<<
>>

9.3. Равновесие в статических играх с полной информацией

9.3.1. Имеем статическую игру с полной информацией С=. Для профиля стратегий

игроков Рр...9Р.9...9Рт используется символика 8= = (?.;$_.), где символом ^.обозначен профиль (Зр...,^,^,...,^) стратегий 8р...,5мм9...9зт игроков Симво­

лом принято обозначать декартово произведение ^х.-.х Переход от профиля стратегий 8=к профилю стратегий означает, что игрок Р.

один отклонился от про­

филя стратегий т.е. только он один поменял свою страте­

гию на стратегию

Определение 9.3.1. Говорят, что стратегия игрока Р. силь­но доминирует стратегию Я. игрока Р., если для любого профи­ля е справедливо строгое неравенство иД^., .у.) > и .(я!, л.).

Если для любого профиля е справедливо нестрогое не­равенство и .(я., > и .(я!, я .), то говорят, что стратегия игрока Р. слабо доминирует стратегию .у/игрока Р..

Определение 9.3.2. Стратегия я. е игрока Р. называется сильно доминирующей стратегией (сильной доминантой) игрока Рр если она сильно доминирует любую стратегию из Б..

Стратегия е Б. игрока Р. называется доминирующей стратеги­ей (доминантой) игрока Р., если она (слабо) доминирует любую стратегию из ^.

Очевидно, если стратегия ^ е Я. сильно доминирует стратегию

Я., то стратегия я. е Я. слабо доминирует стратегию Обрат­ное, конечно, неверно. Если стратегия является сильно домини­рующей, то она является доминирующей. Здесь также обратное неверно.

Если у игрока Р. есть сильно доминирующая стратегия, то она обязательно единственная (для доказательства следует использо­вать метод от противного).

Если у каждого игрока Р., /=1,..., т, есть своя сильно домини­рующая стратегия, то, естественно, ее следует принять в качестве оптимальной для этого игрока, а профиль из оптимальных страте­гий также естественно назвать оптимальным. Таким образом, в рассматриваемом случае существует единственный оптималь­ный профиль у игры (7 из т лиц. Как отмечалось выше, к сожале­нию, существование доминирующей стратегии у каждого игро­ка — явление достаточно редкое.

Если у каждого игрока Рр /=1, ..., /и, есть (слабо) доминиру­ющая стратегия, она не обязательно является единственной. В этом случае мы также имеем существование оптимального про­филя у игры (7 из т лиц, который может быть не единственным.

Определение 9.3.3. Если стратегия каждого игрока в профиле

5 является его доминирующей стратегией, то профиль / назы­вается равновесием в доминирующих стратегиях статической иг­ры (7 т лиц.

Пример 9.3.1. Рассмотрим известную игру «Голосование». В За­конодательном собрании три фракции: правые, центристы и левые. В каждой фракции равное число депутатов. При голосовании по некоторому законопроекту каждая фракция (как единое целое) го­лосует «за» или «против». Решение принимается большинством голосов. Пусть правые и центристы выступают за принятие законо­проекта, а левые — против. Если законопроект будет принят, пра­вые и центристы получают в качестве выигрыша по 1, а левые полу­чают выигрыш (—1), т.е. проигрыш. Если законопроект не будет принят, у каждой фракции выигрыш будет равен нулю.

Обозначим символами Р{, Р2, Ръ соответственно фракции ле­вых, центристов и правых, тогда в профиле 5= ($р $2, $3) 51 — это стратегия левых, $2 —стратегия центристов, $3 — стратегия правых.

Определим, существует ли в этой игре профиль равновесия в до­минирующих стратегиях.

Первую стратегию (ЗА) игрока Р{ естественно представлять в виде вектора 5} = (1, 0), вторую стратегию (ПР) игрока Р{ естест­венно представлять в виде вектора $2 = (0, 1).

Аналогично первая стратегия (ЗА) игрока Р2 имеет вид ^ = (1,0), вторая стратегия (ПР) игрока Р2 имеет вид $2 — (0,1)- Для игрока Ръ имеем первую (ЗА) стратегию = (1,0), вторую (ПР) $3 = (0, 1).

Функция выигрыша и^р $2, $3) игрока Р{ (фракция левых) принимает следующие частные значения в зависимости от про­филей 5= (5р52, 53):

"МАА) = -!> = (иМ>4>4) =

"МАА) = -I = 0 < Щ''^3 ))'

= щ^хАА)=° (цс^^з2) = щ ,52,53 .

