<<
>>

3.6. Определение характеристик финансовых рент

Как показано выше, наращенная сумма ренты может быть представ­лена формулой

5=/?-(1+/)И-1 ,

а современная стоимость ренты

1 - (1 + /)""

А = R

Из этих формул можно получить: коэффициент наращения ренты

(3.19,

и коэффициент приведения ренты

«-4- '-С*')-".

(3.20)

К l

Эти коэффициенты табулированы при известных параметрах / и п (ем. приложение).

Можем найти величину R. Из формулы (3.19):

/

R =---------------- . (3.21)

(1 + /)" - 1

Из формулы (3.20):

R =------ —- ------ . (3.22)

1 - (1 + /Г"

Предположим, что известен кредит, но неизвестны размеры погаси­тельных выплат. Эти выплаты могут быть представлены как члены де­нежного потока, т.е. ренты, а размер начального кредита — как совре­менная стоимость этой ренты. Для нахождения сумм погасительных пла­тежей целесообразно использовать формулу (3.22).

ПРИМЕР. Кредит в сумме 200 млн руб. выдан на 4 года по ставке слож­ных процентов 20% годовых. Возврат кредита предполагается осуществ­лять равными годовыми выплатами, включающими сумму основного дол­га и проценты. Найти величину погасительного платежа.

Решение. R = 200 • 0,2/[ 1 - (1 + 0,2)~4] = 77,26 млн руб.

ПРИМЕР. Какие ежегодные отчисления необходимо осуществить, чтобы за 5 лет сформировать денежный фонд в размере 1 000 000 долл. при ставке 5%.

Решение. R = 5У/[(1+ 0" - 1] = 1 00 0000 • 0,05/[(1 - 0,05)5 - 1] = 181 000 долл.

Определение периода ренты (п). Из формулы (3.19) получаем:

• / + 1 = (1 + О", 1п(-|- /+ 1) = л1п(1 + /),

1п(1/+1) " = 1П(1 ^ /) • (3-23)

Из формулы (3.20) находим:

1 ~ 1'1 = (1 + /г"' 1п(1 - О = -я1п(1 + /),

4-і")

п --------- } 1 (3.24)

1п(1 + /)

или

(3.24а)

.Щ1-4-/

1п(1 + /Г1 '

ПРИМЕР.

За какой период будет возвращен кредит 500 млн руб., выдан­ный по сложной ставке 20% годовых, если предполагается его выплачивать равными годовыми платежами (долг плюс проценты) по 120 млн руб.

К-ш-«.

Решение, п --------------------- =9,8 года.

1п(1 + 0,2)

Определение ставки процента в финансовых рентах. Из приведенных выше формул алгебраически нельзя выразить значение ставки процента. Поэтому для ее нахождения необходимо использовать специальные спо­собы, позволяющие получить приближенное решение. Для этой цели мо­гут быть применены различные методы, из которых наиболее употреби­мыми являются методы линейной интерполяции и Ньютона—Рафсона. Метод линейной интерполяции. Введем следующие обозначения:

1 - (1 + /Г" .. а = коэффициент приведения ренты;

(1 + /У ~ 1 . . 5 = коэффициент наращения ренты.

Рис. 3.3. Взаимосвязь коэффициента наращения ренты и процентной ставки

Рассмотрим графически взаимосвязь между коэффициентом нараще­ния ренты и величиной процентной ставки. Как видно из рис. 3.3, эта взаимосвязь является нелинейной. Если нам не требуется очень точно определить величину процентной ставки, предположим, что на некото­ром небольшом отрезке зависимость является линейной. На этом отрез­ке находится точка с ординатой, равной s, т. е. фактическому значению коэффициента наращения ренты. Заметим, что действительную величи­ну процентной ставки /' мы не знаем. Предположив линейность зависи­мости, ставим своей задачей найти величину /, которая является прибли­зительной оценкой /'. Значение этой приблизительной оценки можно найти графическим способом.

Рассмотрим треугольник ABC на рис. 3.3. Он подобен треугольнику AFG. Из подобия треугольников можно составить пропорцию:

АС _ AG ВС FG'

Из рис. 3.3 видно, что АС = /в - /н; ВС = sB - sH; AG = / - /н; FG = = s — sH, где /н — нижняя граница ставки процента; / — искомая ставка процента; sH и sß — коэффициенты наращения ренты, рассчитанные ис­ходя из нижней и верхней границ ставки процента.

Подставляя в приведенную выше пропорцию соответствующие харак­теристики ренты, получаем: (/в— /н) / (sB— sH) = (/ — /н) / (s — sH).

Откуда имеем

' = 'н + j^f- ■ ('в - '„)• (3-25)

В ^Н

Аналогичным образом можно получить формулу для нахождения про­центной ставки через коэффициент приведения ренты, но здесь следу­ет иметь в виду, что зависимость между величиной этого коэффициента и процентной ставкой обратная: где ан и ав — коэффициенты приведения ренты, рассчитанные исходя из нижней и верхней границ ставки процента. Величины /н и /в определя­ются методом проб и ошибок. Величины а или s задаются условиями за­дачи.

ПРИМЕР. На основе ежегодных взносов 10 тыс. руб. предполагается соз­дать фонд 120 тыс. руб. в течение 5 лет. Какова должна быть учитываемая в расчетах ставка процента?

Решение. Расчеты проведем по формуле (3.25), s = 120/10 = 12. Предполо­жим, что /н = 35%, /в = 50%. Найдем значения коэффициентов наращения ренты для ставок /н и /в: коэффициент наращения при ставке процента, на­ходящейся на нижней границе: = [(1 + 0,35)5 - 1]/0,35 = 9,95; коэффи­циент наращения при ставке процента, находящейся на верхней границе: 5В = [(1 + 0,5)5 - 11/0,5 = 13,19.

12 - 9 95

Искомая ставка процента: / = 0,35 + _ [18] • (0,5 - 0,35) = 0,448,

или 44,8%. 13'19 9'95

п (1+ 0,448)5 -1 1100 Проверка: j = 11,98.

Значение 5 = 11,98 близко к фактическому значению s = 12, значит, най­денная ставка процента рассчитана достаточно точно.

Метод Ньютона— Рафсона1. Если есть уравнение Дх) = 0, где jc — ко­рень уравнения, то решить его можно итеративным путем (последова­тельным приближением), т.е. выполнением ряда последовательных эта­пов (итераций) расчета. Количество итераций зависит от требуемой точ­ности расчета величины лс.

Искомая величина л: определяется на основе рекуррентного соотно­шения, выраженного формулой:

=xk-Axk)/f'(xk), (3.27)

где f(xk) — значение функции Дх) при х = хк; f'(xk) — значение первой производной функции Дх) при х = хк; к — индекс (номер) итерации.

Последовательность расчетов может быть следующей. Сначала задает­ся значение х на нулевой итерации х0. Находятся значения Дх0) и f'(x0). Эти величины подставляются в формулу (3.27) и на этой основе опреде­ляется л,. Если х, дает хорошее приближение решения уравнения J[x) = = 0, то расчеты прекращаются и величина jc = jc, принимается за корень данного уравнения. В противном случае расчеты продолжаются, и далее аналогичным образом рассчитываются х2, jc3 и т.д. в зависимости от схо­димости и требуемой точности расчетов.

Для использования метода Ньютона—Рафсона необходимо построить функцию f{x). Для этой цели можно использовать коэффициент как на­ращения, так и приведения. Рассмотрим применение коэффициента на­ращения S/R = [(1 4- /)" - 1]//.

Обозначим через q величину (1 + /), тогда S/R = (qn — 1 )/{q — 1), (S/R)(q ~ 1) = q" - 1, (q" - 1) - (S/R)(q - 1) = 0.

Отсюда искомая функция будет иметь вид

/(

<< | >>
Источник: Аньшин В. М.. Инвестиционный анализ: Учеб.-практ. пособие.— 3-е изд., испр. — М.: Дело, — 280 с. — (Сер. "Библиотека современного менеджера").. 2004

Еще по теме 3.6. Определение характеристик финансовых рент:

  1. Тема 1. Характеристика финансово-хозяйственной деятельности предприятий в рыночной экономике
  2. Глава 6. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
  3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
  4. 1.5. Потоки платежей и финансовые ренты
  5. § 2. Определение и юридическая характеристика договора ренты
  6. Финансовая рента
  7. 3.4. Потоки платежей и финансовые ренты
  8. 3.6. Определение характеристик финансовых рент
  9. Глава 6. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
  10. §5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
  11. Финансовые ренты
  12. 1.6. Определение параметров финансовой ренты
  13. 13.1. Определение типа финансовой устойчивости предприятия