<<
>>

Тесты и задачи для самостоятельного решения

Для каждого потребительского набора х и вектора цен р определим функцию т(р, х) как минимальную стоимость потребительского набора, полезность которого не ниже, чем полезность набора х, т.е.

как значение следующей задачи:

pz ^ min z u(z) > u(x).

Покажите, что при каждом (положительном) векторе цен р полученная характеристика потребительских наборов представляет собой функцию полезности для соответствующих предпочтений. Дайте графическую интерпретацию процесса ее построения.

Пусть функция u(.) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и строго монотонные предпочтения, ,(.) — соответствующая непрямая функция полезности. Покажите, что если u (.) построена на основе задачи (#), то u (х) = u(x) V хем!+.

Указание: Используйте теорему отделимости (см. доказательство утверждения о восстановлении технологического множества по функции прибыли). Множество 3 (х) = {у |

уу х } можно отделить от точки х. Поскольку предпочтения строго монотонны, то нормаль р к отделяющей гиперплоскости — вектор с положительными коэффициентами. Тогда р — решение задачи (#).

и(х) = U , если 3 U, .р>0, такие что х = Vp е(р, U). и(х) = в противном случае Покажите, что е(р, U) — функция затрат для функции полезности и(.).

Пусть функция и(.) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и строго монотонные предпочтения, а е(р, U) — соответствующая ей функция затрат, >(р, U) — хиксианская функция спроса, а %(р, —) — маршаллианская функция спроса. Определим множество

Л = {х | 3 U,^>>0: х = Vp е(р, U)}, и функцию и (.) по формуле

и(х) = U , если хе Л, и(х) = в противном случае. Пусть е (р, U) — функция затрат, > (р, U) — хиксианская функция спроса, а

*

% (р, —) — маршаллианская функция спроса, соответствующие функции полезности

и*(.).

Покажите, что

*

и (х) = и(х) , хе Л, е*(р, U) = е(р, U), >**(р, U) = >(р, U), %*(р, —) = %(р, —).

Пусть функция е(р, U) дифференцируема, однородна первой степени, не убывает и вогнута по р. Тогда

е(р, U) = min^u) .рх,

где

C(U) = {х^0 | ^х^е(р, U) V^0}.

Пусть и(х) — функция полезности.

Вычислите для нее непрямую функцию полезности, решите задачу (#) и вычислите "восстановленную" функцию полезности

*

и (х). Совпадает ли она с исходной функцией полезности? Решите задачу для сле-дующих функций полезности:

i

а) и(х) = Е a In хк * б) и(х) = min к ак хк*

4=1

в) и(х) = min(2%1 - %2, 2%2 - %1)* г) и(х) = Цх^2 + хЗ.

Для функций полезности предыдущей задачи найдите денежную функцию полезности и непрямую денежную функцию полезности.

Для функций полезности предыдущей задачи найдите спрос, восстановите непрямую денежную функцию полезности, решив уравнения (##) и постройте "вос-

*

становленную" функцию полезности и (х) в соответствии с задачей (###). Правильно ли восстановлены исходные предпочтения? Найдите спрос, соответствующий

*

функции полезности и (х). Совпадает ли он с исходным спросом?

9. Предположим, что на рынке обращаются три товара и цена третьего товара равна 1. Функции спроса на первый и второй товар имеют вид х1(р, —) = 6 + 71 + ?1 p + @1 pР2, х2(р, —) = а2 + 72 p + с2 p + @2 p р2. Найдите функцию спроса на третий товар в предположении выполнения закона Вальраса. Функция полезности какого вида могла бы породить этот спрос? Какие ограничения на параметры гарантируют, что это функция спроса рационального потребителя?

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории. 1998

Еще по теме Тесты и задачи для самостоятельного решения:

  1. Тесты и задачи для самостоятельного решения
  2. Тесты и задачи для самостоятельного решения
  3. Тесты и задачи для самостоятельного решения
  4. Тесты и задачи для самостоятельного решения
  5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕСТОВ В УПРАВЛЕНИИ
  6. Задачи с решениями
  7. Задачи с решениями
  8. 1.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ТЕСТЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1
  9. 4.7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ТЕСТЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 4
  10. 5.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ТЕСТЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 5
  11. 6.10. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ТЕСТЫ и ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 6
  12. 7.5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ТЕСТЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 7
  13. 8.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ТЕСТЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 8
  14. 9.7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ТЕСТЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 9
  15. 10.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ТЕСТЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 10
  16. ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ I
  17. 2.2. Задачи и содержание маркетинговых исследований
  18. Тест