<<
>>

1.3. Представление предпочтений функцией полезности

Мы показали при достаточно естественных предположениях эквивалентность трех подходов к описанию предпочтений участников: ¦¦¦ Первоначально задано нестрогое отношение предпочтения; ¦¦¦ Первоначально задано строгое отношение предпочтения;

¦¦¦ Первоначально задана функция выбора участника на множестве ситуаций выбора.

Далее мы будем строить свои рассуждения, беря за основу нестрогое отношение предпочтения, но следует отметить, что нижеприведенные рассуждения можно перенести на случай двух других походов. В этом разделе мы рассмотрим условия, при которых на основании нестрогого отношения можно получить числовой индикатор полезности (функцию полезности) с некоторыми наперед заданными свойствами.

Удобно (особенно в приложениях теории) иметь дело с ситуациями, когда предпочтения потребителя описываются функцией полезности. Мы всюду будем предполагать, что область значения функции полезности — это действительная прямая, т.е. данная функция является вещественнозначной.

Определение 12.

Будем называть и(.): Х^К функцией ПОЛеЗНОСТИ потребителя, соответствующей нестрогому отношению предпочтения если для всякой пары альтернатив х, у е Х х Уу верно тогда и только тогда, когда и(х) ^ и(у), т.е. х Уу ^ и(х) ^ и(у).

'///////////////////////////////////////////////////////////////////////У/

Какие свойства предпочтений (и множества альтернатив, на которых заданы предпочтения) гарантируют существование функции полезности?

Следующее утверждение описывает необходимое условие существования функции полезности.

Утверждение 9.

Если функция полезности существует, то нестрогое отношение предпочтения является

полным,

транзитивным.

Утверждение 10.

Если множество альтернатив счетно, то для любого полного и транзитивного нестрогого отношения предпочтения существует функция полезности.

Доказательство:

Пусть множество альтернатив счетно. Тогда его можно представить в виде последовательности альтернатив х , "=1, 2, ... . Доказательство утверждения строится в виде алгоритма.

Пусть мы уже присвоили величину полезности первым N альтернативам из данной последовательности. Требуется присвоить величину полезности альтернативе

N+l n aN t 1 N.

х . Рассмотрим два подмножества множества А = {х ,..., х }:

aN ( aNi N+U N , .N, N+l .

А+ = {хеА | х > х } и А_ = {хеА | х > х}. Обозначим х такой элемент множества А^ что х : х V хе А1. В случае неединственности такого элемента берем любой из них. Так же точно обозначим х такой

NN

элемент множества А_, что х > х VхеА_. Существование х (при непустом множестве А^) и х (при непустом множестве А^) следует из полноты и транзитивности отношения Доказательство этого оставляется в качестве упражнения. Возможны 4 случая:

= 0. Тогда можно взять и(хт1) = и(х) + 1.

А = 0. Тогда можно взять и(хт1) = и(х) - 1.

А^Г П АN = 0. Тогда можно взять и(хт1) = (и(х) + и(х))/2.

А П А Ф 0. В этом случае берем и(хт1) = и(х), где х — произвольный элемент

N N N N

множества А+ П А_ (по построению все элементы множества А+ П А_ имеют одну и ту же полезность).

Чтобы закончить алгоритм, положим А1 = {х1} и и(х1) = 0. Заметим, что при таком построении функции полезности свойство х >у ^ и(х)>и(у)

выполнено V х,у е АЛГ при любом N. Поэтому построенная таким образом функция

и(.) действительно является функцией полезности. ¦

Если же множество альтернатив не является счетным, то утверждение в общем случае неверно, что показывает, например, нестрогое отношение предпочтения на основе лексикографического упорядочения потребительских наборов из К+ .

Лексикографическое упорядочение называется так, поскольку оно подобно правилу расположения слов в словаре.

Для простоты рассмотрим в качестве множества

допустимых альтернатив положительный ортант двумерного пространства, т.е.

2

X=K+. Зададим бинарное отношение >L определяемое по правилу V х, у е X (х :L j) ^ ( (%1 > &I) или ( %1 = & 1, %2 ^ Ут) ). Как нетрудно показать, этот бинарное отношение обладает свойствами полноты и транзитивности. Однако, оно не представляется никаким численным индикатором. Докажем последнее.

Предположим противное. Пусть существует некоторая функция полезности (принимающая действительные значения) такая, что х yLу ^ UL(%I, Х2) > UL(&I, &2).

Сопоставим каждому действительному числу xi некоторое рациональное число r(%I) такое, что

UL(%I, 2) > r(xI) > UL(%I,1).

Заметим, что если xi > xI', то по определению лексикографического упорядочения имеем

UL(%I,1) > UL(%I', 2).

