<<
>>

П 6. Основные результаты теории экстремума функций одной и нескольких переменных

П.6.1. Экстремум функции — это частное значение функции/ одной или нескольких переменных, являющееся ее максимумом или минимумом.

Функция Дх) одной переменной имеет в точке х° є М с Ех ло­кальный максимумах0) (локальный минимумах0)), если суще­ствует 5-окрестность £^(8, х°) точки х°(С/1(8, х°) с М))9 такая, что для любой точки х є С/^8, х°) справедливо неравенствоДх0) >Дх) (Дх°) < Дх)).

Точка х° называется точкой локального максимума (локального минимума) функции Дх). Если для любой точки хє их(8, х°) и такой, чтох^х0, справедливо неравенство Дх°) >ЛХ) (Дх°) < Дх)), то говорят о сильном локальном максимуме Дх°) (сильном локальном минимуме Дх°). Если локальный экстремум не является сильным, он называется слабым.

Если для любой точки х є М^ЕХ справедливо неравенство Дх°) >Дх) (Дх°) Дх) (Дх°) Дх) (Дх°) Дх) (Дх°) Дх) (Дх°) < Дх)), то говорят об абсолютном сильном глобальном максимуме Дх°) (абсолютном сильном глобальном минимуме Дх0)). Если абсолютный глобальный экстремум не яв­ляется сильным, то он называется слабым.

Функция Дх) нескольких переменных Х= (Хр ..., хп) имеет в точке х° = (хД ..., хя°) условный локальный максимумДх°) (услов­ный локальный минимум Дх0)) при наличии ограничений в виде равенств

8\(х) = 0,..., 8т(х) = О (П6.1)

(m < л), если существует 8-окрестность Un(8, х°) точки х° = (хД ..., хп°)9 такая, что для любой точки х е Un(b9 х°) и удовлетворяющей ограничениям (П 6.1) справедливо неравенство fix0) >Дх) (fix0) < Дх)). Точка х° называется точкой условного ло­кального максимума (условного локального минимума) функции fix) при наличии ограничения (П 6.1). Если для любой точки хе U (8, х°), удовлетворяющей ограничениям (П 6.1), и такой, что х*х , справедливо неравенство Дх°) >Дх) (fix0) Дх) (fix0) < Дх)), то говорят об условном гло­бальном максимуме fix0) (условном глобальном минимуме fix0)) функции fix) на множестве М с Еп при наличии ограничений (П 6.1). Точках0 называется в этом случае точкой условного гло­бального максимума (условного глобального минимума) функции fix)) на множестве Мс Еп. Если при х * х°Дх°) > fix) (fix0) < Дх)), то говорят об условном сильном глобальном максимуме fix0) (ус­ловном сильном глобальном минимуме Дх0)) функции Дх) при наличии ограничений (П 6.1). Если условный глобальный экстре­мум не является сильным, то он называется слабым.

Необходимые условия абсолютного локального экстремума и условного локального экстремума для функции нескольких пере­менных имеют, как правило, форму условий первого порядка.

П.6.3. Условия первого порядка для функции у = fix) (хе Мс,Еп), имеющей конечные частные производные первого порядка по всем переменным х = (хр ..., хл), — это равенство нулю всех част­ных производных первого порядка этой функции:

Э/(х) = 0 ^Э/(х)^0 3xj ЭхЛ

Для функции одной переменной условие первого порядка имеет вид/(х) = 0.

Условия первого порядка

(П 6.2)

aXj охп

51 - 7620 необходимые условия абсолютного локального экстремума функ­ции .у -Дх) (XG Л/Q Е„), имеющей в точкех° (х° = (Xj°, ...,хя°) конеч­ные частные производные по всем переменным х= (Хрхп), когда х° — внутренняя точка множества М. Точка х° ^эдх0;х°) = 0> дЦх°;Х°) ^ ^ дЦх°;Х°) = Q 3xj дхп дХ{ Э Хт

П.6.4. Достаточные условия абсолютного локального экстрему­ма и условного локального экстремума функции нескольких пе­ременных имеют, как правило, форму условий второго порядка.

