<<
>>

§ 2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА

Постановка задачи

Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция /(х), определенная

на множестве X = Яп.

Требуется исследовать функцию /(х) на экстремум, т.е. определить точки

х* € Яп ее локальных минимумов и максимумов на Яп:

Стратегия решения задачи

Находятся точки х* локальных экстремумов с помощью необходимых ус­ловий первого и второго порядка (порядок условий определяется порядком ис­пользуемых производных), а также достаточных условий безусловного локаль­ного экстремума.

Вычисляются значения /(**) функции в найденных точках ло­кальных экстремумов.

Утверждение 2.1 (необходимые условия экстремума первого порядка). Пусть х* е Яп есть точка локального минимума (максимума) функции /(х)

на множестве К1 и /(х) дифференцируема в точке х*. Тогда градиент функции

/(х) в точке х* равен нулю, т.е.

(2.2)

или

(2.3)

Определение 2.1. Точки х*, удовлетворяющие условию (2.2) или (2.3), назы­ваются стационарными.

Утверждение 2.2 (необходимые условия экстремума второго порядка).

Пусть точка х* есть точка локального минимума (максимума) функции /(х)

(2.4)

(2.5)

на множестве В* и функция /(х) дважды дифференцируема в этой точке.

Тогда матрица Гессе #(**) функции /(х), вычисленная в точке х*, является положи­тельно полуопределенной (отрицательно полу определенной), т.е.

Утверждение 2.3 (достаточные условия экстремума).

Пусть функция /(х) в точке х* е Лп дважды дифференцируема, ее градиент равен нулю, а матрица Гессе является положительно определенной (отрицательно определенной), т.е.

У/(х*) = 0 и #(**)gt; 0, (2.6)

(#(**)lt; 0). (2.7)

Тогда точка х* есть точка локального минимума (максимума) функции /(х) на множестве Я*.

*12

*22

• К о

*2л

Кг quot; Кп
Кг\

ы

.... Ди II •• К

•• Кп

называются

Определение 2.2. Рассмотрим определитель матрицы Гессе я(х*|, вычис­ленной в стационарной точке

ёй #(**)=

1. Определители Л| =Лц, Д2 =

угловыми минорами.

2. Определители /я-го порядка (тйп), получающиеся из определителя

матрицы я(х*) вычеркиванием каких-либо (п-т) строк и (п-т) столбцов с одними и теми же номерами, называются главными минорами.

Для проверки выполнения достаточных условий экстремума и необходи­мых условий второго порядка используются два способа.

Первый способ (с помощью угловых и главных миноров).

А. Критерий проверки достаточных условий экстремума (критерий Сильвест­ра).

1. Для того чтобы матрица Гессе я|х*| была положительно определенной

(#(**)gt; 0) и точка х* являлась точкой локального минимума, необходимо и дос­таточно, чтобы знаки угловых миноров были строго положительны:

Д!gt;0, Д2gt;0,..., Дя gt; 0. (2.8)

2. Для того чтобы матрица Гессе я|х*| была отрицательно определенной

(я(х*) lt; 0) и точка х* являлась точкой локального максимума, необходимо и дос­таточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного:

(2.9)

Д1lt;0, Д2 gt;0, А3 lt;0,..., (-1)ЯДЙgt;0.

Б.

Критерий проверки необходимых условий экстремума второго порадка.

1. Для того чтобы матрица Гессе #(**) была положительно палуопределенной

) gt; 01 и точка х* может быть являлась точкой локального минимума, необхо­димо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны.

2. Для того чтобы матрица Гессе была отрицательно палуопределенной

) lt; о| м точка х* может быть являлась точкой локального максимума, необ­ходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрица­тельны, а все главные миноры нечетного порядка - неположительны.

Второй способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе).

