<<
>>

Модель Бертрана при возрастающих предельных издержках

Рассмотрим теперь, что произойдет, если мы откажемся от предположения о постоянстве предельных издержек при анализе ценовой конкуренции. Будем исходить из стандартного предположения об убывающей отдаче от масштаба, то есть предполагать, что предельные издержки возрастают и положительны.

Кроме того, для упрощения будем предполагать, что предельные издержки возрастают неограниченно. Аналог равновесия Бертрана для случая растущих предельных издержек был бы таков: продукция продавалась бы всеми фирмами по одной и той же цене, и цена равнялась бы предельным издержкам. Мы покажем здесь однако, что при сделанных предположениях о функциях издержек описанное состояние не может соответствовать равновесию в модели ценовой конкуренции.

Обсуждение гипотез модели

Согласно предположениям Бертрана, если некоторая фирма устанавливает самую низкую цену, то все желают купить у нее. Эффективный спрос, с которым она сталкивается, совпадает с совокупным спросом. В модели Бертрана, если фирма установит цену ниже, чем цены конкурентов, и выше, чем предельные издержки, то в ее интересах и возможностях полностью удовлетворить спрос при данной цене. В случае же растущих предельных издержек фирма с минимальной ценой не обязательно удов-летворяет весь рыночный спрос.

Как известно, если фирма j с возрастающими предельными издержками сталкивается с фиксированной ценой Pj Cj-(O)) за произ- pmin

водимую ею продукцию, то Pi

ей выгодно выбрать такой

объем производства ур чтобы предельные издержки были Рисунок 66 равны цене: Таким образом, если фирма установит цену ниже, чем цены конкурентов, то ей может оказаться невыгодным производить продукцию в количестве, равном емкости рынка при данной цене. Такая ситуация изображена на Рис. 66, где через pmin обозначена минимальная из цен конкурентов. Если не предполагать, что олигополист, устанавливая цену, обязуется продать по данной цене любое количество блага, на которое будет предъявлен спрос, то помимо решения о выборе цены следует также рассмотреть вопрос о выборе производимого количества блага.

В этом состоит принципиальное отличие от стандартной модели Бертрана, в которой выбор количества не рассматривается, поскольку в рамках этой модели всегда выгодно производить столько, сколько можно продать.

С точки зрения теории игр можно рассматривать модель Бертрана как редуцированную игру. Исходная игра при этом является динамической, и в ней олигополисты сначала выбирают цены, а затем количества, причем фирма с минимальной ценой осуществляет выбор первой, поскольку потребители в первую очередь обращаются к ней. В случае постоянных предельных издержек можно было ограничится анализом редуцированной игры, в рассматриваемом же случае приходится анализировать полную динамическую игру.

В рассматриваемой нами модели, если участник, назначивший наименьшую цену, сочтет невыгодным полностью удовлетворять весь предъявляемый при этой цене спрос, то на рынке останется неудовлетворенный (остаточный) спрос. Величина его зависит от того, какие потребители приобретут продукцию производителя, назначившего наименьшую цену, т.е. от выбранной этим производителем схемы рационирования. Данную проблему можно назвать проблемой рационирования. Процесс рационирования может осуществляться разными способами. Очевидно, что равновесие, в общем случае, должно зависеть от схемы рационирования. В то же время, на прибыль олигополиста назначившего наименьшую цену, не влияет то, какую схему он будет использовать, хотя выбранная им схема определяет величину остаточного спроса и, тем самым, величину прибыли других олигополистов.? В этом параграфе мы не рассматриваем подробно характеристики равновесия в данной ситуации. Наша цель здесь продемонстрировать, что вне зависимости от схемы рационирования ценообразование по предельным издержкам не может быть равновесием.

Рисунок 68

Щрз, Уъ Pi)-

Для упрощения мы будем проводить анализ для случая двух фирм. При большем количестве фирм выводы не изме- Р т нятся, но рассуждения станут более сложными. Предположим, что первая фирма установила более низкую цену (Pi < Р2) и продала ух единиц блага.

При этом вторая фирма сталкивается с неким оста-точным спросом, который мы обозначим через D2. Этот остаточный спрос зависит как от количества блага, проданного первой фирмой, так и от назначенных цен: D2 Конкретный вид функции D2 определяется предполагаемой схемой рационирования.