Профиль 5- = ($}, 52,53) стратегий 5}, 52,означает, что каждый из игроков Р{, Р2, Р3 выбирает свою первую стратегию (т.е. голосу­ет ЗА). В этом случае законопроект проходит, и поэтому частное значение и = ($}, 52,53) функции выигрышей игрока Р{ равно (-1). Аналогично поясняются остальные частные значения функции выигрышей игрока Р{.

Из равенств и неравенств для частных значений функции вы­игрыша игрока Р{ вытекает, что стратегия 52 (ПР) для игрока Р{ (фракция левых) является доминирующей.

Функция выигрыша и2(5р 52, 53) игрока Р2 (фракция центрис­тов) принимает следующие частные значения в зависимости от профилей 5 = (5р 52, 53):

'2>'з) = I = 1 (игС^г^з) = М^»

ы^2,^) = 1, и^2,> *з) = О (^С*!2,^) >

= 1> иг(4>4>4) = 0 ("2(^2^3) > иг(*\>4^з2))» 42(^,4*4) = °>=0 (^2 (4 >4*4)=ъ (4>4>4))>

откуда вытекает, что стратегия я2 (ЗА) для игрока Р2 (фракция центристов) является доминирующей. Аналогично стратегия л^1 (ЗА) для игрока Ръ (фракция правых) является доминирующей.

На основании вышесказанного для игры «Голосование» суще­ствует профиль равновесия в доминирующих стратегиях 5 я* ,

9.3.2. Определение 9.3.4. Стратегия е игрока Рк называется сильно доминируемой, если существует стратегия Бк игрока Рк, которая ее сильно доминирует, т.е. ик Я_к) > икк, Я_к) для любых стратегий е «Зк, выбранных другими игроками Р^к).

Отбрасывание сильно доминируемых стратегий называется принципом сильного доминирования в теории статических игр т лиц с полной информацией. Отбрасывая (элиминируя) сильно доми­нируемые стратегии игрока, мы сужаем множество его стратегий. При этом подмножество оставшихся стратегий, естественно, со­держит стратегии, которые должны входить в решение игры. Если после отбрасывания сильно доминируемых стратегий у каждого игрока останется по одной стратегии, то, очевидно, профиль, со­стоящий из всех этих стратегий, и будет решением игры. В этом случае говорят, что статическая игра с полной информацией раз­решима по доминированию.

К сожалению, такая идиллия в теории игр — достаточно ред­кое явление. Однако последовательное сокращение множеств стратегий игроков за счет отбрасывания сильно доминируемых стратегий может упростить первоначально трудную задачу отыс­кания решения игры.

Отметим, что тот факт, что каждый игрок исходит из того, что каждый игрок не выберет доминируемую стратегию (и т.д. до бес­конечности), принято называть общим знанием.

В рассматриваемом случае важно, что предполагается не толь­ко рациональность поведения игроков (не выбирать доминиру­емые стратегии), но их способность провести соответствующие рассуждения, ибо цепочка рассуждений может быть достаточно длинной (я знаю, что он знает, что я знаю...).

Пример 9.3.2. Биматричная игра С1{А\В) задана табл. 9.2, в кото­рой двойная матрица выделена двойной рамкой.

Таблица 9.2

Стратегии игрока Р2

4 *22 *23
к —

5

(1,2) (4, 3) (2, 5)
3 о &&

О к

(-1,0) (5, 3) (3,2)
А (-1,7) (3,4) (1,6)

Проиллюстрируем на этой биматричной игре реализацию принципа сильного доминирования.

Стратегия я} = (1; 4; 2) игрока Р{ сильно доминирует стратегию ^ = (-1; 3; 1) игрока Р{9 ибо каждая координата вектора строго больше соответствующей координаты вектора что содержа­тельно интерпретируется так: каждое частное значение $2), =52,^,52 функции выигрыша игрока Р{ при выборе им страте­гии строго меньше соответствующего частного значения и{ 52), 52 = ^ Функции выигрыша игрока Р{ при выборе им стратегии 5}, т.е. их (*}; *21)= а.х=1>-1=азх= и^ их (5}; ап= =4 > З=д32= ?2), иф = а13=2 > 1 =а33= и^}; ф.

Таким образом, стратегия ^ является сильно доминируемой, и поэтому ее можно отбросить: игрок Рх не будет выбирать страте­гию

После отбрасывания стратегии ^ мы получим новую биматрич- ную игру, задаваемую табл. 9.3. Говорят, что биматричная игра, за­даваемая табл. 9.3, редуцируется к биматричной игре, задаваемой табл. 9.3. В табл. 9.3 сохранена символика табл. 9.2, хотя в табл. 9.3 стратегии ^ игрока Р2 уже не те, что в табл. 9.2.

