<<
>>

7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)

К выбору наиболее предпочтительной денежной лотереи сводятся многочисленные модели инвестиционного повеления.

Мы проиллюстрируем этот анализ на основе следующей простой двухпериодной модели.

Рассмотрим задачу распределения одного блага — капитала — между несколькими активами k ? K = {1,...,1}.

Модель двухпериодная. В первый период инвестор вкладывает капитал в активы, а во второй получает доход с этих активов. Величину капитала будем обозначать и (и > 0).

Каждый актив характеризуется своей доходностью (отношением чистого дохода от единицы актива к цене). Пусть f— — валовая доходность k-го актива, т. е. валовой доход на рубль вложений. Волна означает, что это случайная величина. Если считать пространство состояний мира дискретным, как и выше, то доходность f— — дискретная случайная величина и принимает значения r—s (s ? S) с соответствующими вероятностями ps.

Инвестор должен выбрать размеры вложений z— в каждый из доступных активов k K при следующих ограничениях:

7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) $ Можно покупать актив, но не эмитировать его, т. е.

zfc ^ 0.

$ Общая сумма вложений не должна превышать величину капитала, т. е.

YI Zfc ^ W.

fceK

Последнее неравенство представляет собой аналог бюджетного ограничения.

Вектор (zfcбудем называть портфелем. Общий (валовой) доход от портфеля равен:

x = YI Zfc Г.

fceK

Если пространство состояний мира дискретное, то доход от портфеля x — дискретная случайная величина и принимает значения

xs ^ ] zfcrfcs

fceK

с вероятностями Р^ .

Как обычно, предполагаем, что предпочтения инвестора описывается функцией типа Неймана— Моргенштерна

U = E u(x) = ? Р^-и^).

В дальнейшем мы везде будем считать, что —(¦) — дифференцируемая функция, причем производная и'(-) положительна и убывает (инвестор — рискофоб).

Поскольку капитал W — постоянная величина (выбор между накоплением и потреблением остается за рамками модели), то полезность определяется структурой портфеля, и можно вместо величины вложений в k-й актив, , рассматривать долю этого актива в портфеле

afc = zfc/W.

Тогда

x = W Y afc rfc.

fceK

Получим следующую задачу:

U = E u(x) = E u(w ? akrk) ^ max.

? ak ^ 1, ak ^ 0, Vk G K.

keK ak keK

Принято вводить еще безрисковый актив k = 0 с гарантированной доходностью Г = Го (его можно интерпретировать как государственные ценные бумаги или вклад до востребования). Этот актив имеет одну и ту же доходность Го независимо от состояния мира. При этом

к = {0,...,о.

Еще одно предположение, которое принято делать — нет ограничения на неотрицательность вложений в безрисковый актив, т. е. может быть < 0. Интерпретация — можно взять кредит на любую сумму по той же ставке Го.

Так как производная u'(x) положительна, то целевая функция ненасыщаема и поэтому «бюджетное ограничение» в задаче инвестора выходит на равенство, т. е. ао = 1 — fc=o afc. Исключив ао , преобразуем задачу инвестора к виду

E u(w(ro + У2 afc(Г — Го))) ^ max.

^^ ak

fc/о k? При соответствующих условиях регулярности производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной8. Будем предполагать, что эти условия выполнены. Тогда условие первого порядка решения задачи инвестора имеет вид

E[u'(X)w(f — ro)] < 0, Vk = 0.

Кроме того, если > 0, то это условие выполняется как равенство

E[u'(X)w(f — ro)] = 0.

или

E[u'(X)fk] = ro E u'(X).

Нетрудно проверить, что в силу свойств функции u(-) (инвестор — рискофоб) и линейности оператора E, ожидаемая полезность портфеля, как функция долей вложений в соответствующие активы, является вогнутой. Поэтому эти условия являются достаточными условиями оптимальности портфеля.

Рассмотрим частный случай этой задачи. Пусть есть два актива — безрисковый и один рискованный. Задача инвестора имеет вид:

E u(w(aoro + a1f1)) ^ max .

«0,«1

ao + a1 ^ 1, ai Z 0.

Исключив ao, получим следующую задачу одномерной максимизации:

U = E u(w(ro + a1(f1 — ro))) ^ max.

a1Zo

Обозначим максимизируемую функцию через U(ai) и вычислим ее производную:

dU (ai) = E[u'(w(ro + ai(fi — ro)))w(fi — ro)] = da1

= w(E[u'(X)fl — ro Eu'(X)).

Решение задачи инвестора (если оно существует) может быть внутренним (ai > 0) либо граничным (ai = 0).

Если в оптимальном портфеле ai > 0, то dU (ai )/dai = 0, откуда

E[u'(X)f1] = ro E u'(X).

Заметим, что в рассматриваемом случае u'(X) является убывающей функцией fi, поэтому

E[u'(X)f1] < E u'(X) E f1.

(Ковариация u'(X) и fi отрицательна). Таким образом, поскольку Eu'(X) > 0 (ожидание положительной случайной величины положительно), необходимое условие внутреннего решения состоит в том, что ro < E fi

Если в оптимальном портфеле ai = 0, то X = wro (т.

е. доход портфеля — не случайная величина). Значит,

dU (ai) '

— = wu (wro)(E fi — ro).

da1

Поскольку для граничного решения dU(ai)/dai ^ 0 и производная элементарной функции полезности положительна, то получим следующее необходимое условие оптимальности граничного решения:

E r1 ^ ro.

Рис. 7.6. Возможные ситуации в случае выбора из двух активов

Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, что 1-й актив войдет в портфель (ai > 0) является то, что его ожидаемая доходность больше гарантированной (Eri > ro).

Тот факт, что для случая двух активов условие E ri > ro является достаточным, является частным случаем более общего результата, который называется теоремой о диверсификации.

Теорема 92 ((теорема Самуэльсона о диверсификации )):

Пусть инвестор характеризуется целевой функцией типа Неймана— Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(-), и пусть, кроме того, О функция u'(x) положительна и убывает; О доходности активов (статистически) независимы ; О ограничение ao ^ 0 несущественно;

выполнены условия регулярности, обеспечивающие, что производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной.

Тогда любой актив k ? K, ожидаемая доходность которого выше доходности безрискового актива (E r^ > ro) войдет в портфель, т. е. > 0. J

Доказательство: Как мы видели ранее, условие первого порядка для задачи инвестора имеет вид (постоянный множитель и > 0 можно сократить)

E[u'(X)(rk - ro)] < 0, Vk = 0,

Предположим, что = 0, k = 0 (k-й актив не входит в портфель). При этом величины r^ и X должны быть между собой независимы (X зависит только от доходностей остальных активов). Следовательно, r^ и u'(X) также независимы (функции от независимых случайных величин тоже независимы). Воспользовавшись тем, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, получим, что

E rk E u' (X) ^ ro E u'(X).

Так как E u'(X) > 0, то E r^ ^ ro. Следовательно, если E r^ > ro, то не может быть = 0, т.

е. такой актив войдет в портфель. ¦

Если несколько преобразовать условие первого порядка, можно привести интересную его интерпретацию.

По определению ковариации для двух случайных величин ? и п выполнено

E(?n) = Cov(?,n) + E(?) E(n).

С учетом этого соотношения условия оптимальности (если k-й актив вошел в портфель, т. е. afc > 0),

E[u'(X)fk] = ro E u'(X).

можем записать в виде

Cov(u'(X),f)

E f = ro {ТТгл .

E u'(x)

Второе слагаемое этого выражения — величина

Cov(u'(X), fk)

E u' (X)

представляет собой превышение ожидаемой доходности k-го актива над доходностью безрискового актива и носит название премии за риск.

Заметим, что полученное соотношение означает, что включение актива в оптимальный портфель определяется не только его средней доходностью, но и величиной корреляции его доходности с доходностью всего портфеля. Премия за риск является положительной, если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны. Это объясняется тем, что если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны, то доходность актива и предельная полезность отрицательно коррелированны, поскольку предельная полезность у рискофоба является убывающей функцией. Следовательно, такой актив включается в оптимальный портфель, только если он характеризуется положительной премией за риск.

С другой стороны, премия за риск является отрицательной, если доходность актива и доходность портфеля отрицательно коррелированны. Такой актив может входить в оптимальный портфель, несмотря на то, что он характеризуется отрицательной премией за риск. Этот феномен называется хеджированием. Так, например, у страховых полисов ожидаемая чистая доходность, как правило, меньше нуля, но они часто включаются в портфель рискофоба, так как их доходность отрицательно коррелирует с ожидаемым доходом от портфеля.

<< | >>
Источник: Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень. 2005

Еще по теме 7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля):

  1. 7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)
  2. 7.7 Приложение: модель Марковица и CAPM
  3. 6.1. ПРОБЛЕМА ВЫБОРА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
  4. 6.5.3. Формирование портфеля ценных бумаге применением ЦМРК
  5. МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ ИНВЕСТИЦИЙ
  6. Модели оптимального портфеля инвестиций
  7. 12.3. Выбор состава оптимального портфеля ценных бумаг
  8. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица
  9. Выбор оптимального портфеля
  10. 7.2. Формирование оптимального портфеля долевых активов
  11. 20.3. МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  12. МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ И ВОЗМОЖНОСТИ ИХ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ
  13. 5.2. Основы «портфельной теории» и модели диверсификации портфеля инвестиций
  14. 15.4. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ФИНАНСОВЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
  15. 19.2. Особенности формирования и управления портфелем ценных бумаг
  16. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  17. 10.3. Обоснование выбора инвестиционных проектов
  18. 2.4. МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ ОРГАНИЗАЦИЙ СФЕРЫ СЕРВИСА
  19. 7.3. ИНВЕСТИЦИИ В ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ 7.3.1. Процесс управления инвестициями