<<
>>

2.5 Свойства предпочтений и функции полезности

В предыдущем параграфе мы уже дали определение ряда важных свойств предпочтений, а именно, непрерывности, монотонности и строгой монотонности . При анализе конкретных микроэкономических задач часто возникает необходимость делать дополнительные предположения о предпочтениях или о функциях полезности.

В данном параграфе мы обсудим наиболее часто используемые предположения о свойствах предпочтений и покажем их связь с соответствующими свойствами функции полезности, которая представляет эти предпочтения.

Иногда, в ситуациях, когда предположение о строгой монотонности предпочтений выглядит ограничительным, предполагается выполнение более слабого свойства — локальной ненасыщаемости. Выполнение этого свойства во многих случаях оказывается достаточным для

доказательства тех свойств выбора, которые следуют из строгой монотонности предпочтений.

Определение 11:

Предпочтения называются локально ненасыщаемыми, если для любого допустимого набора x ? X в любой его окрестности найдется другой допустимый набор x ? X, такой что x У x.

Отметим, что выполнение свойства локальной ненасыщаемости запрещает два типа предпочтений:

• предпочтений c точкой насыщения, т. е. с потребительским набором, который является наилучшим выбором потребителя среди всех ближайших наборов (см. Рис. 2.5);

Рис. 2.5. Предпочтения с точкой (глобального) насыщения

• предпочтений с «толстой» кривой безразличия, когда существует окрестность некоторого набора, в которой все наборы эквивалентны для потребителя (см. Рис. 2.6).

Рис. 2.6. «Толстая» кривая безразличия

Связь между понятиями строгой монотонности и локальной ненасыщаемости, в принципе, очевидна. Если предпочтения являются строго монотонными, то они локально ненасыщаемы. Обратное, вообще говоря, неверно.

Рис. 2.7 показывает разницу между понятиями строгой монотонности и локальной ненасыщаемости. Для заданной окрестности набора x заштрихованная область на первой части рисунка показывает ту зону, в которой могут находиться лучшие наборы при выполнении свойства локальной ненасыщаемости. Аналогично, заштрихованная область на второй части 2.5. Свойства предпочтений и функции полезности А Х2 А Х2

xi

Xi Для локальной ненасыщаемости Для строгой монотонности

Рис. 2.7. Сравнение строгой монотонности и локальной ненасыщаемости

рисунка показывает зону, где находятся лучшие наборы для предпочтений, обладающих свойством строгой монотонности.

Следующая группа свойств предпочтений, которую мы рассмотрим, важна для демонстрации «хороших» свойств функции выбора/спроса и доказательства существования равновесия. Здесь и далее мы будем предполагать, что множество X выпукло.

Определение 12:

Предпочтения называются выпуклыми, если Vx, y ? X: x y и 0 ^ a ^ 1 выполнено ax + (1 - a)y ^ y.

Предпочтения называются строго выпуклыми, если Vx, y ? X: x ^ y, x = y и 0

Рис. 2.8. Выпуклые предпочтения

Как несложно понять, выпуклость предпочтений эквивалентна выпуклости верхнего лебе- говского множества L+(x) любого набора x.

На Рис. 2.8 как x', так и x'' лежат в L+(x). Из выпуклости предпочтений следует, что весь отрезок между x' и x'' лежит в L+(x).

Остановимся теперь на различии понятий строгой выпуклости от «просто» выпуклости. Ясно, что строго выпуклые предпочтения являются выпуклыми. Грубо говоря, различие между этими понятиями состоит в том, что при выполнении свойства строгой выпуклости запрещена ситуация, когда граница верхнего лебеговского множества (или, что тоже самое, кривая безразличия) имеет «линейные» части. На Рис. 2.9 изображен пример выпуклых, но не строго выпуклых предпочтений.

С понятием выпуклости предпочтений в случае, когда они представимы функцией полезности, тесно связаны свойства вогнутости и квазивогнутости функции полезности. Оказывается, что для квазивогнутой функции полезности справедлив следующий результат.

Рис. 2.9. Пример выпуклых, но не строго выпуклых предпочтений

Теорема 11:

Функция полезности квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею предпочтения выпуклы. J

Доказательство: Доказательство этого факта несложно и оставляется читателю в качестве упражнения. ¦

Любая вогнутая функция является квазивогнутой. Таким образом, если функция полезности вогнута, то представляемые ею предпочтения выпуклы. Обратное, вообще говоря, не всегда верно.

Вогнутые (и выпуклые) функции играют особую роль в микроэкономике, поскольку вогнутость во многих ситуациях обеспечивает выполнение важных соотношений . Поэтому бывает важно знать не только то, что функция квазивогнута, но и что она вогнута.

