<<
>>

Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида

Вышеприведенные результаты получены при достаточно сильном предположении о функции издержек. Ниже будут приведены естественные обобщения полученных результатов при отказе от этого предположения.

Существование равновесия

Прежде обсудим условия на функции издержек и функции спроса, при которых равновесие Курно существует.

! Теорема 24.

j Предположим, что в модели Курно выполнены следую- I щие условия:

j 1) функции издержек с^у) дифференцируемы при всех j возможных объемах выпуска (неотрицательных у), ! 2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает j при всех неотрицательных у,

j 3) функция р(у + у') ¦ у вогнута по у при любом у > 0, ! 4) функции издержек с3(у) выпуклы (функции предель- j ных издержек не убывают) , j 5) существуют у^> 0 j = 1, ..., п такие, что р(у^) < Cj{yi) при

| и > У г

! Тогда равновесие Курно (г/i, ..., у„) существует, причем

I У V/.

Доказательство.

Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Ниже приводится возможная схема такого доказательства.

1) Докажите, что при любых (разумных) ожиданиях относительно выпуска конкурентов ни одному из производителей не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем г/-. Тем самым, выбор каждого участника может быть ограничен компактным множеством. Можно использовать тот же способ доказательства, что и для монополии. При этом аналогом сово-

v

купного излишка будут функции ^p(t)clt - Cj(y) -сДО). При доказа-

0

тельстве удобно учитывать, что для каждой фирмы j суммарный выпуск других фирм У" есть константа, поэтому задача макси- мизации прибыли по у} сводится к максимизации прибыли по Упри ограничении V"

Докажите непрерывность и вогнутость функции прибыли каждого участника при любых ожиданиях относительно выбора других.

Воспользуйтесь теоремой Нэша. ¦

Сам факт существования равновесия, хоть и повышает доверие к модели Курно, но мало полезен для анализа олигополисти- ческого рынка.

Без информации, характеризующей равновесие, модель Курно, как и любая модель, оказывалась бы мало пригодной. Следующие далее утверждения позволяют сравнить равновесие Курно с монопольным равновесием и равновесием в ситуации совершенной конкуренции.

Сравнение равновесия Курно с равновесием при

совершенной конкуренции

Нижеследующие результаты дают сравнительную характеристику объемов производства в отрасли при разных типах ее организации.

! Теорема 25.

j (1) Предположим, что равновесие Курно, (г/i, ..., у„), и ! равновесие при совершенной конкуренции, (уи ..., уп), j существуют, и обратная функция спроса р(у) убывает.

! п

! Тогда суммарный выпуск в равновесии Курно, Y* = ^г/;,

! i=i

j не превышает суммарный выпуск в условиях совершен-

i п \ ной конкуренции, Y = Yjji-

! <=1

j (2) Если, кроме того, выполнены следующие условия:

! - F>o,

j - обратная функция спроса, р(у), и функции издержек, j с¦(?/), j= 1, ..., п дифференцируемы при всех неотрица- j тельных у, причем p'(Y*) < О j - функции издержек, с ¦(?/), выпуклы, ¦ то Y* меньше Y.? Доказательство.

Поскольку выпуск yj максимизирует прибыль j-ovo производителя в предположении, что суммарный объем производства остальных равен Y-3, то должно выполнятся неравенство

P(Y*) у* - с3(у]) ¦ p(Y*-j + у ) у - г (// ).

С другой стороны, у3 дает j-му производителю максимум прибыли в предположении, что цена неизменна и равна p(Y), поэтому

P(Y) у3 - с3(у3) > p(Y) у* - с3(у3).

Если сложить эти два неравенства, то получается

р(У) у] + p(Y) у3 > P(Y:3 + у3) у3 + p(Y) у]. (*)

Предположим, что существует такая фирма j, которая в равновесии Курно производила бы больше, чем в конкурентном равновесии:

Vi > У г

При убывающей функции спроса из этого неравенства следует, что

p(Y:3 + y3)>p(Y*).

Поскольку у ¦ > 0, то из этого следует, что p(Y*j + у3) у3 > p(Y*) у3.