Кроме того,

UL(%I, 2) > r(xI) > UL(%I,1) и UL(%I', 2) > r(xI') > UL(%I',1).

В силу этих соотношений имеем

r(xI) > UL(%I,1) > UL(%I', 2) > r(xI') и тем самым из того, что xi > xI' имеем, что r(xi) > r(xI'). В силу этого r(.) является взаимооднозначной функцией, область определения которой — вещественные числа, а область значения — рациональные (точнее сказать, некоторое подмножества множества рациональных чисел), но это невозможно, так как невозможно построить взаимооднозначное соответствие между счетным и несчетным множествами. Таким образом, мы пришли к противоречию, и, тем самым доказали, что не существует функции полезности, соответствующей лексикографическому упорядочиванию.

Отметим, однако, что все-таки существует ряд случаев, для которых можно гарантировать существование функции полезности в случае несчетного множества альтернатив. Например, функция полезности существует, если предпочтения непрерывны.

Определение 13.

Отношение ^ называется непрерывным, если для любых сходящихся после-довательностей {хи} , {уп}, таких что хи ^ уп, выполнено Х^ у, где X = lim„^^Xn и где у = п.

'///////////////////////////////////////////////////////////////////////У/

Несложно показать, что если функция полезности и(х) непрерывна, то нестрогое отношение предпочтения У непрерывно. Дебре доказал и обратное:

Утверждение 11.

Пусть нестрогое отношение предпочтения У полно, транзитивно и непрерывно. Тогда существует представляющая его непрерывная функция полезности.

Доказательство этого результата сложно, поэтому приводим его без доказательства. Ниже мы докажем более слабое утверждение.

Рассмотрим теперь дополнительные качественные свойства, которыми могут обладать предпочтения. Наиболее естественным из них является свойство моно- тонности, которое гарантирует нам, что полезность индивидуума возрастает при росте количества потребляемых товаров.

\ Определение 14. ;

х Отношение предпочтения является МОНОТОННЫМ, если из х > у следует х у у. / ^ Отношение предпочтения является СТрОГО МОНОТОННЫМ, если из х ^у и х Фу

\ следует лг у у. /

Утверждение 12.

Пусть нестрогое отношение предпочтения у, определенное на Х = К+, полно, транзитивно, строго монотонно и непрерывно. Тогда существует представляющая его строго монотонная непрерывная функция полезности.

Доказательство:

В качестве функции полезности можно взять соответствие, которое сопоставляет каждому хе К такое число и(х), что

х ~ и(х) 1,

где 1 — /-мерный вектор, состоящий из единиц. Покажем, что такое число и(х) всегда существует и единственно.

Для этого мы должны найти для каждого набора х эквивалентный ему набор из множества U = {и1 | иеК+}, которое является лучом, выходящим из начала координат. Сопоставим рассматриваемому набору х множество чисел и, соответствующих не худшим наборам из U

U+(х) = {и еК+ | и 1 ух}

и множество чисел и, соответствующих не лучшим наборам из U ((х) = {и еК+ | х у и 1}.

Эти множества не пусты, так как из свойства строгой монотонности следует, что

Ое U (х) и max{x^}e(+(х) (максимальный элемент вектора х).

Множество U (х) лежит выше U (х) поскольку из строгой монотонности следу-ет, что VU^ U (х) и Уи2е U+(х) выполнено UiОбозначим и+ = inf{U (х)} и и = sup{U (х)}. Эти величины конечны, так как множества U (х) и U (х) ограничены сверху и снизу соответственно. По непрерывности предпочтений и е U (х) и и е U (х). При этом и+ ^ и . Покажем, что и+ = и . Пусть это не так. Тогда существует число и такое, что и < и < и , так что и'? U (х) и и'? U (х). Это противоречит полноте предпочтений, так как либо и 1 у х, либо и 1 < х.

Полученная точка и = и = и удовлетворяет требуемому условию х ~ и 1 и единственна.

Заданная таким образом функция и(х) является функцией полезности. Пусть х1 У х2. По построению х1 ~ и(х^ 1 и х2 ~ и(х2) 1. Значит, х1 у х2 тогда и только то- гда, когда и(х1) 1 > и(хт) 1. Но из строгой монотонности и(х1) 1 > и(хГ)1 тогда и только тогда, когда и(х1) ^ и(хГ).

Функция полезности и(х) является строго монотонной. Пусть х1 ^ хт и х1 Ф хт. Тогда из строгой монотонности предпочтений х1 > хт. Отсюда следует, что и(х1) 1 > и(хГ)1. Поэтому и(х1) > и(хГ).