Рассмотрим вопрос о том, как по конкретной функции полезности определить, является ли она квазивогнутой (а соответствующие предпочтения выпуклыми), и является ли она вогнутой. Заметим, что проверять вогнутость функции, как правило, проще, чем квазивогнутость. При этом можно использовать следующие свойства вогнутых и квазивогнутых функций (см. Приложение ??):

Сумма вогнутых функций вогнута.

Минимум вогнутых функций — вогнутая функция.

Суперпозиция вогнутой функции и вогнутой неубывающей функции — вогнутая функ-ция.

Суперпозиция квазивогнутой функции и неубывающей функции — квазивогнутая функция. В частности, суперпозиция вогнутой функции и возрастающей функции — квазивогнутая функция.

Дважды непрерывно?? дифференцируемая функция u(-) вогнута тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных (матрица Гессе) H(x) отрицательно полуопределена на внутренности ее области определения, т. е. z т H(x)z ^ 0 Vz.

Отметим также, что дважды непрерывно дифференцируемая функция u : X ^ R квазивогнута тогда и только тогда, когда ее матрица H(x) вторых производных отрицательно полуопределена на Vu(x)z = 0, где x принадлежит внутренности области определения X. Другими словами, для каждого z, такого что Vu(x)z = 0 выполнено zт H(x)(x)z ^ 0, где x принадлежит внутренности X.

Стоит отметить, что, вообще говоря, в отличие от свойства квазивогнутости, свойство вогнутости не сохраняется при монотонно возрастающем преобразовании. (Требуется, чтобы преобразующая функция была вогнута.) Например, функция ^/X вогнута, но после применения к ней монотонного преобразования y4 (при y ^ 0) получается функция x2, которая уже не является вогнутой, хотя и является квазивогнутой (при x ^ 0).

Достаточно типична ситуация, когда из квазивогнутой функции можно сделать вогнутую (например, x2 преобразованием ^у превращается в л/X). Если прорешать достаточно много типовых задач, то может сложиться впечатление, что каждая квазивогнутая функция переводится монотонно возрастающим преобразованием в вогнутую функцию и, в этом смысле, два эти класса функций эквивалентны. Однако, это не так. Например, функция f (xi,x2) = (xi — 1) + \/(1 — xi)2 + 4(xi + x2) квазивогнута. Ее линии уровня — непараллельные прямые линии. Можно показать, что эта функция не может быть трансформирована в вогнутую функцию возрастающим преобразованием. Следует оговориться, что большинство подобных примеров достаточно причудливы и их построение требует достаточной изобретательности. Поэтому для того чтобы убедиться, что функция квазивогнута, рекомендуется попытаться преобразовать ее в вогнутую функцию.

Приведем пример, иллюстрирующий технику проверки вогнутости и квазивогнутости функций.

Пример 6:

Рассмотрим функцию u(x) = xix2, заданную на неотрицательном ортанте R+. Покажем, что эта функция квазивогнута, но не является вогнутой.

Способ 1 (По определению)

Возьмем два произвольных вектора x, y ? R+. Тогда для любого 0 ^ a ^ 1 имеем (axi + (1 — a)yi)(ax2 + (1 — a)y2) =

= a2xi x2 + (1 — a)2yiy2 + a(1 — a)xiy2 + a(1 — a)x2yi

Без потери общности будем считать, что yiy2 ^ xix2. Если компоненты вектора x не равны 0, то X1 + Ц ^ 2^JX1^ 2, или xiy2 + x2yi ^ 2xix2. Справедливость этого неравенства, если хотя бы одна из компонент вектора x равна 0, очевидна. Таким образом, для любых x, y ? R+ таких, что yiy2 ^ xix2, имеем xiy2 + x2yi ^ 2xix2. С учетом изложенного, получаем

a2xix2 + (1 — a)2yiy2 + a(1 — a)xiy2 + a(1 — a)x2yi ^

^ (a2 + (1 — a)2 + 2a(1 — a))xix2 = xix2 = min{xix2, yiy2}.

Таким образом, квазивогнутость функции xix2 доказана.

Покажем теперь, что эта функция не является вогнутой. Возьмем два вектора x = (1,1), y = (2, 2) и a = 2 .Но тогда u(ax + (1 — a)y) = | и au(x) + (1 — a)u(y) = §. Поскольку | > 4, то функция не является вогнутой.

Способ 2 (С использованием матрицы Гессе)

Несложно проверить, что матрица H(x) вторых частных производных функции u(x) = xix2 имеет вид

H(x)=(0 ^

Однако данная матрица не является отрицательно полуопределенной. Например, для вектора zт = (1,1) имеем zт Hz = 2 > 0. Таким образом, функция не является вогнутой.

Покажем, что она квазивогнута. Несложно увидеть, что zтHz = 2ziz2. Рассмотрим знак этой квадратичной формы при всех z таких, что Vu(x)z = 0, т. е. при всех z таких, что x2Zi + xiZ2 = 0. Умножив это равенство на zi, получим x2(zi)2 + xiZiZ2 = 0. На внутренности положительного ортанта имеем zтHz = 2ziz2 = —2 — (zi)2 ^ 0. Таким образом, доказали квазивогнутость функции u(x) = xix2 .

Еще один способ проверки того, что функция u(x) = xix2 является квазивогнутой, состоит в том, чтобы найти преобразование, которое бы сделало ее вогнутой. Как несложно заметить, возрастающее преобразование ln(-) переводит ее в вогнутую функцию. Действительно, получившаяся функция ln(xi) + ln(x2) является вогнутой, поскольку ее матрица Гессе будет отрицательно определенной:

H(x) = (—02 —02) •

Однако преобразование ln(-) нельзя применить к значениям функции u(x) в точках, где xi =0 или x2 = 0 .В качестве упражнения читатель может проверить, что yf- является подходящим преобразованием, дающим вогнутую функцию. Д

Рассмотренные выше свойства выпуклости и строгой выпуклости предпочтений тесно связаны с понятием предельной нормы замены . Напомним, что под предельной нормой замены i-ым благом j-ого понимается величина

MRSij (x) = — • j uj (x)

Покажем, что из выпуклости предпочтений следует закон неубывания предельной нормы замены. При этом будем предполагать, что предпочтения потребителя представимы непрерывно дифференцируемой квазивогнутой функцией полезности u : R+ ^ R.

Содержательно, норма замены указывает на то количество блага j, на которое необходимо сократить потребление этого товара в обмен на увеличение потребления блага i с тем, чтобы уровень полезности потребителя и количество всех остальных товаров оставались неизменными. Таким образом, в случае если количество блага i изменяется на дифференциально малую величину dxi, то для того, чтобы потребитель остался на той же самой кривой безразличия u(x) = u, количество блага j при условии что количество остальных благ остается неизменным должно измениться на величину dxj такую что

uj(x)dxi + uj (x)dxj = 0.

Возьмем некоторую кривую безразличия и зафиксируем количества всех благ, кроме i-го и j-го. Уравнение u(xi,..., xj,..., xj,..., x^) = u задает для данного уровня полезности u зависимость xj от xj как неявную функцию xj(xj). Предельная норма замены равна наклону функции xi(xj-):

dxj (xi) uj(x)

= MRSjj (x).

dxi uj (x)

Проверим, что закон неубывания предельной нормы замены выполняется, если функция полезности квазивогнута, или, что тоже самое, предпочтения выпуклы. Для этого докажем, что функция xj(xj) выпукла.

Пусть xi и xi' — некоторые количества i-го блага, и пусть x' и x'' — наборы, в которых xi = xi, xj = xj (xi) и xi = xi', xj = xj (xi') соответственно. Рассмотрим набор xa, являющийся выпуклой комбинацией наборов x' и x'' (a ? [0,1]):

xa = ax' + (1 — a)x'',

а также набор x*, в котором xi = x® = axi + (1 — a)xi' и xj = xj(xf). По определению функции xi(xj) наборы x', x'' и x* эквивалентны. С другой стороны, из выпуклости предпочтений следует, что xa ^ x' ~ x''. Таким образом, xa x* .В наборах xa и x* все блага, кроме j-го, содержатся в одинаковых количествах. Если предположить, что функция полезности возрастает по j -му благу, то должно быть, x" ^ xj(xf) где x" = axj (xi) + (1 — a)xj(xi'). Этим мы доказали выпуклость функции xj (xi).

Производная выпуклой функции не убывает (см. Рис. 2.10). Таким образом, в случае выпуклости предпочтений имеем выполнение закона неубывания предельной нормы замены («убывания предельной полезности»).

Рис. 2.10. Неубывание предельной нормы замены для выпуклых предпочтений

Отметим, что в некотором смысле верно и обратное, т. е. выпуклость предпочтений эквивалентна неубыванию предельной нормы замены .

В приложениях экономической теории очень часто рассматриваются также дополнительные свойства предпочтений, которые налагают более сильные требования на функцию полезности. Так, например, в макроэкономике при рассмотрении поведения агрегированного потребителя часто предполагается выполнение свойства гомотетичности.