Определение 2.3. Собственные значения Хь / = 1,...,л, матрицы #(**) разме­ра (п х п) находятся как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения п -й степени):

Нп-Х кп ••• Н1п

|я(х*)-Хpound;| =

Л21 1*22-X ••• Л2л

gt;0. (2.10)

К\ Кг ... Алл -X

Замечание 2.1. Собственные значения вещественной симметриче­ской матрицы я(х*| вещественны.

Оба способа проверки достаточных и необходимых условий экстремума второго порядка приведены в табл. 2.1.

Алгоритм решения задачи

Шаг 1. Записать необходимые условия экстремума первого порядка в фор­ме (2.3) и найти стационарные точки х* в результате решения системы п в об­щем случае нелинейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Для чис­ленного решения системы могут использоваться методы простой итерации, Зей- деля, Ньютона.

Шаг 2. В найденных стационарных точках х* проверить выполнение доста­точных, а если они не выполняются, то необходимых условий второго порядка с помощью одного из двух способов (см. табл. 2.1).

Шаг 3. Вычислить значения /(**) в точках экстремума.

Описанный алгоритм отображен на рис. 2.1, где показана последова­тельность действий в случаях выполнения и невыполнения соответствующих ус­ловий экстремума при применении первого способа.

Замечания 2.2.

I. Продолжение исследований, которое требуется в ряде случаев, разобран­ных в табл. 2.1, при решении практических задач, как правило, не проводится, за исключением небольшого числа модельных примеров.

2. Если требуется определить глобальные экстремумы, то они находятся в результате сравнения значений функции в точках локальных минимумов и

максимумов с учетом ограниченности функции на Яп.

3. Для случая функции /(х) одной переменной (п = 1) можно сформули­ровать правило, заменяющее п. 2 алгоритма:

Если функция /(х) и ее производные непрерывны, то точка х* является точкой экстремума тогда и только тогда, когда число т - четное, где т - поря­док первой не обращающейся в нуль в точке х* производной. Если /^(х*) gt;0,

то в точке х* - локальный минимум, а если /^(х*| lt; 0, то в точке х* - ло­кальный максимум. Если число т нечетное, в точке х* нет экстремума.

4. Часто на практике, особенно при применении численных методов поис­ка экстремума, рассматриваемых в последующих разделах, требуется проверить, выполняются ли необходимые и достаточные условия экстремума в некоторой точке. Такой анализ необходим, так как многие численные методы позволяют найти лишь стационарную точку, тип которой требует уточнения.

Рис. 2.1

Пример 2.1. Найти экстремум функции /(х) = х2 + х\ на множестве Я2. ? 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

йМ=2х^0; М*1 = 2х2=0.

дх\ дх2

В результате решения системы получаем стационарную точку х* = (0,0)7.

Критерии проверки достаточных и необходимых условий второго порядка в задаче поиска безусловного экстремума

____________________________________________________________________________ Таблица 2.1

п/п

*/И Условия Первый способ Второй способ Тип стационарной точки х•
1 0 gt;0 Достаточные условия экстремума Д1 gt; 0, Д2 gt; 0,..., Дя gt; 0 \ gt; 0,..., хп gt; 0 Локальный

минимум

2 0 lt;0 Достаточные условия экстремума д, lt; о,д2 gt; 0,...,(-1)quot;дл gt; 0 \ lt; 0,..., \ lt; 0 Локальный

максимум

3 0 gt;0 Необходимые условия экстремума второго порядка Все главные миноры определителя матрицы Н[х*) неотрицательны \ pound; 0,...
Дя 2gt; 0
Может быть локальный минимум, требуется дополнительное исследование
4 0 lt;0 Необходимые условия экстремума второго порядка Все главные миноры четного порядка неотрицательны, а нечетного порядка неположительны \ lt; 0,..., хп lt; 0 Может быть локальный максимум, требуется дополнительное исследование
5 0 = 0 Необходимые условия экстремума второго порядка Матрица Гессе состоит из нулевых элементов и

о

и

о

Требуется

дополнительное

исследование

6 0 ЛУ

о

Необходимые условия экстремума второго порядка Не выполняются условия п. 1-5 X. имеют разные знаки Нет экстремума

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.

