<<
>>

7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности

В этом параграфе мы попытаемся ответить на следующие вопросы, относящиеся к сравнительной статике инвестиционного поведения

какие условия на предпочтения инвестора гарантируют рост вложений в рискованную часть портфеля при росте величины суммарных инвестиций;

какие условия на предпочтения двух инвесторов гарантирую большую величину вложений в рискованную часть портфеля одного из них при равных величинах суммарных инвестиций;

какие свойства двух лотерей гарантируют, что одну их них всегда предпочитает любой другой инвестор, предпочтения которого представляются функцией полезности Неймана — Моргенштерна???.

Ответ на первые два вопроса формулируется в терминах характеристик отношения к риску, к анализу которых мы переходим.

Рассмотрим лотерейный билет, которой приносит чистый выигрыш ei с вероятностью р и e2 с вероятностью 1 — р.

Обозначим соответствующую случайную величину через e. Потребитель, располагающий суммой денег и, приобретет этот лотерейный билет, если лотерея, описываемая случайной величиной x = и + e, предпочитается вырожденной лотерее, дающей и с вероятностью 1, т.
е.

E(u(u + e)) ^ u(u).

или

pu(u + ei) + (1 — p)u(u + e2) ^ u(u).

Обозначим множество всех таких лотерейных билетов (ei, e2) (которые потребитель согласен приобрести) через E(и).

Изобразим на плоскости (ei, e2) множество E(и). Потребителю выгодно приобрести любой лотерейный билет, представленный точкой из I квадранта, и не выгодно приобретать любой лотерейный билет, представленный точкой из III квадранта. Выгодность приобретения билетов, представленных точками из II и IV квадрантов зависит, в частности, от отношения к риску рассматриваемого потребителя. Если элементарная функция полезности u(-) вогнута, то множество E(и) выпукло. (Докажите это.)

Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется:

PU(U + EI) + (1 — P)U(U + E2) = U(U). (E)? * ?2 ?1 ^?2(?1) Рис.

7.7. Лотерейные билеты, которые потребитель готов приобрести

Это уравнение задает зависимость ?2 = ?2(?i) в виде неявной функции. Стандартные свойства элементарной функции полезности и условие р < 1 гарантируют существование такой функции и ее дифференцируемость. Подставим ?2 = ?2(?i) в (E) и продифференцируем по ?у в точке 0. Используя, тот факт, что ?2(0) = 0 получим

pu'(w) + (1 - p)u'(w)?'2(0) = 0.

Это уравнение описывает касательную к E(w) в точке (0, 0). Эта касательная имеет наклон — . Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие ниже этой касательной не принадлежат E(w). Таким образом, если ?2 будет меньше, чем — у—— ?1, то участник заведомо не примет участия в такой лотерее (какова бы ни была вероятность р).

Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежащие множеству Ey(w), а второй — множеству E2(w). Если E2(w) С Ey(w) (строгое включение), то естественно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется большим неприятием риска, чем первый.

Рис. 7.8. Сравнение отношений к риску двух потребителей

Если ни одно из включений E2(w) С E1 (w) и Ey(w) С E2(w) не выполнено, то мы не можем проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило.

Заметим, что линейная аппроксимация этих множеств (полуплоскость, задаваемая касательной в нуле) одна и та же и не отражает различие в отношениях к риску. Поэтому следует рассмотреть «аппроксимацию второго порядка».

В предположении, что элементарная функция полезности дважды непрерывно дифференцируема, продифференцируем соотношение (E) по ?у дважды в точке 0. Получаем

pu"(w) + (1 — р) [u"(w)(?/2(0))2 + u/(w)?/2'(0)l = 0.

С учетом того, что e2(0) = — у—^, получим

4' (0) = —

Jifn\ - U''(U) Р

U'(U) (1 — р)2

Мы убедились, что уравнения границ множеств E 1(U) и E2(и) в первом приближении всегда совпадают, а во втором приближении могут различаться. При этом, если e2'(0) у первого меньше, чем у второго, то в окрестности нуля E2(и) содержится в E 1(U) .