Определение 13:

Предпочтения называются гомотетичными, если

для каждого положительного t tx ? X тогда и только тогда, когда x ? X.

для каждого положительного t соотношение tx ~ ty выполняется тогда и только тогда, когда выполняется соотношение x ~ y.

Гомотетичные предпочтения называют так, поскольку геометрически кривые безразличия гомотетичны относительно начала координат. Рис. 2.11 иллюстрирует понятие гомотетичных предпочтений. Наборы x'' и y'', лежащие на кривой безразличия I'', получаются из наборов x' и y', лежащих на кривой безразличия I', умножением на одно и то же положительное число t (x'' = tx' и y'' = ty').

Х2 М

Рис. 2.1J. Монотонные гомотетичные предпочтения

/

/

Опираясь на схему доказательства существования функции полезности, представляющей строго монотонные предпочтения, приведенного в предшествующем параграфе (см. Теорему 10), легко показать, что для строго монотонных и гомотетичных предпочтений существует положительно однородная функция полезности, представляющая эти предпочтения. Особенностью положительно однородной функции полезности является то, что предельная норма замены для любой пары товаров остается неизменной на луче tx. Это полезное свойство эквивалентно тому, что кривые Энгеля являются лучами, выходящими из начала координат. Кроме того, при выполнении этого свойства, свойств локальной ненасыщаемости, непрерывности и выпуклости, неоклассические предпочтения допускают представление вогнутой функцией

31

полезности .

В теории отраслевых рынков и других областях микроэкономики важную роль играют предпочтения, обладающие свойством квазилинейности.

Определение 14:

Предпочтения называются квазилинейными по l-му благу, если

для каждого положительного t из x ? X следует x + te; ? X;

для каждого положительного t и x, y ? X из x ~ y следует x + te; ~ y + te;.

Х2 М

Рис. 2.12. Квазилинейные предпочтения

Предпочтения, обладающие данным свойством, допускают представление функцией полезности вида u(x) = u(x_i) + ax. Эта функциональная форма задает такую систему функций спроса, что спрос на первые l — 1 благо не зависит от дохода и, тем самым, для этих благ полностью отсутствует эффект дохода. Данное свойство оказывается полезно при обсуждении агрегирования предпочтений и выяснении влияния изменения параметров модели (например, цен и доходов) на благосостояние потребителя.

Наконец в макроэкономике обычно рассматриваются аддитивно-сепарабельные функции полезности, т. е. функции полезности вида u(x) =5^i=i Ui(xi). Если предпочтения потребителя описываются функцией такого вида, то они обладают следующим очевидным свойством: рассмотрим произвольную группу благ N (N С {1,..., 1}), а все остальные блага обозначим через —N; при этом ранжировка потребительских наборов x = (Xn, X_n) и x' = (xN, X_n) не зависит от значения X_n . Данное соображение мотивирует следующее определение:

Определение 15:

Предпочтения называются сепарабельными (строго сепарабельными), если

множество допустимых потребительских наборов имеет вид X = Xi х ¦ ¦ ¦ х Xi;

для допустимых наборов (Xn, X_n) и (xN, X_n) выполнено (Xn, X_n) (xN, X_n), то (Xn, x'_n) (xN, x'_n) для всех x'_n ? Xie—n Xi ? где N — произвольное подмножество множества благ.

Известно, что непрерывные предпочтения сепарабельны тогда и только тогда, когда они могут быть представлены непрерывной аддитивно-сепарабельной функцией полезности32. Из свойств сепарабельных предпочтений отметим, во-первых, что для них предельная норма замены зависит только от количества двух рассматриваемых благ, во-вторых, что если все элементарные функции Ui(-) являются вогнутыми, что и в целом функция полезности является вогнутой. Кроме того, данный тип предпочтений позволяет нам гарантировать отсутствие товаров Гиффена и другие полезные свойства функции спроса.

<< | >>
Источник: Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень. 2005
Помощь с написанием учебных работ

Еще по теме 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности:

  1. 1.3. Представление предпочтений функцией полезности
  2. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  3. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  4. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
  5. 7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности
  6. 8.3 Свойства равновесий Эрроу — Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана — Моргенштерна
  7. 8.1. Потребительские предпочтения и предельная полезность. Закон убывающей предельной полезности
  8. 2.4 Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений
  9. Вопрос 20. Предпочтения потребителя и полезность.
  10. 8.1. Предпочтение потребителя и полезность
  11. 16.3. Предпочтения при принятии решений в условиях риска (теория ожидаемой полезности)
  12. Глава 3 ПОЛЕЗНОСТЬ, ПРЕДПОЧТЕНИЯ, СПРОС