Докажем теперь непрерывность функции полезности и(х). Для доказательства непрерывности функции полезности рассмотрим последовательность {х„}Г=1 такую, что lim„ ^ ^ х„ = х. Нам надо показать, что lim„ ^ ^ и(х„) = и(х). Зафиксируем некоторое число ? > 0. Заметим, что можно выбрать ии X такие, что для любого вектора у из ?-окрестности точки х (т.е. ||у - х || < ?) выполнено

xD1 < у < X 1.

Например, можно взять и = ттк{хк} - 2? и X = тахк{хК} + 2?. Как нетрудно заметить, по строгой монотонности мы имеем и < и(у) < X. Для любой сходящейся подпоследовательности из {х„}Г=1 найдется достаточно большое число N такое что при п > N имеем ||х„ - х|| < ?, т.е. последовательность начиная с номера N + 1 попадает в ?-окрестность точки х. Тогда, как мы показали выше, и(х„) попадает в интервал [x ,и].

Покажем теперь, что любая сходящаяся подпоследовательность из последовательности {х^п^^АЧ сходится к одному и тому же числу и(х). (Отметим, что так как бесконечная последовательность {и(х„)}„=А+1 задана на компакте [х ,и], то она должна иметь точки сгущения. Мы хотим показать что существует всего одна точка сгущения и это и(х). )

Рассмотрим теперь некоторую сходящуюся подпоследовательность{и(хИ4)}к=1 из {и(х„)}„=А+ь Пусть эта последовательность сходится к X и при этом XX Ф и(х). Предположим что X > и(х). Возьмем некоторое число X, такое что X > X > и(х). По свойству строгой монотонности имеем, что X 1 > и(х) 1. Поскольку {и(х„4)}к=1 сходится к X, то существует М такое, что при к > М выполнено и(х„к) > X. По определению функции полезности хИк ~ и(хИк)1 и, кроме того, по строгой монотонности и(хИк)1 > X1 (V к > М), т.е. хПк ~ и(хИк) 1> X 1. Так как предпочтения непрерывны, то х > X 1, но х ~ и(х)1, поэтому и(х) 1 : X 1. Однако выше было показано, что XX 1 > и(х) 1. Получили противоречие и тем самым доказали непрерывность построенной функции полезности.

¦

Ряд нижеприведенных свойств отношений предпочтений и представляющих их функций полезности используются при характеристике важных частных случаев моделей рационального поведения.

Вместо свойства строгой монотонности часто можно использовать более слабое свойство локальной ненасыщаемости. Локальной ненасыщаемости обычно оказы- вается достаточно для доказательства тех свойств выбора, которые следуют из строгой монотонности предпочтений.

Определение 15.

Предпочтения называются ПОКалы-Ю ненасыщаемыми, если для любого допустимого набора х в любой его окрестности найдется другой допустимый набор х, такой что х -< х.

\ -1—г * /

(Под е-окрестностью точки х можно понимать множество таких точек х, что

\ к ^ * 2 * ^

- х, < е, т. е. сфера радиуса е с центром в точке х ).

На рисунке заштрихованы области, в которых могут быть лучшие наборы при локальной ненасыщаемости и при строгой монотонности предпочтений.

Довольно простое поведение потребителя (линейность кривых Энгеля) получаем в ситуации так называемых гомотетичных предпочтений.

Для строгой монотонности

Для локальной ненасыщаемости Рисунок 1 Определение 16.

Отношение предпочтения называется гомотетичным , если

для каждого положительного t tx eJ тогда и только тогда, когда х е J.

для каждого положительного t соотношение

tx У ty

выполняется тогда и только тогда, когда выполняется соотношение

х У y

Отметим, для гомотетичных предпочтений существует однородная функция полезности, представляющая такие предпочтения. Такая характеристика предпочтений позволяет получать сильные результаты, касающиеся поведения потребителей и состояний равновесия, и активно эксплуатируется в теории международной торговли и в макроэкономике при анализе агрегированного спроса.

Следующее свойство, характеризующее «регулярный» случай, рассматриваемый в экономической теории, важно для демонстрации «хороших» свойств функции выбора и доказательства существования равновесия.

Здесь и далее мы будем предполагать, что множество X выпукло.

Определение 17.

Предпочтения являются ВЫПУКЛЫМИ, если V х, у е X: х у и 0 < а < 1 выполнено ах + (1 - а) у > у.

Предпочтения являются СТрОГО ВЫПУКЛЫМИ, если V х, уе X: х >>у, х Фу и 0 < а < 1 выполнено ах + (1 - а) у > у.