Будем считать, что функция остаточного спроса D2(p2, Уъ Pi) определена при всех неотрицательных значениях Р1; Р2 И у1 (а не только при pj < р2). Естественными требованиями к функции остаточного спроса являются ее рисунок 67 невозрастание по р2 и условие

Щр, Vi,P) = D(p)-yJ.

Ниже приводится описание двух наиболее простых и естест-венных вариантов рационирования — пропорционального и эффективного рационирования.

При пропорциональном рационировании остаточный спрос при каждой цене составляет одну и ту же долю исходного спроса:

Такое рационирование может быть результатом того, что все потребители с одинаковой вероятностью попадают в число тех, кто смог купить товар у первой фирмы. При этом дополнительно предполагается, либо что предпочтения у всех одинаковые, либо что благо неделимое, и все потребители потребляют не более единицы. Потребителей должно быть «достаточно много». Кроме того, следует учитывать, что такая схема рационирования возможна только в том случае, если потребители по каким-либо причинам не перепродают друг другу товары (отсутствует арбитраж) .

Рис. 67 иллюстрирует случай такого «справедливого» рационирования. График остаточного спроса получается из графика исходного спроса пропорциональным сжатием по горизонтали в направлении оси.

При эффективном рационировании продукцию по более низким ценам покупают те, кто более высоко ее ценит. В этом случае остаточный спрос получается параллельным сдвигом кривой спроса на величину у1. Эту схему легко проиллюстрировать в ситуации, когда каждый потребитель хотел бы купить единицу блага. Тогда, если у нас есть 15 покупателей, а первая фирма производит только 5 единиц, то эти 5 единиц покупают те 5 из них, которые ценят данное благо выше, чем каждый из остальных десяти потребителей.

Хотя описанное ранее пропорциональное рационирование кажется на первый взгляд более правдоподобным, однако эффек-тивное рационирование тоже можно обосновать.

Этот способ рационирования хорошо отражает положение дел в ситуации, когда без издержек можно перепродать благо (возможен арбитраж). Тогда, если это благо случайно купил потребитель, который ценит его ниже р2, он перепродаст ее тем, кому оно не досталась, но кто готов предложить за нее более высокую цену. Таким обра- зом, при наличии арбитража (без дополнительных затрат на сделки) любой другой способ рационирования должен в конечном итоге свестись к эффективному рационированию.

Как несложно понять, при таком способе рационирования

Рисунок 69

остаточный спрос с которым сталкивается вторая фирма, будет равен (при D(p2) > ух)

ЩР2, VL, PI) = D(P2) - УI Из совокупного спроса D(p2) мы вычитаем то количество, которое продала первая фирма, и получаем остаточный спрос, с которым сталкивается вторая фирма. Эта формула подходит только если второй назначит такую цену, что D(p2) > ух. Если же D(p2) < ух, то величина остаточного спроса окажется равной нулю, поскольку по предположению те потребители, которые ценят товар выше Dl(y\), уже приобрели товар. Таким образом, остаточная функция спроса имеет следующий вид:

п( Ч= \D{p2)- УГ, если p2^D~\yl), jo, если p2>D-\Vl).

Нахождение остаточного спроса при эффективном рационировании иллюстрирует Рис. 68. Остаточный спрос получается из общего спроса параллельным горизонтальным сдвигом на величину ух.

С точки зрения благосостояния эффективное рационирование — это такое рационирование, при котором среди всех возможных вариантов рационирования (распределения между потребителями количества ух) благосостояние совокупности потребителей максимально (отсюда сам термин).? В случае двух производителей, имеющих возрастающие предельные издержки, получаем модель, последовательность ходов в которой можно описать следующим образом:

Участники одновременно выбирают цены, р1 и р2.

Если один из участников, например первый, назначает более низкую цену (р1 < р2), то этот участник выбирает объем производства, у1. Другой участник тогда сталкивается с остаточным спросом, соответствующим имеющейся схеме рационирования. Учитывая этот остаточный спрос, он выбирает объем производства у2. Если же выбранные цены совпадают (р1 = р2 = р), то участники одновременно выбирают объемы производства, у1 и у2. При этом если суммарный объем производства оказался превышающим спрос при данной цене (у1 + у2> D(p)), то спрос распределяется поровну между участниками.

