<<
>>

2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов

Обобщающие характеристики финансового потока. Наращен­ная сумма (аУ) — сумма наращений всех платежей потока на дату его окончания. Современная величина {А) — сумма современных величин всех платежей потока.

Разумеется, для знакопеременного потока его обобщающие характеристики вычисляются как алгебраические суммы. В об­щем случае приведенную величину потока можно рассматривать для произвольного момента времени, а не только в начале, как для А, или конце потока, как для

Поток платежей, все члены которого — положительные вели­чины, а интервалы времени между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ниже приводятся формулы для потока с выплатами в конце периода, так называемые ренты постнумерандо. Если платежи приходятся на начало каждого периода (рента пренумерандо), то обобщаю­щие характеристики нетрудно получить, опираясь на формулы предыдущего случая с учетом временного сдвига.

Общая постоянная рента — последовательность р одинаковых выплат на протяжении года в течение всего срока ренты п (число лет) с т-разовым ежегодным начислением процентов по одной и той же годовой ставке / (десятичная дробь). Наращенная сумма 5 и современная величина А общей ренты составят:

ґ і \тп

(2.1)

где Я — годовая сумма платежа.

Простая годовая рента — выплаты производятся один раз в конце каждого года, проценты начисляются раз в году (р = т = 1). Обобщающие характеристики:

(2.2)

Множители s(n, i) = [(1 + if - 1]//, a(n, i) = [1 - (1 + /Г"]// в (2.2) называют коэффициентом наращения и соответственно приведения годовой ренты.

(2.3)

Вечная рента (п = оо). Современная величина бессрочной рен­ты равна:

Л-*.

Переменные потоки платежей {Л,}: платежи изменяются во времени. Обобщающие характеристики получают, как правило, путем прямого счета. Частные случаи:

• рента с постоянным абсолютным приростом платежей: Л, + ! - Л, = я, т.е. {Л, = + 1 )а, /=1,2,..., п}\

(1 + /У-1
па г~> /
(2.4)

S= А+- •

в а) (1 -у") яау" ..

(2.5)

/?і+т • . —г—> у = т.е.

%

= 1,2,..., и};

(2.6)
Л=Д
где к = 1 — # — темп прироста

Непрерывные потоки платежей. В ряде случаев более адекват­ное описание финансовых явлений достигается, когда поток пла­тежей рассматривается как непрерывный процесс.

[(l+OMli*)"].

5, = Л

а-к)

а-к) '

Частные случаи:

• постоянная непрерывная рента с начислением процентов раз в год. Обобщающие характеристики для такой ренты получа­ются из формул (2.1), в которых т = 1, с помощью предельного перехода при р -> оо.

(1+/)"-!. ' 1п(1+/) '

5 = Д
(2.7)

Ы1+/Г" 1п(1+/)

Аналогичным путем находятся приведенные значения непре­рывной ренты при капитализации процентов т раз в году;

• постоянная непрерывная рента с непрерывным начислени­ем процентов.

5

(2.8)

Ъп

8

Объединение и замена рент. Для подобных изменений в случае равноправных участников должны выполняться требования фи­нансовой эквивалентности конструируемой (новой) последова­тельности платежей базовым условиям. Они сводятся к так назы­ваемому уравнению эквивалентности, в котором сумма заменяе­мых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнена к сумме платежей искомой последовательности, приведенных к той же дате.

Простейшим примером такой замены является разовый пла­теж, приходящийся на начало потока и равный его современной величине. Его инвестирование по ставке / полностью обеспечи­вает все платежи потока, а порожденная им на дату замыкающе­го платежа сумма приводит в точности к наращенной стоимости всей последовательности платежей:

(2.9)

Для сложных процентов способы приведения знакоперемен­ных потоков принципиально не отличаются от единообразных правил действия с потоками однонаправленных платежей.

<< | >>
Источник: Капитоненко В. В.. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, — 256 с.. 2007

Еще по теме 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов:

  1. 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
  2. 2.1.2. Потоки платежей в схеме простых процентов
  3. 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
  4. 2.1.2. Потоки платежей в схеме простых процентов
  5. 1.2 Модели развития операций по схеме сложных процентов 1.2.1 Стандартная схема сложных процентов
  6. 2.2. Наращение по схеме сложных процентов
  7. Г л а в а 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
  8. Потоки платежей в схеме простых процентов
  9. 6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков платежей в схеме простых процентов
  10. 8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов
  11. 8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов
  12. 8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов
  13. 8.7. Эффективные ставки кредитных сделок и общее понятие ставки в схеме сложных процентов
  14. 8.9. Стандартная схема сложных процентов
  15. Глава 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей в схеме сложных процентов
  16. Модели с переменным капиталом и потоки платежей в схеме сложных процентов