Рисунок 2. Пример выпуклых, но не строго выпуклых предпочтений

Напомним, что функция и (.) — вогнута, если

и (ах + (1 - а) у) ^ аи (х) + (1 - а) и (у) V 0 < а < 1. Известно, что дважды непрерывно дифференцируемая функция и (.) вогнута тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных (матрица Гессе) Н отрицательно полуопределена, т.е. z'Hz <0 Vz.

Утверждение 13.

Если функция полезности вогнута, то представляемые ею предпочтения выпуклы.

.Доказательство:

По определению вогнутости и (.) имеем, что V х, у е X и (ах + (1 - а) у) ^ аи (X) + (1 - а) и (у) V 0 < а < 1, Без потери общности считаем, что х ^ у. Тогда и (X) ^ и (у), откуда

и (ах + (1 - а) у) ^ и (у). Воспользовавшись определением функции полезности получим, что ах + (1 - а) у : у V 0 < а < 1.

¦

Обратное не всегда верно. Выпуклость предпочтений эквивалентна квазивогнутости функции полезности.

Напомним, что функция и (.) — квазивогнута, если и (ах + (1 - а)y) ^ min(u (х), и (y)) V 0 < а < 1. Известно, что дважды непрерывно дифференцируемая функция и (.) квазивогну- та тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных Н отрицательно полуопределена на гиперплоскости Vu(x) z = 0, т.е.

z'H(x)z <0 для каждого z, такого что Vu(x) z = 0.

Утверждение 14.

Функция полезности квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею предпочтения выпуклы.

Доказательство'.

Покажем, что из квазивогнутости функции полезности следует выпуклость представляемых ею предпочтений.

По определению квазивогнутости и (.) имеем, что V x, y е J и (ax + (1 - a) j) ^ min(u (х), u (y)) V 0 < а < 1.

Без потери общности считаем, что x у. Тогда и (х) ^ и (у), откуда и (ox + (1 - а) j) ^ и (у).

Воспользовавшись определением функции полезности получим, что OX + (1 - а) у У у V 0 < а < 1.

Теперь покажем обратное. Считаем, что x у. Тогда по определению выпуклости предпочтений

OX + (1 - а) у У у V 0 < а < 1.

По определению функции полезности

и (ах + (1 - а) j) ^ и (у) = min(u (х), и (у)) V 0 < а < 1.

¦

Помимо вогнутости функции, нам в дальнейшем понадобится понятие строгой вогнутости и строгой квазивогнутости. Функция и (.) — строго вогнута, если и (ах + (1 - а) j) > аи (х) + (1 - а) и (у) V 0 < а < 1.

Функция и (.) — строго квазивогнута, если

и (ах + (1 - а) j) > min(u (х), и (у)) V 0 < а < 1.

Основная цель данного параграфа состояла в том, чтобы показать, какие свойст-ва предпочтений гарантируют существования функции полезности и указать на связи между характеристиками предпочтений и соответствующими им свойствами представляющих их функций полезности. Но, кроме этого мы косвенно показали, что функция полезности, представляющая заданные предпочтения, не единственна.

При моделировании предпочтений потребителя часто рассматриваются два подхода. ординалистский и кардиналистский. Ординалистский подход предполагает, что все функции и(.), которые удовлетворяют свойству U(X) ^ и(у) ^ x :у эквивалентны при описании поведения потребителя. Кардиналистский же подход предполагает, что среди этого семейства функций существует подмножество особых функций, обладающих более «глубокими» свойствами, в том смысле, что с их по-мощью можно измерить «истинную» полезность, которую получает индивидуум от каждого из наборов благ. Эти функции позволяют сравнивать потребительские наборы количественно, чего нельзя сделать при ординалистском подходе, так как разница величина полезности в последнем случае не имеет содержательной интер-претации.

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории. 1998
Помощь с написанием учебных работ

Еще по теме 1.3. Представление предпочтений функцией полезности:

  1. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  2. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  3. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  4. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
  5. 7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности
  6. 8.1. Потребительские предпочтения и предельная полезность. Закон убывающей предельной полезности
  7. Вопрос 20. Предпочтения потребителя и полезность.
  8. 8.1. Предпочтение потребителя и полезность
  9. 16.3. Предпочтения при принятии решений в условиях риска (теория ожидаемой полезности)
  10. Глава 3 ПОЛЕЗНОСТЬ, ПРЕДПОЧТЕНИЯ, СПРОС
  11. Уровневая функция полезности, выводимая из полезности Неймана-Монгенштерна
  12. 7.2. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 7.2.1. Графики функций полезности
  13. 11.2. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 11.2.1. Графики функций полезности
  14. 2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность
  15. 1.6. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений
  16. 3.C.2 Восстановление предпочтений на основе функции расходов
  17. Приложение 3.C Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений