<<
>>

СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

определение ставок и условий начисления процентов путем комбинирования типовых схем. К основным схемам начисления относятся следующие.

Однократное начисление по истечении года в течение n лет.

Это базовый, наиболее распространенный вариант. Начисленные проценты присоединяются к исходной сумме. Следовательно, размер инвестированного капитала к концу n-го года будет равен величине Fn , найденной по формуле (С20), где в качестве базисного периода принят год.

Ясно, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года, (проценты начисляются однократно в конце периода);

более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Пример

Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если а) годовая ставка 20%; б) периоды наращения: 90 дней, 180 дней,

1 год, 5 лет, 10 лет. Полагать, что в году 360 дней.

Решение

Результаты расчетов с помощью формул (С17) и (С19) имеют следующий вид.

тыс. руб. Схема начисления 90 дней (П = 1/4) 180 дней (П = 1/2) 1 год (П = 1) 5 лет (П = 5) 10 лет (п = 10) Простые проценты Сложные проценты 1,05 1,0466 1,10 1,0954 1,20 1,20 2,0 2,4883 3,0 6,1917

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок в 90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при использо-вании схемы простых процентов — 1,05 тыс. руб.; при использовании схемы сложных процентов — 1,0466 тыс. руб. Следовательно, более выгодна первая схема (разница составляет 3,4 руб.). Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально — более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами.

Так, при ставке в 20% годовых удвоение исходной суммы происходит следующим темпом: при использовании схемы простых процентов за пять лет, а при использовании схемы сложных процентов — менее чем за четыре года.

Внутригодовые процентные начисления. Базовым временным периодом в финансовых операциях является год, вместе с тем воз-можны более частые начисления процентов. Так, при т-кратном начислении процентов в рамках одного года величина Гп, ожидаемая к получению через п лет, может быть найдена по формуле

Гп = Р • (1+ г/т)тп. (С23)

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестицион-ных проектах или текущей деятельности. Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях. Пример

Вложены деньги в банк в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление про-центов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид

Период

Сумма, с которой идет начисление

5,0

5,5

6,05

6,655

Ставка (в долях ед.)

ЇД0

1,10

1,10

1,10

Сумма к концу периода

5,5

6,05

6,655

7,3205

Если пользоваться формулой (С20), то т = 2, п = 2, следовательно: Рп = 5 • (1 + 20% : 100% : 2)4 = 7,3205 тыс. руб.

Пример

В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начисля-лись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20% : 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит

Рп = 5 • (1 + 0,05)8 = 7,387 тыс. руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практиче-ских выводов:

при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

Начисление процентов за дробное число лет.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

по схеме сложных процентов

Рп = Р • (1 + г)"+/ (С24)

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года)

Рп = Р • (1+ г)" • (1+ / • г), (С25)

где " — целое число лет; / — дробная часть года.

Поскольку/< 1, то (1 + /• г) > (1 + гУ, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы. Можно показать, что при малых г наибольшая величина разности между (С24) и (С25) достигается при/« 0,5. Пример

Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% го-довых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

Решение

По формуле (С21): Р = 10 х (1 + 0,3)2+05 = 19,269 тыс. руб. По формуле (С22): р"п = 10 х (1 + 0,3)2 х (1 + 0,3 х 0,5) = 19,435 тыс. руб. Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

а) схема сложных процентов

гт - Р Г +/

Еп - р ¦ (1+—) ;

б) смешанная схема

Еп=р . (1+т Г ¦ (1 + / ¦ т),

где м — целое число подпериодов в п годах; / — дробная часть подпериода; т — количество начислений в году; г — годовая ставка.

Обращаем внимание читателя на то, что в приведенных ал-горитмах показатели м и / имеют разный смысл. Так, в формуле (С25) м означает целое число лет в п годах, а/ — дробную часть года и поэтому п = м + / Однако в формуле (С26) м означает целое число подпериодов в п годах, а/ — дробную часть подпериода и поэтому п = (м + /)/т. Иными словами, при пользовании этими формулами нужно отдавать себе отчет в том, о каком базисном периоде идет речь. Пример

Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. руб. на 27 месяцев (т. е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализи-ровать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное. Решение

1. Годовое начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т. е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами (С24) и (С25) и значениями соответствующих параметров:

п = 2,25; м = 2; / = 0,25; г = 0,16.

При реализации схемы сложных процентов:

Рп = Р ¦ (1+ г)м+/ = 120 ¦ (1 + 0,16)225 = 167,58 тыс. руб.

При реализации смешанной схемы:

(С26) (С27)

Рп = Р.(1+г)м ¦ (1 + /¦ г) = 120 (1 + 0,16)2 ¦ (1 + + 0,25 ¦ 0,16) = 167,93 тыс. руб.

Полугодовое начисление процентов

В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами (С26) и (С27), когда параметры формул имеют следующие значения: m = 2; w = 4; f = m ¦ n — w = 2 x x 2,25 - 4 = 0,5; r = 0,16.

При реализации схемы сложных процентов:

Fn = P ¦ (1 + mm)w +f = 120 ¦ (1 + 0,08)4'5 = 169,66 тыс. руб.

При реализации смешанной схемы:

f=р •(i+ШШ )W •(i+/' mm)=120 •(i+°'°8)4 •(i+2 • Ol6=169,79 ТЫС- РУБ-

Квартальное начисление процентов

В этом случае m = 2; w = 9; f = 0, т. е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому формулы (С26) и (С27) дают один и тот же результат:

Fn = 120 ¦ (1 + 0,04)9 = 170,8 тыс. руб.

Здесь фактически пользуемся обычной формулой наращения сложными процентами (С23), в которой n = 9, а r = 0,16 / 4 = 0,04.

Непрерывное начисление процентов. Все рассмотренные выше начисляемые проценты называются дискретными, поскольку их начис-ление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день, даже час). Уменьшая этот промежуток (период начисления) и увеличивая частоту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дробле-нии годового интервала. Из формулы (С23) следует:

r П'Ш

Fn = hm P(1+ Ш) = P' er-, (С28)

ш т

так как согласно второму замечательному пределу, где трансцендентное число e « 2,718281 называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа. (Подробно о финансовых вычислениях см.: [Ковалев, Уланов].)

<< | >>
Источник: В. В. Ковалев, Вит. В. Ковалев. Корпоративные финансы и учет: понятия, алгоритмы, показа- тели: учеб. пособие.Ч.1 — М. : Проспект, КНОРУС,2010. — 768 с.. 2010

Еще по теме СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ:

  1. СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  2. 5.3.2. Платежные схемы обслуживания финансовых карт и их элементы
  3. Задачи и ситуации
  4. СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  5. Процентные ставки и схемы начисления.
  6. 1.3.1. Простые проценты
  7. 1.3.2. Сложные проценты
  8. 15.6. Расчет процентного дохода
  9. 7.2. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ И МЕТОДЫ ИХ НАЧИСЛЕНИЯ 7.2.1. ПОНЯТИЕ ПРОСТОГО И СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА
  10. 7.2.2. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СХЕМЫ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
  11. 7.2.4. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЗА ДРОБНОЕ ЧИСЛО ЛЕТ
  12. ~С~
  13. ~Ю~
  14. Дисконтирование и удержание процентов
  15. 1.1 Модели развития операций по схеме простых процентов
  16. 1.2 Модели развития операций по схеме сложных процентов 1.2.1 Стандартная схема сложных процентов
  17. Задачи и ситуации
  18. 4.3.2. Элементы теории процентов