<<
>>

Процентные ставки и схемы начисления.

Ссудо-заемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявля­ется прежде всего необходимость учета временной ценности денег.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежут­ка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее распростра­нен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Извест­ны две основные схемы дискретного начисления: схема про­стых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвести­руемый капитал равен Р; требуемая доходность — г (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р • г. Таким образом, размер инве­стированного капитала через п лет (Р„) будет равен:

Яп-Р + Р-г + ... + Р-г-Р(1+ п-г) (2.1)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с ис­ходной величины инвестированного капитала, а с общей сум­мы, включающей также и ранее начисленные и невостребован­ные инвестором проценты. В этом случае происходит капита­лизация процентов по мере их начисления, т. е. база, с которой начисляются проценты все время возрастает. Следова­тельно, размер инвестированного капитала к концу п-го года будет равен:

Еп-Р-(1+г)» (2.2)

Несложно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

• более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются одно­кратно в конце периода);

• более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются еже­годно);

• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжитель­ности периода один год и однократном начислении процентов.

Схема простых процентов используется в практике банков­ских расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до одного года.

В этом случае в качестве показателя п берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полуго­дие) в общем периоде (год). Длина различных временных ин­тервалов в расчетах может округляться: месяц —30 дней; квар­тал—90 дней; полугодие -180 дней; год-360 (или 365) дней. Другой весьма распространенной операцией краткосроч­ного характера с использованием формулы простых процентов является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются формулами:

PV-FV .(1 -f-d) или PV- FV • (1 — t/T • d) (2.3)

где d — годовая дисконтная ставка о долях единицы;

t — продолжительность финансовой операции d днях;

T — количество дней в году;

f — относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что опе­рация имеет смысл, когда число и скобках не отрицательно).

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно воз­растает. При применении простого процента доходы по Мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или теку­щей деятельности.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя (1+г)п, называемого мульти­плицирующим множителем для единичного платежа и обеспе­чивающего наращение стоимости, табулированы длй различ­ных значений г и п (эту и другие финансовые таблицы, упо­минаемые в книге, можно найти в приложении). Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом:

Fn-P.FMl(r,n),

где FMl(r.n) - (1+г)п —мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя FMl(r,n) состоит в сле­дующем: он показывает, чему будет равна одна денежная еди­ница (один рубль, один доллар, одна иена и т. п.) через п пе­риодов при заданной процентной ставке г. Подчеркнем, что при пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки.

Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговаривается величина годового процента и частота начисле­ния, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле:

Рп-Р-(1 + г/т)>денежных поступлений через п лет (Рп) с позиции текущего момента будет меньше и равна Р (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означает-также, что для инвестора сумма Р в данный мо­мент времени и сумма Рп через п лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопос­тавимый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к по­ступлению в течение ряда лет. Легко видеть, что в этом слу­чае коэффициент дисконтирования численно равен процент ной ставке, устанавливаемой инвестором, т. е. тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Множитель РМ2(г,к) - 1/(1+г)к называется дисконтирую­щим множителем для единичного платежа, его значения также табулированы. Экономический смысл дисконтирующего мно­жителя РМ2(г,к) заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т. е. чему с позиции текущего момента равна одна денежная еди­ница (например, один рубль), циркулирующая в сфере бизнеса к периодов спустя от момента расчета, при заданных процент­ной ставке (доходности) г и частоте начисления процента. Термин «сегодняшняя стоимость» не следует понимать бук­вально, поскольку дисконтирование может быть выполнено на любой момент времени, не обязательно совпадающий с теку­щим моментом.

Денежные потоки и их оценка. Одним из основных эле­ментов финансового анализа вообще и оценки инвестицион­ных проектов в частности является оценка денежного потока С1, Сг, .., Сп, генерируемого в течение ряда временных перио­дов в результате реализации какого-либо проекта или функ­ционирования того или иного вида активов. Элементы потока

могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Кроме того, для простоты из­ложения материала в этой главе предполагается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т. е. нет че­редования оттоков и притоков денежных средств. Также счи­тается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е. они не распределены внутри периода, а сконцентрирова­ны на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором — потоком постнумерандо (рис. 2.2).

На практике большее распространение получил поток пост­нумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе ме­тодик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объясне­ния этому можно дать, исходя из общих принципов учета, со­гласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления де­нежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее ус-

а) Поток пренумерандо б) Поток постнумерандо

с, с, с, с4 с, с, с, с, с4 с,

I ♦ 1 П . . . I »♦ ♦"

0123456 012345 6

Рис. 2.2. Графическое представление потоков постнумерандо и пренумерандо

ловно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формируются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгорит­мы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последую­щего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках ре­шения двух задач: (а) прямой, т. е. проводится оценка с пози­ции будущего (реализуется" схема наращения); (б) обратной, т. е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Пряная задача предполагает суммарную оценку наращенно­го денежного потока, т. е. в ее основе лежит будущая стои­мость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов ла вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула (2.2).

Несложно показать, что будущая стоимость исходного де­нежного потока постнумерандо РУр51 может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т. е. в общем виде формула имеет вид:

Р^=£ск(1+г)"-к. (2.9)

к=1

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконти­рованного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдель­ные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, не­посредственное их суммирование невозможно. Приведение де­нежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью формулы (2.8). Основным результатом расчета яв­ляется определение общей величины приведенного денежного потока. Используемые при этом расчетные формулы различны в зависимости от вида потока — постнумерандо или пренуме- рандо. Именно обратная задача является основной при оценке инвестиционных проектов.

В частности, приведенная стоимость денежного потока по- стнумерандо РУр51 в общем случае может быть рассчитана по формуле:

РУ V Ск (2-Ю)

Несложно показать, что для потоков Пренумерандо форму­лы (2.9) и (2.10) трансформируются следующим образом:

РУрге=РУр51-(1+г) (2.11)

Р^ргс = РУр51 • (1+г) (2.12)

Необходимо отметить, что ключевым моментом в рассмот­ренных схемах является молчаливая предпосылка о том, что анализ ведется с позиции «разумного инвестора», т. е. инве­стора, не накапливающего полученные денежные средства в каком-нибудь сундуке, подобно небезызвестному Плюшкину, а немедленно инвестирующего их с целыо получения дополни­тельного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях, т. е. и при наращении, и при дисконтировании, предполагается капитализация по схеме сложных процентов.

Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерче­ских расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложен­ная в схему аннуитетных платежей широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвести­ционных проектов, а также в анализе аренды.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправлен­ный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает до­полнительное ограничение, а именно, элементы денежного по­тока одинаковы по величине. В дальнейшем изложении мате­риала мы будем придерживаться именно второго подхода. Если число равных временных интерналов ограничено, аннуи­тет называется срочным. В этом случае:

С, - Сз » .... - С„ - А.

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений они могут быть существенно упрощены.

В частности, для решения прямой задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо при заданных ве­личинах регулярного поступления (А) и процентной ставке (г) можно воспользоваться формулами (2.13) и (2.14):

РУ' = АРМЗ(г,п), (2.13)

- РУ(;;С (1+г) = А РМЗ(г,п) (1+г), (2.14)

где

г

Экономический смысл РМЗ(г,п), называемого мультипли­цирующим множителем для аннуитета, заключается в следую­щем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель РМЗ(г.п) часто используется в финансовых вычис­лениях, и поскольку легко заметить, что его значения в общем виде зависят лишь от г и п, они также.табулированы.

Для решения обратной задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо, являющейся основной при анализе инвестиционных проектов, денежные притоки которых имеют вид аннуитетных поступлений, можно воспользоваться формулами (2.16) и (2.17):

РУ^, =АРМ4(г,п), (2.16)

-РУ,^ (1+г) = А-РМ4(г,п) (1+г), (2.17)

глс

РМ4(Г,п) = У-1_=1-(1+г)"". £(1+к)к г

Экономический смысл РМ4(г,п), называемого дисконти­рующим множителем для аннуитета, заключается в следую­щем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступления­ми в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося п рапных периодов с заданной про­центной ставкой г. Значения этого множителя также табули­рованы.

При выполнении некоторых расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессроч­ным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике, к бессрочным отно­сятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет).

В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касает­ся обратной задачи, то ее решение для аннуитета постнуме- рандо делается на основе формулы:

PV = —. (219)

г

Приведенная форМула используется для оценки целесооб­разности приобретения бессрочного аннуитета. В этом случае известен размер годовых поступлений; в качестве коэффициен­та дисконтирования г обычно принимается гарантированная процентная ставка (например, процент, предлагаемый государ­ственным банком). Наиболее полную и систематизированнную сводку формул и методов прикладной финансовой математики, а также примеры их использования можно найти в [Уланов].

<< | >>
Источник: Ковалев В. В., Ковалев Вит. В.. Финансы организаций (предприятий). 2007

Еще по теме Процентные ставки и схемы начисления.:

  1. 8.8. ПРОЦЕНТНЫЕ ПЛАТЕЖИ ПО КРЕДИТАМ
  2. СТАВКА ЭФФЕКТИВНАЯ
  3. СТАВКА ЭФФЕКТИВНАЯ
  4. Процентные ставки и схемы начисления.
  5. Номинальная и эффективная процентные ставки
  6. 2.3. Наращение и дисконтированиеПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ
  7. 3.2. Анализ процентных ставок в условиях инфляции
  8. 15.6. Расчет процентного дохода
  9. 18.4. СИСТЕМА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  10. 7.2. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ И МЕТОДЫ ИХ НАЧИСЛЕНИЯ 7.2.1. ПОНЯТИЕ ПРОСТОГО И СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА
  11. 7.2.3. ВНУТРИГОДОВЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ
  12. 7.2.6. ЭФФЕКТИВНАЯ ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  13. 1.7.Номинальная и эффективная процентные ставки
  14. §3.1. Начисление сложных годовых процентов
  15. 2.2. Наращение по схеме сложных процентов
  16. 4.2. Эквивалентность процентных ставок
  17. З.13. ПРОЦЕНТНЫЕ СВОПЫ