Сложив это неравенство с неравенством (*), получим

P(Y*) у* + p(Y) у3 > p(Y*) у3 + р{?) у*

или

[p(Y')-p(Y)](y*-y3)^ 0.^

Поскольку мы предположили, что у3 > у3, то

p(Y*)^p(Y).

В силу убывания функции спроса это означает, что

Y* < Y.

С другой стороны, пусть наше предположение неверно, и для всех фирм выполнено у3 < у -.

Суммируя по j, получаем, что Y* < Y

Докажем, использовав дополнительные условия, что неравенство здесь строгое. Предположим, что это не так, и суммарные выпуски совпадают, т.е. Y* = Y.

Может быть только два случая: либо у3 = у3 для всех j= 1, ..., п, либо у3 < у, для некоторого j. И в том и в другом случае существует производитель j, для которого у3> 0 и у3< у3.

Для этого производителя дифференциальная характеристика равновесия Курно имеет вид

Из выпуклости функции издержек следует, что ' '(.'/ > < ' '(.'/ )-

Таким образом

p(Y*J+p'(Y*)y*^c'3%)=p(Y). С учетом того, что Y* = Y, имеем p{Y*) = p{Y), откуда

что противоречит убыванию функции спроса. Таким образом

Y* < Y. ¦

Симметричность равновесия, положительность выпусков И единственность

В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т.е. Cj(y) = с(у), можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие будет симметричным), и положительны. Кроме того, в предположении одинаковости издержек несложно доказать единственность равновесия.

I Теорема 26.

j Предположим, что равновесие Курно (г/i, ..., у„) сущест- j вует и выполнены следующие условия: ! 1) издержки у всех производителей одинаковы, Cj(y) = \ с (у), j = 1, ..., п, причем с (у) — выпуклая функция; I 2) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, j с(у), дифференцируемы; | 3)р(0)>с'(0); j 4) р(у) убывает, j Тогда верно следующее: j (i) Равновесие симметрично:

I .'/ —V/ I п.

j и каждая фирма выпускает в равновесии положитель- I ное количество продукции, т.е.

! .'/ "-V./ I п.

\ (ii) Если, кроме того, функция р(у)у вогнута, то равно- ! весие единственно.? 100

Доказательство.

Покажем, что если функции издержек одинаковы, то каждый производитель в равновесии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, предположим, что существуют производители j и к, такие что > гд. Тогда из условий первого порядка следует, что

р'(У) (Ук - у]) < с'(у к) - С [у]).

Но левая часть данного соотношения положительна, а правая — неположительна.

Таким образом, выпуски всех производителей совпадают:

У3= — Vj.

Суммарный выпуск отрасли, Y*, не может быть равным нулю. В противном случае из условия первого порядка любого из участников следует, что

р(0)-с'(0)<0,

а это противоречит условию теоремы. Таким образом, у3 >0,V j.

Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде

р(Г)+р'(Г)^Г-с'^Г)= О,

или

^р(Г) +р(Г)Г] -с'й=0.

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная Р(У) + Р'(У)У не возрастает. Аналогичным образом, из выпуклости функции с(у) следует неубывание предельных издержек. Учитывая убывание обратной функции спроса р(у), получаем, что выражение в левой части дифференциальной характеристики убы-вает. Отсюда следует единственность объема Y*, удовлетворяющего данному уравнению. ¦

Нижеприведенный пример показывает, что в случае, если функции издержек олигополистов не совпадают, то нельзя гарантировать симметричность равновесия и положительность выпусков; объемы выпуска в модели Курно у некоторых участников могут быть и нулевыми.

Пример 12.

Пусть в дуопольной отрасли р(у) = 4 - 4у, с^у^ = 2г/Д с2(у2) = 2у2+3у1. Легко проверить, что равновесием Курно в этом случае будет точка ух = 1/3, у2 = 0. ^

Еще один пример показывает, что условие дифференцируе- мости функции спроса важно для симметричности и единственности равновесия Курно.

Пример 13.