Таблица 9.3

Стратегии игрока Р2

4 *23
Страте­гии игрока Р{ А (1,2) (4,3) (2, 5)
* (-1,0) (5,3) (3,2)

Стратегии игрока Р2
Стратегии игрока Р2
Стратегии игрока Р?

В табл. 9.3 стратегия *2 игрока Р2 сильно доминирует стратегию $2 игрока Рт поэтому стратегия 52 является сильно доминируемой и ее можно отбросить. После отбрасывания стратегии б2 получаем новую биматричную игру, задаваемую табл. 9.4.

Таблица 9.4
4 *23
Страте­гии игрока Рх (4, 3) (2,5)
4 (5,3) (3,2)

В табл. 9.4 стратегия ^ игрока Р{ сильно доминирует стратегию 5} игрока Рх, поэтому стратегия я} является сильно доминируемой и ее можно отбросить. После отбрасывания стратегии 5} получим новую биматричную игру, задаваемую табл. 9.5.

Таблица 9.5
4 *23
Стратегии игрока Р] 4 (5,3) (3,2)

В табл. 9.5 стратегия игрока Р2 сильно доминирует стратегию я2 игрока Рт поэтому стратегия является сильно доминируемой и ее можно отбросить. После отбрасывания стратегии ^ получим новую биматричную игру, задаваемую одной клеткой (см. табл. 9.6).

Таблица 9.6
4
Стратегии игрока р\ 4 (5, 3)

Отсюда вытекает, что решение биматричной игры, заданной первоначальной табл. 9.2 двойной матрицей третьего порядка, будет получено, если игрок Рх выберет единственную стратегию а игрок Р2 выберет единственную стратегию т.е. профиль (у^) первоначальной игры является единственным профилем, (строго) предпочитаемым остальным профилям (5р 52) игры, зада­ваемой табл. 9.2. Этот профиль С^,^) был получен с помощью принципа сильного доминирования.

9.3.3. Приведем определение равновесия Нэша как профиля, который предпочитается некоторым, но, вообще говоря, не всем профилям игры (У т лиц.

Определение 9.3.5. Пусть ик, (л), ке Г) — статическая иг­ра т лиц в нормальной форме. Профиль 5° =(5р ..., е •... • Бт стратегий ..., игры (У называется равновесием Нэша игры если для любого номера ке /и любой стратегии справедли­во неравенство ик(з°) > ик 5Д).

Стратегия к = 1,... /и, входящая в равновесие Нэша/, назы­вается стратегией равновесия Нэша.

Приведенное неравенство означает, что если каждый игрок Р.(] Ф к) выбирает свою стратегию равновесия Нэша, а игрок Рк перейдет в одиночку (!) от своей стратегии ^ равновесия Нэша к другой своей стратегии то выигрыш игрока Рк может только уменьшиться. Другими словами, в равновесии Нэша 5е =($[,..., любому игроку Рк в одиночку не выгодно менять свою стратегию если все остальные игроки Р.Ц Ф к) этого не делают, т.е. не ме­няют свои стратегии я?.

Если же в равновесии Нэша 5е =($[,..., поменяют свои стра­тегии два (или более) игрока, то они уже могут строго увеличить свои выигрыши (см. далее пример 9.3.3).

Равновесие Нэша представляет собой вариант решения игры

<< | >>
Источник: Черемных Ю.Н.. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учебник. - М.: ИНФРА-М, - 844 с.. 2008

Еще по теме 9.3. Равновесие в статических играх с полной информацией:

  1. 1. Статические игры с полной информацией
  2. 16.2 Статические игры с полной информацией
  3. Глава 1. Статические игры с полной информацией
  4. Статическое экономическое равновесие
  5. 9.4. всеобщее равновесие в полной модели /5-1а/
  6. 4. Статические игры с неполной информацией
  7. 16.5 Статические игры с неполной информацией
  8. Глава 3. Статические игры с неполной информацией
  9. 15.1 Модель с полной информацией
  10. Глава 2. Динамические игры с полной информацией
  11. 5.2 Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 5.2.1 Субъекты экономики в моделях общего равновесия
  12. Сотрудничество в повторяющихся играх
  13. 16.7.1. Сотрудничество в повторяющихся играх
  14. ДОГОВОРЫ ОБ ИГРАХ И ПАРИ
  15. Глава XX. ДОГОВОРЫ ОБ ИГРАХ И ПАРИ
  16. Макроэкономическое равновесие в модели сово­купного спроса и совокупного предложения. Переход от краткосрочного к долгосрочному равновесию
  17. 11.3 Равновесие с добровольным финансированием общественного блага (равновесие без координации)
  18. 11А.З. Равновесия Курно, Бертрана и Штакельберга как частные случаи равновесия Нэша