Первый способ. Матрица Гессе имеет вид #(**) = ^ 2) * ^'ак как

2 О О 2
Д1 = Л| 1 = 2 gt; О, Д2 =

= 4 gt; 0, то в точке х* локальный минимум (строка 1

в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя

(2.10):

^ ^ =0. Отсюда (2 - А.)2 = 0 и X* = Х2 = 2 gt; 0. Так как все собственные

0 2 - А. 4 7 11

значения положительны, то в точке х* локальный минимум (строка 1 в табл. 2.1). Из примера 1.19 следует, что функция является строго выпуклой на множе­стве В2. Поэтому точка локального минимума является и точкой глобального минимума (см.

п. 3 утверждения 1.1).

3. Вычислим значение функции в точке глобального минимума:/(**) = 0. #9632;

Пример 2.2. Найти экстремум функции /(х) = х2 - х\ на множестве Я2.

? 1. Запишем необходимые условия первого порядка:

ЁМ = 2х^0; = -2х2=0.

дхх 1 дх2

В результате решения системы получаем стационарную точку х* = (0,0)Т.

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка.

как

Первый способ. Матрица Гессе имеет вид #(**) = ^ ^. Так

2 0‘

Ф =-4lt;0, то достаточные условия экстремума не

А1 — йц = 2 gt; 0, А2 =

выполняются (строки 1 и 2 в табл. 2.1). Согласно схеме (рис. 2.1)?проверим вы­полнение необходимых условий второго порядка. Главные миноры первого по­рядка (т-1) получаются из Д2 в результате вычеркивания п-т = 2-1 = 1 строк и столбцов с одинаковыми номерами: -2, 2. Главный минор второго порядка (т = 2) получается из Д2 в результате вычеркивания п-т = 0 строк и столбцов, т.е. совпадает с Д2: -4. Отсюда следует, что необходимые условия экстремума второго порядка не выполняются (строки 3 и 4 в табл. 2.1). Так как матрица Гес­се не является нулевой, то можно сделать вывод о том, что в точке х* нет экс­тремума (строка 6 в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя

(2.10):

IV

Отсюда Хх = 2 gt; 0, Х2 = -2 lt; 0, т.е. собственные значения имеют разные знаки.

Поэтому точка х* не является точкой минимума или максимума (строка 6 в табл. 2.1), а является седловой точкой (аналогична изображенной на рис. 1.3, в).

3. Так как экстремум не достигается ни в одной точке, /(**) не вычисля­ется. #9632;

Пример 2.3. Найти экстремум функции /(х) = х2 + х2 на множестве Я2.

? 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

ЁМш2х1 шО; йМт 4хз=0.

дх\ дХ2

В результате решения системы получаем стационарную точку х* = (0,0)Т.

2. Проверим выполнение достаточных и необходимых условий второго по­рядка. Матрица Гессе имеет вид я(х*)=^ 12х*2) = (о о)* КШС

А] = Л} 1 = 2 gt; 0, А2 =

2 О О О

ются (строки 1 и 2 в табл. 2.1). Согласно схеме (рис. 2.1) проверим выполнение необходимых условий экстремума второго порядка. Аналогично решению приме­ра 2.2 получаем главные миноры первого порядка: 2, 0 и главный минор второго порядка: 0. Так как все главные миноры неотрицательные, то в точке х* может быть минимум и требуется дополнительное исследование (строка 3 в табл. 2.1).

3. Вычислим значение целевой функции в точке х* : /(**) = 0 и рас­смотрим е-окрестность точки х*, а также поведение функции /(х) на множестве Я2. При любых хеЯ2 имеем: /(х)^ /(х*) = 0 (см. рис. 1.2), что соответствует

не только определению 1.2, но и определению 1.1. Поэтому точка х* является точкой глобального минимума. #9632;

Пример 2.4. Найти экстремум целевой функции /(х) = 2х2 + х^2 + х2 на

множестве Я2.

? 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

= 4х! + х2 = 0; д/(х) - хх + 2х2 = 0.

д Х| д х2

В результате решения системы получаем стационарную точку х* = (0,0)г.

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума первым спосо­бом. Матрица Гессе имеет вид #(х*| ^ ^. Так как А! = 4gt;0,

д2=8-1 = 7gt;0,то точка х* является точкой локального минимума (строка 1 в табл. 2.1) и я|х*| gt;0. Согласно п. 3 замечаний 1.4 функция является строго вы­пуклой. Поэтому точка х* - точка глобального минимума (см. п. 3 утверждения

1.1).

3. Вычислим значение функции в точке глобального минимума:/(х*| = 0. #9632;

= 0, то достаточные условия экстремума не выполня-

Первый способ. Матрица Гессе имеет вид Я^х* | = 1-2 1

= 4-1 = 3gt;0, Д3 = (-2) -3 = -6lt;0, т.е. знаки угловых

А| = —2 lt; 0, Д2

Пример 2.5. Найти экстремум функции У(х) = (1 — )2 +ю(х2 “*12)2 на

множестве Я2.

? 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

^^ = -2(1-х,)-40х,(gt;С2-*12)=0; ?/(*) = 20(х2 -х,2)=0.

о Х\ о х2

В результате решения системы получаем стационарную точку х* = (1,1)7*.

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума первым спосо­бом.

Матрица Гессе имеет вид #(**) = ^ ^ • Так как А! = 82 gt; 0,

д2 = 82 • 20- 402 = 1640-1600 = 40 gt; 0, то в точке х* локальный минимум (строка 1 в табл. 2.1) и gt;0. Согласно п. 3 замечаний 1.4 функция является строго

выпуклой. Поэтому точка х* - точка глобального минимума (см. п. 3 утвержде­ния 1.1).

3. Вычислим значение функции в точке глобального минимума:/(**) = 0. #9632;

Пример 2.6. Найти экстремум функции f{x) = -х2 -х2 -х2 -х{ + ххх2 + 2х3 на множестве В?.

? 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

^ = -2х| -1 + х2 =0, У^ = -2х2 + хг = 0, У^ = -2х3 + 2 = 0.

ОХ 1 о х2 о х3

В результате решения системы получаем стационарную точку х* = .

2. Проверим выполнение достаточных условий.

-2 1 0^

1 -2 0 . Так как

,0 0-2;

миноров чередуются, начиная с отрицательного, то точка х - точка локального максимума (строка 2 в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя (2.10):

ба(н -хё) =

-2-Х 1 0

= 0.

1 -2-Х 0

0 0 -2-Х

Отсюда (— 2 — Л.) [(— 2 — Л,)2 — 1 ] = 0 и = -2 lt; 0Д2 = -1 lt; О, А,3 = -3 lt; 0. Так как

все собственные значения матрицы Гессе отрицательны, то в точке х* локаль­ный максимум (строка 2 в табл. 2.1).

3. Вычислим значение функции в точке локального максимума:/(**) =

Пример 2.7. Найти экстремум функции

/(х) = X3 + х\ + *3 + *2*3 quot; $Х1 + 6*2 + 2

на множестве В3.

? 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

: 2*з +*2=0.

•pound;^1 = зх,2-з = о, pound;^1=2x2+*з+6=о, = :

д *1 9 *2 5 *3

В результате решения системы получаем две стационарные точки:

*1,-(1,-4.2)г. х2* =(-1,-4,2)г.

2. Проверим выполнение достаточных и необходимых условий второго по­рядка в каждой стационарной точке двумя способами.

г6 0 0^

0 2 1

,0 1 2,

Так как

Д! = 6 gt; 0, А2 = I

Исследуем точку х1* = (1,-4,2) .

Первый способ. Матрица Гессе имеет вид я(*!*| = 16 0

= 12 gt; 0, Д3 = 18 gt; 0, то точка * является точкой локаль­

0 2

ного минимума (строка 1 в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя

(2.10):

6-А, 0 0

= (6 - А.) [(2 - А.)2 -1] = 0.

2- А. 1 1 2 - А,

Отсюда А.! = 6 gt; 0, А.2 = 3 gt; 0, А.3 = 1 gt; 0 и точка х1* является точкой локаль­

ного минимума (строка 1 в табл. 2.1).

Исследуем точку *2* = (-1,-4,2)Г.

'-6 0 (Л

. Так как
0 2 1

Ю 1 2)

-6 о 0 2
д, = -6 lt;о, д2 =
г —12lt;0, Д3 = -18lt;0, то достаточные условия экс­
тремума не выполняются (строки 1 и 2 в табл. 2.1). Согласно схеме (рис. 2.1) проверим необходимые условия экстремума второго порядка. Главные миноры
0 О 2 1

1 2

в результате вычеркива­

Первый способ. Матрица Гессе имеет вид #(х2*) =

первого порядка (т-1) получаются из А3 =

ния л-/и = 3-1 = 2 строк и 2 столбцов с одинаковыми номерами:-6, 2, 2. Глав­ные миноры второго порядка (т = 2) получаются из А3 в результате вычеркива­ния л-/и = 3-2 = 1 строк и столбцов с одинаковыми номерами: 3, -12, -12. Главный минор третьего порядка (т = 3) получается из Д3 в результате вычерки­вания л-/и = 3- 3 = 0 строк и столбцов, т.е. совпадает с Д3 = -18. Отсюда следу­ет, что необходимые условия экстремума второго порядка не выполняются (строки 3 и 4 в табл. 2.1). Так как матрица Гессе не является нулевой, то можно сделать вывод о том, что в точке х2* нет экстремума (строка 6 в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе:

-6-А. О О

2-А.

1

1

2-А,

= (-6-Х) [(2-Х,)2 — 1 ] = 0.

Отсюда А.| = -6 lt; О, А.2 = 3 gt; О, А.3 = 1 gt; О, т.е. собственные значения имеют раз­ные знаки. Поэтому в точке х2* нет экстремума (строка 6 в табл. 2.1).

3. Вычислим значение функции в точке х1* локального минимума: /(*'•) = -12.«

Пример 2.8. Найти экстремум функции /(*) = -х2 + 2х{х2 -х2 - 4х2 на множестве В3.

? 1. Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:

—= -2х, + 2х2 = 0, = 2х, -2х2 = 0, ^^ = -8x3=0.

д Х\ дх2 д х3

В результате решения системы получаем бесконечное множество стационарных точек, удовлетворяющих соотношениям: х\ = *2, *3 = О-

2. Проверим выполнение достаточных и необходимых условий второго по­рядка.

Оquot;

О

-8,

(-2 2

Первый способ. Матрица Гессе имеет вид #(**) =

. Так как

2 -2 Ю О

-2 2 0 : 0, Д3 — 2 - 2 0

0 0-8

экстремума не выполняются (строки 1 и 2 в табл. 2.1). Согласно схеме (см. рис.2.1) проверим необходимые условия второго порядка. Поступим аналогично решению примера 2.7. Главные миноры первого порядка получаются из Д3 в ре­зультате вычеркивания двух строк и столбцов с одинаковыми номерами: -2,-2,-8. Главные миноры второго порядка получаются из А3 в результате вычеркивания по одной строке и столбцу с одинаковым номером: 16, 16, 0. Главный минор

= 0, то достаточные условия
Ді = -2 lt; О, Д2 =

•2 2

третьего порядка совпадает с А3 = 0. Так как все главные миноры четного по­рядка неотрицательны, а все миноры нечетного порядка неположительны , то можно сделать вывод о том, что в исследуемых стационарных точках может быть максимум и требуется продолжение исследования (строка 4 в табл. 2.1).

:(-8-Х)[(-2-Х)2-4]=0.

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе: -2-А. 2 0

2 -2-А. 0

0 0 -8-А.

Отсюда = - 8 lt; 0, А,2 = 0, А.3 = -4 lt; 0, т.е. собственные значения неположи­тельны. Поэтому в стационарных точках может быть максимум (строка 4 в табл.

2.1).

3. Функция /(х) может быть записана в форме /(х) = -(х1 - х2 )2 - 4х2. В каждой из найденной в п. 1 стационарной точке /(**) = 0- Исходя из структу­ры функции /(х) можно сделать вывод о том, что для любых хеЛ3 справедли­во: /(х) lt; /(**) = 0. На основании определения 1.1 функция на множестве точек, удовлетворяющих условию: х{ = хpound;, х3 = 0, достигает глобального максимума. #9632;

Пример 2.9. Найти экстремум функции /(х) = х3 - 2х2 + х +1 на множе­стве В.

? 1. Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:

4pound;^ = Зх2-4х + 1 = 0.

ах

Решая уравнение, получаем стационарные точки х1* = —, х2* = 1.

2. Проверяем достаточные условия экстремума. Так как п = 1, то матрица

Гессе состоит из одного элемента: /*п = = 6х-4. В точке х1* =— имеем

(Их 3

А! = -2 lt; 0, а в точке х2* = 1: А! = 2 gt; 0. Поэтому в точке х1* - локальный мак­симум, а в точке х2* - локальный минимум (строки 1 и 2 в табл. 2.1).

3. Вычисляем значения функции в точках экстремума:

/И=§gt; /И=1.»

Пример 2.10. Найти экстремум функции /(х) = (х -1)6 на множестве Я.

? 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

^ = 6(х-1)5=0.

Отсюда стационарная точка х* = 1.

2. Проверим достаточные условия экстремума с учетом п. 3 замечаний 2.2. Первая не равная нулю производная имеет порядок т = 6: /^(х) = 6!gt;0. Так как т четное, то функция достигает в точке х* локального минимума.

3. Вычислим значение функции в точке минимума: /(**) = 0. #9632;

Пример 2.11. Найти экстремум функции

/(х) = 5х6 - Збх5 + - 60х3 + 36

на множестве Я.

? 1. Выпишем необходимое условие экстремума первого порядка:

= 30х5 -180*4 + ЗЗОх3 - 180л:2 = 30х2(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 0.

йх

Отсюда получаем стационарные точки: х1* = 0, х2* = 1, х3* = 2, х4* = 3.

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума:

= 150х4 - 720х3 + 990х2 - ЗбОх;

/quot;(х1*) = 0, /”(х2*) = 60 gt; 0, /quot;(х3*) = -120 lt; 0, /quot;(х4*) = 540 gt;0.

Поэтому в точках х2*, х4* - локальный минимум, а в точке х3* - локальный максимум (см. строки 1 и 2 в табл. 2.1 или п. 3 замечаний 2.2). В точке х1* дос­таточные условия не выполняются (строка 5 в табл. 2.1), поэтому вычислим тре­тью производную:

/(3)(х‘*)= 600х3 - 2160х2 + 1980х - 360 |х1.=0 = -360.

Так как эта производная отлична от нуля и имеет нечетный порядок, то в точке х1* нет экстремума (см. п. 3 замечаний 2.2). #9632;

<< | >>
Источник: Пантелеев А. В., Летова Т. А.. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. посо- бие/А. В. Пантелеев, Т. А. Летова. — 2-е изд., исправл. — М.: Высш. шк.,— 544 с.: ил.. 2005

Еще по теме § 2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА:

  1. Задача о замене оборудования
  2. § 2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
  3. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ ТИПА РАВЕНСТВ
  4. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ ТИПА НЕРАВЕНСТВ
  5. § 4. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
  6. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ 5.1.1. Постановка задачи и стратегии поиска
  7. МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО ГРАДИЕНТНОГО СПУСКА
  8. МЕТОД НЬЮТОНА
  9. § 8. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
  10. МЕТОД ШТРАФОВ
  11. МЕТОД БАРЬЕРНЫХ ФУНКЦИЙ