Пусть в дуопольной отрасли

и с3(у) = у2/4, j = 1, 2. В такой отрасли помимо симметричного равновесия, (1/2, 1/2), существует бесконечно много асимметричных равновесий, в которых суммарное производство равно 1, например, (1/3, 2/3). Ф

Поведение равновесия в модели Курно при росте

количества фирм

Тот, кто изучал начальный курс микроэкономики, мог встретить неформальное утверждение о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так что доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие можно рассматривать как не обладающего рыночной властью (принимающего цены как данные ), и ситуация в отрасли может быть довольно точно описана моделью совершенной конкуренции. Смысл утверждения состоит в том, что с ростом количества участников олигополии отрасль в некотором смысле все более приближается к конкурентной. Докажем вари- ант этого утверждения в частном случае, когда в модели Курно издержки у всех производителей одинаковы, т.е. Cj(y) =с(у).

\ Теорема 27.

! Предположим, что равновесие Курно, (г/i, ..., у„), и рав- j новесие при совершенной конкуренции, (г/ъ ..., уп), суще- j ствуют при любом п > 2, и выполнены следующие усло- ! вия:

! 1) cj(y) = с(у); 3 = 1; »> причем с(у) — выпуклая функ- | ция;

j 2) обратная функция спроса р(у) строго убывает, а j функция р(у) у вогнута ;

! 3) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, j с (у), непрерывно дифференцируемы при всех неотрица- ; тельных у,

! 4) с'(0) > 0, р(0) > с'(0) и существует величина Y такая, j что p(Y°) =с'(0). I Тогда

j (i) суммарный выпуск в равновесии Курно с п участни- j ками, Y„, растет с ростом п и меньше величины Y ; ! (ii) выпуск отдельного участника, Y„/n, падает с ростом j п, причем lim „^xY„/n = 0;

j „ Y'*„ Y*„

j (iii) прибыль отдельного участника, p(Y„)~ - na-

j дает с ростом n; j (iv) lim „ , , Y"„ lim „ , , Y„ Y ,

j где Y„ — суммарный выпуск тех же предприятий в ус- j ловиях совершенной конкуренции.

Доказательство.

Как доказано выше, при сделанных предположениях каждый из участников в равновесии Курно будет выпускать положительное и одинаковое количество продукции:

и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде? Решение этого уравнение будет единственным (по Теореме 26) равновесием Курно.

(i) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий Курно в ситуации с п+ 1 и п олиго- полистами:

p(Y'ln) + p'(Y*„+i) = •

и

Используя эти соотношения, мы можем показать, что суммарное выпуск в олигополистической отрасли возрастает с ростом числа ол иго пол истов.

Предположим, обратное: существует такое п, что Y„, < Y„. При этом из убывания обратной функции спроса следует, что

np(Yln) > np(Yl) и 0 > p'(Yl) ^f.

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е.

p(Yln) +р (Yin) Yin > p(Yl) + p'(Yl)Yl.

Сложив три последние неравенства, получим

np(Y „+i) + p(Y „+i

)+p'(Y

П+1 ) Y n+l >

np(Yl) + p'(Yl) ^f + p(Yl) + p'(Yl) Yl.

или

(n+l)[p(Y-;+i) +p'(Yln) Ifrl > + +P'(Yl)

Выражения в квадратных скобках представляют собой левые части условий первого порядка для Y"„+i и Y„ соответственно, по-этому

/A ^ /А

Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому данное неравенство может быть выполнено только если

Y n+l ^ Y „ /г+1 п '

но это противоречит исходному предположению о том, что Y„+1 < Y„. Таким образом, мы доказали, что последовательность объемов производства Y„ возрастает по п.

Чтобы доказать, что Y„ < Y достаточно доказать, что Y„ < Y , поскольку, согласно Теореме 25, Y„ < Y„.

Воспользовавшись дифференциальной характеристикой конкурентного равновесия, возрастанием предельных издержек и определением величины Y , запишем

р(У„)=с'&)2сЩ=р(у°).

Поскольку, по предположению, обратная функция спроса убывает, это означает, что Y„ < Y .

(ii) Мы хотим доказать, что Y„/n является убывающей после-довательностью.

Поскольку р(у) у — вогнутая функция, то она лежит под своей касательной. Поэтому

< P(YI)yi+[р(К)+- Y*„)

или

[p(lCi) - p(Yl)]Yln < p'(Yl)Yl(Yln - Yl). Поскольку суммарный выпуск положителен, то это неравенство можно переписать в виде

-i л+1

Пусть доказываемое неверно и для какого-то п выполнено

Y п+1 > ^ п П+1 ^ П '

т.е.