(Понятно, что глобально это может не выполняться.) Поэтому величину —U''(U)/U'(U) можно рассматривать как локальную меру неприятия риска. Эти рассуждения мотивируют введение следующей характеристики предпочтений потребителя.

Определение 59:

Мерой неприятия риска Эрроу — Пратта называется величина

u''(x)

p(x) = угт-.

u' (x)

При определенных условиях эту меру неприятия риска можно рассматривать и как глобальную меру неприятия риска. В терминах меры Эрроу — Пратта из двух участников можно считать, что тот участник характеризуется большим неприятием риска, у которого мера Эр- роу — Пратта всегда больше.

Предложенный Эрроу и Праттом подход — не единственный способ измерить отношение к риску. Выше мы ввели вознаграждение за риск, которую тоже можно рассматривать как меру отношения к риску. Напомним, что величина Ax(x) называется вознаграждением за риск для данного потребительского набора x, если E x — Ax(x) является безрисковым эквивалентом x:

E u(x) = u(E x — Ax(x)).

Также напомним, что для любого рискофоба вознаграждение за риск — величина неотрицательная. Естественно считать, что в терминах вознаграждения за риск из двух участников тот характеризуется большим неприятием риска, у которого вознаграждение за риск всегда больше.

Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к риску — «степень вогнутости» элементарной функцией полезности. Можно считать, что u(-) «более вогнута», чем v(-), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция G(-) такая, что u(x) = G(v(x)) Vx, тогда участник с элементарной функцией полезности u(-) характеризуется большим неприятием риска.

Оказывается, что все эти способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует следующее утверждение.

Теорема 93 ((Теорема Пратта)):

Рассмотрим двух потребителей, предпочтения которых характеризуются дважды непрерывно дифференцируемыми элементарными функциями полезности ui(-) и u2(-), такими что ui(x) > 0 и ui'(x) ^ 0 Vx, i = 1, 2.

Следующие три условия эквивалентны:

pi(x) ^ P2(x) Vx, где pi(¦) — мера неприятия риска Эрроу— Пратта, соответствующая ui(¦).

Существует вогнутая возрастающая функция G(-) такая, что ui(x) = G(u2(x)) Vx.

Для всех случайных переменных x с ненулевой дисперсией (Var(x) = 0) выполнено

AXI(X) ^ AX2(X) . J
Доказательство: (i) ^ (ii)

Имеется функция G(-), такая что

uy(x) = G(u2(x)).

(При доказательстве утверждения в направлении (i) ^ (ii) можем определить G(-) на области значений функции U2(¦) следующим образом:

G(x) = u1(u—1(x)).

Поскольку U2(¦) строго монотонна, то она обратима.)

Заметим, что функция G(-) является дважды непрерывно дифференцируемой и возрастающей.

Дважды продифференцируем последнее соотношение:

«1(ж) = G'(u2(x))u'2(x),

«'/(ж) = G"(u2(x))u'2 (ж) + G'(u2(x))u'2/(x).

Заметим, что из первого равенства следует, что G'(u2(x)) > 0. Поделив вторую производную на первую, получим

G"(U2(x))

—р1(ж) = —р2(ж)+ GMX)T.

Поскольку G'(u2(x)) > 0, то р1(ж) Z р2(ж) эквивалентно G"(y) ^ 0 Vy = и2(ж), то есть функция G(-) вогнута в своей области определения тогда и только тогда, когда pz(x) Z Р2(ж)

для всех ж. (ii) ^ (iii)

Если функции ¦«!(•) и «2(') связаны между собой соотношением U1(x) = G(u2(x)) Vx, то для произвольной случайной величины ж по определению вознаграждения за риск имеют место равенства

u1(E ж — Аж1(ж)) = E u1(x) = E G(u2(x)), u1(E ж — Аж2(ж)) = G(u2(E ж — Аж2(ж))) = G(E u2(x)).

