и q — решение АС (q,Qi) , то q является решением и AC (q,Q).

N5 (независимость от аффинного преобразования). Пусть Q1 получается из Q с помощью аффинного преобразования

х'-у = а\Х\ + /31, «1 > 0, х'2 = a2x2+f32l oi2 > 0.

Тогда, если q —решение (q, Q) , то а^f32) явля

ется решением (q',Q i).

N6 (симметричность). Пусть множество Q таково, что (xi, х2) ? Q тогда и только тогда, когда (х2, х\) ? Q, и пусть qi = q2 . Тогда qt = q2. Нэш доказал, что существует единственная функция г, удовлетворяющая аксиомам N1-N6, причем

(<7Г - ?i)(<72 - Ч2) = тах(ж! - qi)(x2 - q2).

xeQ

Аналогичная теорема имеет место и в случае п > 2 .

Мы вернемся к более подробному рассмотрению задач подобного типа в главе 7, где обратимся к задачам распределения.

Существует широкий спектр различных арбитражных решений, каждое из которых определяется своей системой аксиом (см., например, обзор Roth, 1979, а также Печерский, Соболев, 1983; Peters, 1985, 1986 и др.).

Игру с побочными платежами v , но нетрансферабельной полезностью также можно рассматривать как игру без побочных платежей. Если щ(Ь) есть полезность b единиц для игрока i (i = 1, 2,..., п) и функция полезности такова, что Ui(y) = Ui(yi) , у ? IR^ , то множество

V(S) = {х ? IR5 : 3 у ? IRJ, y(S) = v(S),x < us(у)}

представляет собой множество векторов полезностей, достижимых коалицией S .

Под решением игры без побочных платежей, как и под решением классической кооперативной игры, понимается некоторый вектор или множество векторов х ? IR^. Различные понятия решений, возникающие в классических кооперативных играх, можно перенести и на игры без побочных платежей. Это может быть сделано, вообще говоря, различными способами, хотя при этом возникает целый ряд как технических, так и концептуальных трудностей. Так, например, определение с-ядра, основанное на понятии доминирования, непосредственно переносится на НТП-игры, а именно, с -ядро игры без побочных платежей V есть множество

С{V) = {х ? V(I) : \/S не существует

у G V(S) такого, что уг- > жг- V г G S}.

Однако в этом случае гораздо сложнее решается вопрос непустоты с-ядра (см. по этому поводу, например, Scarf, 1967; Shapley, 1973). (Соответствующие теоремы также связаны с понятием сбалансированности и выпуклости, однако условия непустоты оказываются достаточными, но не необходимыми.)

Мы приведем теорему о непустоте с-ядра НТП-игры, аналогичную теореме о непустоте с-ядра выпуклой ТП-игры. В случае игр без побочных платежей выпуклость можно определить двояко.

НТП-игра называется ординально выпуклой, если \f S, Т С

I

vA(S) n vA(T) с vA(s п г) и vA(s п г),

где УЛ(0) = {0} и VA(S) = V(S) + МД5 .

Игра V называется кардинально выпуклой, если \f S, Т С

I,

v(S) + v(T) с v(s п г) + v(s и г),

где У(0) = 0.

Заметим, что кардинальная выпуклость и ординальная вы-пуклость не эквивалентны. Рассмотрим следующие две игры (Ichiishi, 1992).

I = {1, 2, 3} , V(j) = {хе IR{j} : Xj < 0} , V(i,j) = {x ? IR^'^ : Xi < 1, Xj < 1} для i / j , V(1,2,3) = {x e IR3 : Xj < 1 ,j = 1,2,3}.

I = {1, 2, 3, 4} , V(2, 3) = {x e IR4 : ж2 < 1, ж3 < 3} , V{1, 2, 3) = {X G IR{1'2'3} : XX < 1, ж2 < 2, X3 < 2} , V(2, 3, 4) = {x G IR{2'3'4} :X2<2,X3< 2, x4 < 1} ,

V(I) = {X G Ш1 : SI < l,X2 < 2,X3 < 2,X4 < 0} U

U {x G M1 : xi < 0, x2 < 2, x3 < 2, x4 < 1} U

U {x G IR1 : x\ < 1, x2 < 3, x3 < 1, X4 < 1},

V(S) = {x G RS ¦ Xi < 0, i G S} для остальных S. Первая игра ординально выпукла, но не является кардинально выпуклой, а вторая — напротив, кардинально выпукла, но не является ординально выпуклой! Впрочем, в случае ТП- игры эти понятия эквивалентны.

Теорема 6.2.1. (Вилков, 1977). Пусть V — НТП-игра, и b ? IR^ определен так, что bj = sup{a;j ? IR : Xj ? V{j)}, j ? I. Тогда с -ядро игры V непусто, если

3 М ? IR такое, что \f S С I из ж ? V(S) и х > b следует, что жг- < М для любого i ? S;

V — ординально выпукла.

Заметим также, что кардинально выпуклая игра тоже имеет непустое с -ядро.

Обобщение значения Шепли на случай НТП-игр, а также га-ядра, к -ядра и других решений, опирающихся на понятие эксцесса, сталкивается уже с проблемами другого рода. Так, например, здесь нет столь же естественного, как в случае классических игр, определения понятия эксцесса, поэтому до сих пор вопрос о том, каким же должен быть эксцесс, остается нерешенным (см. по этому поводу Maschler, 1992; Печерский, 2000). Мы приведем здесь лишь определение аналога значения Шепли для игр без побочных платежей — так называемого А- трансферабельного или (трансферабельного) значения Шепли. Оно было введено JI. Шепли в статье Shapley, 1969, следующим образом.

Пусть V — игра без побочных платежей.

Подвергнем полезности игроков изменению масштабов измерения, а именно, умножим полезность каждого игрока i ? I на неотрицательный множитель Аг-. Далее постулируем: значением игры может быть такой и только такой вектор F(V) , который одновременно допустим, эффективен и справедлив для некоторых множителей А* , i ? / . Это означает, что:

(a) F(V)eV(I)-,

(Ь) вектор F(V) X А* = (Fi(F)A*,..., Fn(V)\*n) максимизи

рует суммарную полезность коалиции I в игре с побочными платежами с измененными масштабами полезно-

стеи;

(с) вектор F(V)x А* есть значение Шепли соответствующей игры с побочными платежами.

Так определенное А -трансферабельное значение Шепли существует для достаточно широкого класса НТП-игр (см., например, Печерский, Соболев, 1983). Впрочем, здесь тоже возникает целый ряд проблем, связанных, например, с возможностью возникновения нулевых весов Аг- (см. по этому поводу Печерский, Яновская, 2000), где, кроме того, определен ряд других трансферабельных значений, и в частности трансферабельные значения наименьших квадратов, трансферабельное (пред-) га-ядро для НТП игр).

<< | >>
Источник: С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов. 2001

Еще по теме 6.2. Игры без побочных платежей:

  1. 8.1. Олигополия
  2. Методы и механизмы согласования взаимодействий.
  3. 6.1. Классические кооперативные игры
  4. 6.2. Игры без побочных платежей
  5. 6.3. Нечеткие коалиции
  6. Нечеткая кооперативная игра
  7. 6.4. Приложения кооперативных игр
  8. Литература
  9. 2.2. Особенности счета производства секторов «государство» и «домохозяйства»
  10. 19.2. Сущность, функции и виды налогов
  11. Глава 48 Валютные отношения
  12. Тема 15. ВАЛЮТНОЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО И ВАЛЮТНЫЙ КОНТРОЛЬ
  13. Другие виды доходности