1.

1 п+1

Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что p'(Yl)< О, ЧТО

поскольку p'(Y„) < 0. Так

как Y п+1 >Y л, то из убывания обратной функции спроса при п ' 2 следует, что? Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е. при Y'„n > Y„ выполнено

p(Yln) + р (Yin) Yin < p(Yl) + p'(Yl)Yl. Складывая три последние неравенства, получим, что

np(Y „+i) + p(Y „+i

)+p'(Y n+i) Y „+i < np(Yl) + p'(Yl) ^f + p(Yl) + p'(Yl) Yl. Приводя подобные и разделив на n+l, получим

p(Yln) + p'(Yln)}^Учитывая дифференциальные характеристики равновесия Курно, это означает, что

с'(^т)< c'(lf)

Из выпуклости функции издержек получаем требуемое

Y n+i Y л п+1 п '

Далее, убывание выпуска отдельного участника до нуля, т.е.

следует из того, что суммарный выпуск Y„ ограничен сверху величиной Y'.

(iii) Так как спрос убывает, то при Y„, > Y„

p(Y'ln)Y'ln < p(Y'l)Y'ln- Это неравенство можно переписать в виде

p(Yln )^TС другой стороны, функция издержек, как выпуклая функция, должна лежать выше своей касательной, поэтому

Комбинируя два неравенства, получим, что

П„+1 < П„ - (c'(-^f) - p(Yl) J^y - ^

где мы обозначили через П„ прибыль отдельного участника в отрасли с п фирмами в точке равновесия Курно:

П„= P(Yl)^-c(^).

Из условий первого порядка? c'(^)-P(y:)=P'(Y:)^< о.

Y*n+1 Y'n

Поскольку то П„+1 < П„.

(iv) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно:

Здесь Y„ лежит в интервале [0, У]. Так как производная обратной функции спроса непрерывна, то первый сомножитель во втором слагаемом — величина ограниченная, на этом интервале она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем первый сомножитель заменить его максимальным значением. Второй сомножитель представляет собой величину, которая убывает до нуля при п —> Поэтому

Так как Y„/ п стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции издержек

c'(lf)^c'( 0).

Таким образом,

p(Yl) ->с'(0)

Вспоминая, что с'(0) = p(Y ), получим из непрерывности и убывания обратной функции спроса, что

Yl Y°.

Поскольку конкурентный объем производства, Y„, лежит между Y„ и Y , то он стремится к тому же пределу:

Yn Y°.

¦

Уменьшение монопольной власти при росте числа конкурентов — это довольно реалистическая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда производителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по которой может продаваться продукция, и по- этому сама модель Курно как модель, описывающая феномен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной.

Следующий пример иллюстрирует приведенные выше утверждения в случае линейной функции спроса и постоянных предельных издержек.

Пример 14.

Пусть обратная функция спроса линейна: р(у) = а - by, а функции издержек имеют вид с ¦(?/¦) = cy3(j = 1,..,«), так что каж-дая фирма максимизирует

П, = (а - bY) у3 - су j.

Условия первого порядка максимума прибыли имеет вид а - bY* -Ъу3 = с.

Просуммировав по j, получим па - nbY* - bY* = пс.

Таким образом, равновесный объем выпуска равен

у- п(а-с)

В частности, при дуополии 2{а_с}_

} _ 36 ¦

Равновесная цена равна

* п(а-с) а + пс 6 а-с

Р ~ а (/г +1) 6 ~ с + п +1 6

Выпуск в случае совершенной конкуренции был бы равен

} _ 6 •

То есть, как и следует из теории, Y* < Y. При увеличении количества фирм в олигополии суммарный объем производства все больше сближается с объемом при совершенной конкуренции:

п (а-с) а-с llm" - (п + 1)Ь ~ 6 '

а цена стремится к предельным издержкам:

а + п с .

1пп„ п+1 =с.. <Р

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков. 1999

Еще по теме Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида:

  1. Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
  2. 14.1.2 Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
  3. Краткий словарь экономических терминов
  4. ГЛОССАРИЙ
  5. TEMA 10. конкуренция и монополия