Из монотонности U1 (¦) следует, что Аж1(ж) Z Аж2(ж) тогда и только тогда, когда U1(E ж — Аж1(ж)) ^ u1(Eж — Аж2(ж)), т. е. тогда и только тогда, когда E С(и2(ж)) ^ G(E и2(ж)).

Если функция G(-) вогнута, то по неравенству Йенсена E С(и2(ж)) ^ G(E и2(ж)), и поэтому Аж1(ж) Z Аж2(ж).

Наоборот, если Аж1(ж) Z Аж2(ж), то выполнено неравенство E С(и2(ж)) ^ G(E и2(ж)), а это свойство эквивалентно вогнутости функции G(-). (Проверьте, что обычное определение вогнутой функции является частным случаем неравенства Йенсена.) ¦

Введенная мера Эрроу— Пратта называется абсолютной мерой Эрроу— Пратта. Кроме того, рассматривают относительную меру Эрроу—Пратта, которая определяется по формуле:

и"(ж)ж

и'(ж)

Относительная мера Эрроу— Пратта является эластичностью предельной полезности (по доходу).

Меры Эрроу— Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора в условиях риска, так как в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравнительной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении размера инвестиций, доходностей активов и т. д. А к проблемам сравнительной статики сводятся многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в портфельной теории формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т. д.

В терминах (абсолютной) меры Эрроу— Пратта можно охарактеризовать спрос на рискованный актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух активов.

U = E u(ur0 + z(f — r0)) ^ max.

Мы предполагаем, что решение z(u) существует VU G R+ и что E Г > Г0, т. е. что решение внутреннее (z(u) > 0).

Теорема 94:

Если мера Эрроу— Пратта p(x) убывает, то рискованный актив является нормальным благом, т. е. z'(u) > 0. J

Доказательство: Условие оптимальности портфеля имеет вид

E[u'(x)(r — Г0)] = 0,

где x = ur0 + z(u)(f — r0).

Продифференцируем его по и:

E[u''(x)(r — r0)(r0 + z'(u)(f — Г0))] = 0,

По свойствам оператора математического ожидания

r0 E[u''(x)(r — r0)] = —z'(u) E[u''(x)(r — r0)2],

откуда

u E[u''(x)(r — Г0)]

z'(u) = — r0-

E[u''(x)(r — r0)2]'

Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности u''(x) < 0. Покажем, что числитель больше нуля.

Рассмотрим случайную величину г — Г0: она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим случай г = r > Г0 .В силу убывания функции p(-) при z > 0

p(ur0 + z(r — Г0)) < p(u),

По определению меры Эрроу— Пратта

u''(ur0 + z(r — r0))

< p(u),

u'(ur0 + z(r — r0))

Умножив это неравенство на знаменатель и на —(r — Г0), получаем:

u''(ur0 + z(r — r0)) > —p(u)u'(ur0 + z(r — r0)),

Легко видеть, что при г = r < Г0 это неравенство тоже верно. Это означает, что верно соотношение

E u''(ur0 + z(u)(r — r0)) > —p(u) E u'(ur0 + z(u)(r — r0)).

Следовательно, z'(u) > 0. Другими словами, рискованный актив является нормальным благом.

Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая двух и более рискованных активов.

<< | >>
Источник: Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень. 2005

Еще по теме 7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности:

  1. 7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности
  2. Коммунальная собственность.
  3. Граждане (физические лица)
  4. 12.1. Понятие, предмет информационной безопасности и ее место в системе обеспечения национальной безопасности
  5. 1.2. Управление финансовой устойчивостью коммерческого банка
  6. 1.2. Управление финансовой устойчивостью коммерческого банка
  7. 3.2. Организация как сложная система