<<
>>

4.3.2. Потоки платежей

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике: зара­ботная плата, плата за квартиру, ежемесячный взнос на счет в банк некоторой суммы, откладываемой для покупки квартиры, и т.д.

Как правило, разного рода финансовые операции предусмат­ривают не отдельные разовые платежи, а множество распределен­ных во времени выплат и поступлений. Совокупность ряда рас­пределенных во времени платежей принято называть потоком платежей или денежным потоком. Любая финансовая операция

192

предполагает наличие двух потоков платежей: входящего — по­ступления (доходы) и исходящего — выплаты (расходы, вложе­ния). Эти потоки, а также поток процентных платежей, создавае­мый начислением процентов, формируют соответствующий денеж­ный фонд.

Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.

Пусть Рп = {Рк, гк} — поток платежей, где гк — момент време­ни, а Рк — платежи. Предполагается, что известна ставка процен­та г, обычно неизменная в течение всего потока.

Величиной потока в момент Т называется сумма платежей потока, дисконтированная к этому моменту

Рп(Т) = ^Рк(1 + »т-' к

Величина Рп{0) называется современной величиной потока. Если есть последний платеж, то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока.

Пример 4.11. Имеем поток платежей Рп = {(-1000; 1), (1000; 2), (1800; 3), (2500; 4)}. Найдем характеристики этого потока при 8% ставке.

-1000 1000 1800 2500 I--- 1----------- 1-- 1 1 ►

0 12 3 4

Рис. 4.7

Прежде всего найдем современную величину потока

Рп(0) = -1000(1 + 0,08)-1 + 1000(1 + 0,08)~2 + + 1800(1 + 0,08)~3 + 2500(1 + 0.08)"4 = 3197,89.

Теперь найдем конечную величину потока

Рп{4) = Рл(0)(1 + О4 = 3197,89 (1 + 0,08)4 = 4350,69.

Поток платежей, все члены которого положительные величи­ны, а промежутки между платежами одинаковы, называют финан­совой рентой или просто рентой.

Временной интервал между двумя последовательными выпла­тами называется периодом ренты. Срок от начала первого перио­да до конца последнего называется сроком ренты. Различают два основных типа рент: безусловные и условные ренты. Безусловные ренты — это ренты с фиксированным периодом, т.е. даты первой и последней выплат определены до начала ренты. Условные рен­ты — ренты, в которых дата первой или последней выплаты зави­сит от некоторого события, например пенсия.

По количеству выплат членов ренты на протяжение года рен­ты делятся на годовые (выплаты раз в году) и т — срочные (т — количество выплат в году). При анализе производственных инве­стиционных процессов иногда применяются ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рещ^арываются дис­кретными.

В финансовой деятельности встречаются и такие потоки пла­тежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

Текущим значением ренты называется денежная сумма эквива­лентная множеству всех выплат в начальный момент ренты. Нара­щенным значением (суммой) ренты называется сумма, эквивалент­ная множеству всех выплат в конце всего срока ренты. Для обыч­ной ренты текущее значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение — в момент последней выплаты. Очевидно, что и текущее, и наращенное значения зависят от про­центной ставки, используемой в уравнении эквивалентности.

По количеству начислений процентов на протяжении года различают ренты с ежегодным начислением, с начислением п раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления про­центов могут совпадать или не совпадать с моментами выплат членов ренты. Однако, расчеты значительно упрощаются, если два указанных момента совпадают. Ренты по этому признаку класси­фицируются на простые и общие соответственно.

Пример 4.12.

Найти текущее и наращенное значение ренты с выплатами 1000 у. е. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 6% годовых.

Приведем временную диаграмму выплат (рис. 4.8).

0,5% 1000 1000 1000 1000 1000 1000

I---- 1---- 1---- 1------------------------- |---- 1---- 1

0 1 2 3 22 23 24

Рис. 4.8

Эффективная ставка за месяц г = -^% = 0,5%.

Если Р, наращенное значение простой обычной ренты, состо­ящей из п выплат, каждая в размере Я с процентной ставкой г за период начисления, то уравнение эквивалентности для даты пос­ледней выплаты имеет вид:

Р, = Я + Я(1 + 1) + + О[1] + ... + + /)" '.

Применяя к правой части уравнения формулу суммы членов геометрической прогрессии с первым членом Я и знаменателем (1 + г), получим:

,4.23)

Множитель

(4.24,

называется коэффициентом наращения простой обычной ренты.

(4.25)

Текущее значение ренты Р определяется из условия эквивален­тности для текущего и наращенного значения обычной ренты:

Р,=(1 + 1)"Р или р = 1~(1 + 0 " к

Коэффициент перед Я в формуле (4.25) называется дисконти­рующим множителем обычной простой ренты.

Переходим к нашему примеру. По формуле (4.25) вычисляем текущее значение ренты

^'-(1+0у24-1000 = 22562,87 у.е.

Наращенное значение найдем по формуле (4.23) ^'^-',000 = 2543,*,,

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты, ренты делятся на немед­ленные и отложенные, или отсроченные. Для отложенной ренты

срок ренты начинается в некоторый момент в будущем и ее при­нято считать обычной.

Важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце пери­одов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Иногда контранты предусматри­вают платежи или поступления денег в середине периодов.

Для вычисления параметров произвольного потока платежей и, в частности, ренты достаточно уметь составлять уравнение эк­вивалентности для заданного момента времени. Однако для про­извольного ряда выплат эта задача может оказаться трудоемкой. Поэтому для вычисления параметров общей ренты целесообраз­но преобразовать ее в эквивалентную простую ренту. Пусть Лоб — величина выплат общей обычной ренты; п — число выплат общей ренты в году; / — процентная ставка, соответствующая периоду об­щей ренты;

Л — величина выплат простой ренты, эквивалентной

исходной общей ренте; т — число периодов начисления в году; ] — процентная ставка за период начисления.

Для простоты восприятия изобразим временную диаграмму (рис. 4.9.).

л выплат в год

Из определения эквивалентности процентных ставок и перво­го условия имеем:

(1 + 0" = (1+»т. (4.26)

Приравнивая наращенные за год значения обеих рент, получим:

д+уГ-і (і+о"-ід

------- :----- л ---------- :----- *

<< | >>
Источник: Шапкин А. С.. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, порт­фель инвестиций: Монография. — М.: Издательско-торговая корпо­рация «Дашков и К°», — 544 е.: ил.. 2003

Еще по теме 4.3.2. Потоки платежей:

  1. 5.3. Классификация потоков платежей и методы их оценки
  2. Глава 2. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ, РЕНТЫ. 2.1.
  3. Потоки платежей 2.2.
  4. Поток платежей и его доходность
  5. Случайные потоки, платежей
  6. 1.5. Потоки платежей и финансовые ренты
  7. 4.3.2. Потоки платежей
  8. Тема 3. Расчеты потоков платежей
  9. 3.4. Потоки платежей и финансовые ренты
  10. Глава 3. Управление потоками платежей
  11. 3.1. Оптимизация и совершенствование системы управления в инвестиционном менеджменте Типы потоков платежей
  12. Глава 4. ПЕРЕМЕННЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
  13. 13.1. Потоки платежів і фінансові ренти
  14. Раздел 2. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
  15. 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов