2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов

Разумеется, для знакопеременного потока его обобщающие характеристики вычисляются как алгебраические суммы. В об­щем случае приведенную величину потока можно рассматривать для произвольного момента времени, а не только в начале, как для А, или конце потока, как для

Поток платежей, все члены которого — положительные вели­чины, а интервалы времени между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ниже приводятся формулы для потока с выплатами в конце периода, так называемые ренты постнумерандо. Если платежи приходятся на начало каждого периода (рента пренумерандо), то обобщаю­щие характеристики нетрудно получить, опираясь на формулы предыдущего случая с учетом временного сдвига.

Общая постоянная рента — последовательность р одинаковых выплат на протяжении года в течение всего срока ренты п (число лет) с т-разовым ежегодным начислением процентов по одной и той же годовой ставке / (десятичная дробь). Наращенная сумма 5 и современная величина А общей ренты составят:

(2.1)

где Я — годовая сумма платежа.

Простая годовая рента — выплаты производятся один раз в конце каждого года, проценты начисляются раз в году (р = т = 1). Обобщающие характеристики:

(2.2)

Множители s(n, i) = [(1 + if - 1]//, a(n, i) = [1 - (1 + /Г"]// в (2.2) называют коэффициентом наращения и соответственно приведения годовой ренты.

Вечная рента (п = оо). Современная величина бессрочной рен­ты равна:

Л-*.

Переменные потоки платежей {Л,}: платежи изменяются во времени. Обобщающие характеристики получают, как правило, путем прямого счета. Частные случаи:

• рента с постоянным абсолютным приростом платежей: Л, + ! - Л, = я, т.е. {Л, = + 1 )а, /=1,2,..., п}\

S= А+- •

_в а) (1 -у") яау" ..

/?і+т • . —г—> у = т.е.

%

= 1,2,..., и};

[(l+OMli*)"].

5^, = Л

а-к)

а-к) '

Частные случаи:

• постоянная непрерывная рента с начислением процентов раз в год. Обобщающие характеристики для такой ренты получа­ются из формул (2.1), в которых т = 1, с помощью предельного перехода при р -> оо.

(1+/)"-!. ' 1п(1+/) '

Ы1+/Г" 1п(1+/)

Аналогичным путем находятся приведенные значения непре­рывной ренты при капитализации процентов т раз в году;

• постоянная непрерывная рента с непрерывным начислени­ем процентов.

5

(2.8)

Ъп

8

Объединение и замена рент. Для подобных изменений в случае равноправных участников должны выполняться требования фи­нансовой эквивалентности конструируемой (новой) последова­тельности платежей базовым условиям. Они сводятся к так назы­ваемому уравнению эквивалентности, в котором сумма заменяе­мых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнена к сумме платежей искомой последовательности, приведенных к той же дате.

Простейшим примером такой замены является разовый пла­теж, приходящийся на начало потока и равный его современной величине. Его инвестирование по ставке / полностью обеспечи­вает все платежи потока, а порожденная им на дату замыкающе­го платежа сумма приводит в точности к наращенной стоимости всей последовательности платежей:

(2.9)

Для сложных процентов способы приведения знакоперемен­ных потоков принципиально не отличаются от единообразных правил действия с потоками однонаправленных платежей.