Условия второго порядка для функции у=Дх) (х е ¥с Еп), име­ющей непрерывные вторые частные производные по всем пере­менным х = (хр ..., хя), это совокупность неравенств

det(y4A:(x))^0, к = 1,..., я, где det(y4^(x)), к - 1,л, последовательно повышающие порядок главные диагональные миноры симметри­ческой матрицы А = А(х) вторых частных производных функции

э2дх) Э 2/(х) д2Дх)
Эх,2 дх{ Эх2 дх{дхп
Э г Э 2Дх) э 2т
dx2dxj Эх22 Эх2Эхл
Э2/(*) Э2Д*) Э 2/(х)
Эх„Эх, дхпдх2 Эх2

Пусть М — открытое множество (М с Еп) и пусть для точки х° = (хД ..., хл°) выполнены условия первого порядка, т.е. пусть х° — стационарная точка функции у =Дх) (хе Af с 2?я).

1. Тогда условия второго порядка det(^(x0)) > 0, к- 1,..., я, — это достаточные условия того, чтох0 — точка абсолютного локаль­ного сильного минимума функции у =Дх) на открытом множестве

2. Тогда условия второго порядка (-l^det^^x0)) > 0, к - 1,..., п — это достаточные условия того, что х° — точка абсолютного локального сильного максимума функции у = f{x) на открытом множестве М с Еп.

3. Тогда условия второго порядка в виде det^^x0)) * 0 и невы­полнения условий второго порядка в виде 1) и в виде 2) — доста­точные условия того, что х° — седловая точка, т.е. в точке х° абсо­лютного локального экстремума нет.

Функция Лагранжа задачи на условный локальный максимум (минимум)

Дх) (max)

при наличии ограничений в виде равенств ^(х) = 0,...,ят(х) = 0 (х= (хр ...,хя), т О, А; = /я + 1,..., л, — достаточные условия того, что х° — точка услов­ного локального сильного минимума.

2. Тогда условия второго порядка Х°) > О, к = т+ 1,..., л, — достаточные условия того, что*0 — точка услов­ного локального сильного максимума.

Здесь



О

дх{

о э&"°> Эх,

Эх*

%т(х°) дхк

д2Цх°-,Х°)

О

Эд(*°)

Э^т(х°) д2Цх°;Х°)



Эх,
дх{
дх\дхк

Э2Дх°;Х,°)

Эх2

Эх«.

ах,2

»„(*°) Э2Цх°;А.°) дхк дхк дх{



(к= т + 1,..., л) — главный минор окаймленной матрицы Гессе

Эа(*0)

Эх*

дх{



Эх, Эх„
Э2Х(х°;Х,°) Э2Дх°;Я,°)
Эх,2 дх]дхп
Э21(х°;Я,°) Э 2Цх°-Х)
дхпдх1 Эх2
О

Эа(*0)

дх{ дх„

дх{

дх„




функции Лагранжа £(х°; А,0) в точке (х°; А,0).

<< | >>
Источник: Черемных Ю.Н.. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учебник. - М.: ИНФРА-М, - 844 с.. 2008

Еще по теме П 6. Основные результаты теории экстремума функций одной и нескольких переменных:

  1. Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной
  2. 1.1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
  3. 14.2.2. СПРОС МОНОПОЛИСТА НА ОДИН ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ФАКТОРОВ
  4. 14.1.2. СПРОС ПРЕДПРИЯТИЯ НА ОДИН ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ФАКТОРОВ
  5. 14.3.3. РАВНОВЕСИЕ МОНОПСОНИСТА, ИСПОЛЬЗУЮЩЕГО НЕСКОЛЬКО ПЕРЕМЕННЫХ ФАКТОРОВ
  6. Глава І. УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИЙ
  7. 11. Сделки, совершенные в результате злонамеренного соглашения представителя одной стороны с другой
  8. 2. Присоединение одной или нескольких коммерческих организаций к иной коммерческой организации (за исключением финансовых организаций)
  9. 1.2. функция многих переменных
  10. 2.2. Влияние величины постоянных и переменных затрат на финансовый результат деятельности предприятия
  11. Приложение 1. Исследование функции свертки нечетких переменных
  12. 8.3. Использование методов калькулирования по полным и по переменным затратам для межвременной оптимизации отчетного финансового результата
  13. 5.3.4. Производственная функция с непрерывным изменением переменного фактора
  14. 5.3.3. Построение производственной функции с дискретным изменением переменного фактора
  15. Статья 321. Исполнение обязательства, в котором участвуют несколько кредиторов или несколько должников
  16. Статья 175. Решение в пользу нескольких истцов или против нескольких ответчиков
  17. Статья 175. Решение в пользу нескольких истцов или против нескольких ответчиков