2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
Разумеется, для знакопеременного потока его обобщающие характеристики вычисляются как алгебраические суммы. В общем случае приведенную величину потока можно рассматривать для произвольного момента времени, а не только в начале, как для А, или конце потока, как для
Поток платежей, все члены которого — положительные величины, а интервалы времени между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ниже приводятся формулы для потока с выплатами в конце периода, так называемые ренты постнумерандо. Если платежи приходятся на начало каждого периода (рента пренумерандо), то обобщающие характеристики нетрудно получить, опираясь на формулы предыдущего случая с учетом временного сдвига.
Общая постоянная рента — последовательность р одинаковых выплат на протяжении года в течение всего срока ренты п (число лет) с т-разовым ежегодным начислением процентов по одной и той же годовой ставке / (десятичная дробь). Наращенная сумма 5 и современная величина А общей ренты составят:
ґ і \тп |
(2.1)
![]() |
где Я — годовая сумма платежа.
Простая годовая рента — выплаты производятся один раз в конце каждого года, проценты начисляются раз в году (р = т = 1). Обобщающие характеристики:
![]() |
(2.2)
![]() |
Множители s(n, i) = [(1 + if - 1]//, a(n, i) = [1 - (1 + /Г"]// в (2.2) называют коэффициентом наращения и соответственно приведения годовой ренты.
(2.3) |
Вечная рента (п = оо). Современная величина бессрочной ренты равна:
Л-*.
Переменные потоки платежей {Л,}: платежи изменяются во времени. Обобщающие характеристики получают, как правило, путем прямого счета. Частные случаи:
• рента с постоянным абсолютным приростом платежей: Л, + ! - Л, = я, т.е. {Л, = + 1 )а, /=1,2,..., п}\
(1 + /У-1 |
па г~> / |
(2.4) |
S= А+- •
в а) (1 -у") яау" ..
(2.5) |
/?і+т • . —г—> у = т.е.
%
= 1,2,..., и};
(2.6) |
Л=Д |
где к = 1 — # — темп прироста Непрерывные потоки платежей. В ряде случаев более адекватное описание финансовых явлений достигается, когда поток платежей рассматривается как непрерывный процесс. |
[(l+OMli*)"].
5, = Л
а-к)
а-к) '
Частные случаи:
• постоянная непрерывная рента с начислением процентов раз в год. Обобщающие характеристики для такой ренты получаются из формул (2.1), в которых т = 1, с помощью предельного перехода при р -> оо.
(1+/)"-!. ' 1п(1+/) '
5 = Д |
(2.7) |
Ы1+/Г" 1п(1+/)
Аналогичным путем находятся приведенные значения непрерывной ренты при капитализации процентов т раз в году;
• постоянная непрерывная рента с непрерывным начислением процентов.
5
(2.8)
Ъп
8
Объединение и замена рент. Для подобных изменений в случае равноправных участников должны выполняться требования финансовой эквивалентности конструируемой (новой) последовательности платежей базовым условиям. Они сводятся к так называемому уравнению эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнена к сумме платежей искомой последовательности, приведенных к той же дате.
Простейшим примером такой замены является разовый платеж, приходящийся на начало потока и равный его современной величине. Его инвестирование по ставке / полностью обеспечивает все платежи потока, а порожденная им на дату замыкающего платежа сумма приводит в точности к наращенной стоимости всей последовательности платежей:
(2.9)
Для сложных процентов способы приведения знакопеременных потоков принципиально не отличаются от единообразных правил действия с потоками однонаправленных платежей.
Еще по теме 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов:
- 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
- 2.1.2. Потоки платежей в схеме простых процентов
- 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
- 2.1.2. Потоки платежей в схеме простых процентов
- 1.2 Модели развития операций по схеме сложных процентов 1.2.1 Стандартная схема сложных процентов
- 2.2. Наращение по схеме сложных процентов
- Г л а в а 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
- Потоки платежей в схеме простых процентов
- 6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков платежей в схеме простых процентов
- 8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов
- 8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов
- 8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов
- 8.7. Эффективные ставки кредитных сделок и общее понятие ставки в схеме сложных процентов
- 8.9. Стандартная схема сложных процентов
- Глава 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей в схеме сложных процентов
- Модели с переменным капиталом и потоки платежей в схеме сложных процентов