<<
>>

2.3. Наращение и дисконтированиеПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяют­ся к основной сумме, применяются сложные проценты. База для начисле­ния для сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной - она увеличивается с каждым шагом во времени.
Абсолютная сумма на­числяемых процентов возрастает и процесс увеличения суммы долга про­исходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно пред­ставить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начислен­ных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, час­то называют капитализацией процентов.

Начисление по сложным процентам осуществляется по следующей формуле:

БУ = РУ(1 + г)й, (2.10)

где п - число лет; г - ставка процента; (1 + г)п - множитель наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов.

Использование в расчетах сложных процентов более логично, по­скольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрас­тает. Инвестиции на условиях сложного процента более выгодны.

Для операций финансового анализа существуют специальные табли­цы шести функций [28]:

1 - будущая стоимость единицы;

2 - накопление единицы за период;

3 - фактор фонда возмещения;

4 - текущая стоимость единицы;

5 - текущая стоимость единичного аннуитета;

6 - взнос на амортизацию единицы.

Рассмотрим логику построения таблиц шести функций.

1. Будущая стоимость единицы (колонка 1) (рис. 2.4) показывает, какая сумма будет накоплена на счете к концу определенного периода при заданной ставке дохода, если сегодня положить на счет 1 денежную единицу:

(2.11)
БУ

БУ = РУ(1 + г))

РУ, г, і

12 3 і-1 і

Рис.

2.4. Будущая стоимость единицы

Пример. Определить, сколько денег будет накоплено на счете, при­носящем 20 % годовых через 10 лет, если сегодня положить на счет 2000 р.

БУ= 2000 (1+0,2)10 = 2000 х 6,1917 = 12383,4 р.

При этом множитель наращения (фактор будущей стоимости едини­цы) можно взять как уже рассчитанную величину из таблицы шести функций сложного процента - колонка 1, 20%, 10 лет.

2. Накопление единицы за период (колонка 2) (рис. 2.5) показыва­ет, какая сумма будет накоплена на счете при заданной ставке, если регу­лярно в течение определенного периода откладывать на счет 1 денежную единицу.

Серия равновеликих платежей отстающих друг от друга на один и тот же промежуток времени называется аннуитетом или финансовой рентой. По моменту выплаты аннуитетные платежи подразделяются на обычные (постнумерандо), которые производятся в конце соответствую­щих периодов (года, месяца), и авансовые (преднумерандо), которые про­изводятся в начале этих периодов.

РМТ, г, і
1 2 3

і- 1 і

Рис. 2.5. Накопление единицы за период
БУ
Будущая стоимость обычного аннуитета рассчитывается по фор­
муле:
(1 + г) -1
(2.12)

БУА = РМТ хг

Накопление денежной единицы за период (будущая стоимость аван­сового аннуитета) рассчитывается по формуле:

БУА = РМТ х
(2.13)

(1 + г)+1 -1

-1

г

где БУЛ - будущая стоимость аннуитетных платежей; РМТ - величина аннуитетного платежа.
Таким образом,

Фактор накопления единицы за период для ^ авансовых платежей =

= ФАКТОР НАКОПЛЕНИЯ ЕДИНИЦЫ ЗА ПЕРИОД ДЛЯ (^ + 1)-ГО ПЛАТЕЖА - 1.

Пример. Определить сумму, которая будет накоплена на счете, при­носящем 20 % годовых, к концу шестого года, если ежегодно отклады­вать на счет 50000 р.:

1) платежи производятся в конце каждого года;

2) платежи производятся в начале каждого года. Решение:

1) БУА = 50000 х

"(1 + 0,2)6 -1

= 50000 х 9,92992 = 496496 р.

0.2

= 595795 р.

3. Фактор фонда возмещения (рис. 2.6) показывает, сколько нуж­но откладывать на счет регулярно в течение определенного времени, что­бы при заданной ставке дохода иметь на счете к концу этого срока опре­деленную сумму денег.

БУ, г, і
РМТ
1 2 3
і - 1 і
Рис. 2.6. Фактор фонда возмещения

Г

РМТ=БУх

(Т+ГП (214)

Пример. Определить, каким должен быть платеж, чтобы к концу 8-го года иметь на счете, приносящем 14 % годовых, 10000 р.

Решение:

0 14

РМТ = 10000 х------------------ = 10000 х 0,7557 (8 лет 14% годовых) =

(1 + 0,14)8 -1

=755,7 р.

2) БУА = 50000 х

= 50000 х (12,91590-1) =

(1 + 0,2)6+1 -1 _ 1 0,2

4. Текущая стоимость единицы (рис. 2.7) показывает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость 1 денежной единицы, полу­чаемой в конце определенного периода времени.БУ, г, г

1 2 3
г-1 г
Рис.
2.7. Текущая стоимость единицы

БУ

РУ =

(1 + г )

Пример. Какую сумму следует сегодня депонировать в банке, начис­ляющем 15 % годовых, чтобы через 5 лет получить 10 000 р.

РУ = 10000 = 10000 х 0,4972 = 4972 р.

(1 + 0,15)5

(2.15)

5. Текущая стоимость единичного аннуитета (рис. 2.8) показы­вает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость серии пла­тежей в 1 денежную единицу в течение определенного периода.

рмт, г, г
1 2 3
г-1 г
Рис. 2.8. Текущая стоимость единичного аннуитета
Текущая стоимость обычного аннуитета:
1
1
(1 + г)
(2.16)
г

РУЛ = РМТ х

Текущая стоимость авансового аннуитета:
РУЛ = РМТ х
(2.17)

1

1

4±г£.+1

г

Фактор текущей стоимости t авансовых платежей =

= ФАКТОР ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ (t - 1)-ГО ПЛАТЕЖА + 1.

Пример. Рассчитайте текущую стоимость потока арендных плате­жей, возникающих в конце года, если годовой арендный платеж первые четыре года составляет 400 000 р., затем он уменьшается на 150 000 р. и сохраняется в течение 3-х лет, после чего возрастает на 350 000 и будет поступать еще 2 года. Ставка дисконтирования 10 %.

Решение.

Данную задачу можно решать двумя способами:

- первый способ заключается в приведении аннуитетных платежей к наибольшей сумме, которую можно было бы получать в течение заданно­го промежутка времени. Затем полученная сумма корректируется на вели­чину недополученных или переплаченных платежей, возникающих в те­чение ряда лет. Так, общий срок получения платежей составляет 9 лет. Наибольший платеж, который можно было бы получать в течение 9 лет составляет 600 тыс. р. (400 - 150 + 350). Тогда решение задачи можно представить следующим образом:

1

1

1

1
1-

1 -

(1 + 0,1)9 0,1

(1 + 0,1)7 0,1

(1 + 0,1)2 0,1
РУЛ = 600 х
350 х
+ 150 х
= 600 х 5,75902 (9 лет) - 350 х 4,86842 (7 лет) + 150 х 3,16987 (2 года) = 2227 тыс. р.;

- второй способ заключается в том, что платежи остаются неизмен­ными, а корректируются факторы текущей стоимости аннуитетных пла­тежей.

Так, 400 тыс. р. поступают в течение двух лет (1 - 4 год), затем 250 тыс. р. поступают в течение трех лет (5 - 7 год), а 600 тыс. р. - в тече­ние двух лет (8 - 9 год). Тогда решение задачи можно представить сле­дующим образом:

1

1

1

1
1 -

1-

(1 + 0,1)4 0,1
(1 + 0,1)7 0,1
(1+0,1)4 0,1
РУА = 400
+ 250
+
1
1
1-

1-

(1 + 0,1) 0,1
(1 + 0,1)7 0,1
+ 600
= 2227 тыс. р.
(2.18)

6. Взнос на амортизацию единицы (рис. 2.9) показывает, какими должны быть аннуитетные платежи в счет погашения кредита, выданного на определенный период под определенный процент.

РУ, г, і

12 3 і- 1 і

Рис. 2.9. Взнос на амортизацию единицы

г

РМТ=РУх

1

1 -

(1 + г)

Пример. Кредит в размере 10000 р. выдан на 5 лет под 15 % годовых, погашение ежегодное. Определить размер ежегодных платежей в счет по­гашения кредита. Выплаты по кредиту осуществляются в конце каж­дого года.

Решение:

РМТ = 10000 х------- 015--------- = 10000 • 0,298316 = 2983,16 р.

1

(1 + 0,15)5

В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам. Не­которые зарубежные банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. На практике, как правило, фиксируется не ставка за период на­числения, а годовая ставка, одновременно указывается период начисления процентов, например, «16 % годовых с поквартальным начислением про­центов». При начислении процентов несколько раз в год можно восполь­зоваться формулой:

/■ \ пт
(2.19)
БУ = РУ х

\+1- т

v

где г - годовая процентная ставка; т - число периодов начисления в год; п - количество лет начисления процентов.

Ставка г в данном случае называется номинальной процентной ставкой.

' 0,14^4
1+
4

Пример. Вложены деньги в банк в сумме 5 млн. р. на два года с по­лугодовым ежеквартальным начислением процентов по 14 % годовых. Определить сумму, накопленную на счете к концу второго года.

= 6,58 млн. р.

V 4 у

Различными видами финансовых контрактов могут предусматри­ваться различные схемы начисления процентов. Чтобы обеспечить срав­нительный анализ эффективности таких контрактов применяется действи­тельная или эффективная ставка процента. Эта ставка универсальная для любой схемы начисления процентов и измеряет тот реальный относитель­ный доход, который получают в целом за год. То есть, эффективная ставка - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и т - разовое начисление процентов по ставке г / т. Эффективная ставка (г (е)) зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом т она увеличивается. Эффективную ставку можно определить по формуле:

( г \ т

г (е) = 1 + — -1. (2.20)

Пример. Имеются три варианта (А, В, С) начисления процентов по средствам, размещенным на депозитном счете банка. По варианту А на­числение процентов осуществляется раз в год по ставке 30 %, по варианту В - ежемесячно по ставке 24 % годовых, по варианту С - раз в квартал по ставке 28 % годовых. Определить эффективную процентную ставку по каждому варианту начисления процентов.

А: r (e) = B: r(e) = C: r(e)=
1 +-y-

' 0,24V2 1 +

1 = 0,3. 1 = 0,27.
12

' 0,28v 1 +

-1 = 0,31.
4
Таким образом, вариант С является наиболее выгодным способом размещения средств.

<< | >>
Источник: Михайлова Э. А., Орлова Л. Н.. Экономическая оценка инвестиций: Учебное пособие. - Рыбинск: РГАТА, - 176 с.. 2008

Еще по теме 2.3. Наращение и дисконтированиеПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ:

  1. 2.3. Наращение и дисконтированиеПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ
  2. Расчет с применением сложных процентных ставок
  3. 1.3 Сложная процентная ставка
  4. Проценты и процентные ставки
  5. 2.4. Определение срока платежа и уровня процентной ставки
  6. § 3.4. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ. НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  7. § 4.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  8. § 4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  9. S 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  10. S 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  11. 1.3.4. Изменение сложной процентной ставки в течение срока ссуды
  12. 2.4.3. Простая учетная и сложная процентная ставки