Схема игры представлена на Рис. 69. Это не полное дерево игры, а только условное описание последовательности ходов.

Стратегией каждого участника является описание его действий в зависимости от предыстории игры. В данном случае стра-тегией j-ro участника является набор

[Рр >' (/'• P-j)i yj(Pp I' >• У1(Рр Р-р y-j))>

где первая компонента — выбранная цена, а остальные представляют собой функции (не обязательно оптимального) отклика на предшествующие действия свои и партнера. Здесь yj обозначает количество, которое выбирает первая фирма, если ее цена оказывается ниже цены конкурента, yj — если ниже, У, — в случае совпадения цен.

Как обычно, в качестве концепции решения мы рассмотри- ваем совершенное в подыграх равновесие, то есть такую пару стратегий, которая порождает равновесие Нэша в каждой подыгре. Выигрыш участника определяется некоторой функцией П-, которая зависит от четырех аргументов — цен и объемов, выбранных участниками в ходе игры. Мы не будем приводить функцию П,-(р1; р2, уъ у2) в явном виде; ее несложно построить по описанию модели.

С целью упрощения анализа модели ее удобно редуцировать, заменив У] (•) и У^(-) на соответствующие функции опти

мального отклика, которые можно обозначить через Л/( ), /?/(•) и Rj(-). Эти функции показывают объем производства, который производителю выгодно выбрать при данной предыстории игры.

Редуцированная модель будет статической игрой, в которой участники выбирают только цены рх и р2. Сравнение с равновесием Бертрана

Рассмотрим вектор цен и выпусков (р, р, уъ у2), такой что предельные издержки у обоих олигополистов равны цене:

с\Ш=Р и с'2(у2)=р, а суммарное производство полностью удовлетворяет спрос при этих ценах:

D(p) = yi + y2-

Этот исход естественно считать аналогом равновесия Бертрана.

Мы хотим показать, что набор стратегий (р, р) не может соответствовать равновесию в редуцированной модели. Причина этого заключается в том, что каждый производитель заинтересован увеличить цену, уменьшив объем продаж. Сокращение прибыли от уменьшения объема продаж в первом приближении перекрывается эффектом увеличения цены.

Графическая иллюстрация этих рассуждений приведена на Рис. 70. Прибыль второй фирмы равна площади между кривой ее предельных издержек и ценой (плюс постоянные издержки с2(0)). Если вторая фирма немного повысит свою цену с р до р2, то ее прибыль, с одной стороны, вырастет за счет этого на величину прямоугольника

А, а, с другой стороны, упадет за счет сокращения объема продаж на величину треугольника В. При малом изменении цены первый эффект превышает второй, что и видно из графика.

Теперь докажем более формально, что стратегии (р, р, у1:у2) не может соответствовать состоянию равновесия при ценовой конкуренции. Пусть второй производитель ожидает, что первый производитель назначил цену р. Нам достаточно показать, что в этом случае второму выгодно назначить цену р2 выше р.? Обозначим тот объем производства, который второй олигопо- лист выберет в том случае, если будут назначены цены (р, р2), где р2^р, через Ё2(р2), т.е.

R2(p2) = Ri(p, p2, Ri(p, p2)) при p2 >p

и

R2(p) = R2(p, P),

где Rj(-), Ri(-) и Rj(-) — введенные выше функции оптимального отклика. Мы не будем полностью анализировать, какой вид имеют функции отклика (читатель может проделать такой анализ самостоятельно). Нам потребуется только несколько фактов относительно этих функций. При данной цене pjt если нет ограничений на сбыт продукции, j-шу производителю выгодно вы-брать такой объем производства ур чтобы предельные издержки были равны цене:

Отсюда следует, что Ri(p р2)) = у1 и R2 (р р) = R2(p) = у2.

Если первый производитель продает у1 по цене р, то при р2>р второму производителю не удается продать столько, сколько он бы хотел, поэтому ему выгодно выбрать выпуск в точности на

уровне остаточного спроса. (Докажите это.) Таким образом, при

р2>р

R2(p2) = R2{p p2, ух) = D2{p2, уъ р). Если выполнено естественное предположение о функции остаточного спроса:

D2(P yi,p) = D(p)-yi, то Щр, уър) = У2 = ЩР)-

Таким образом, при всех р2^р выполнено

R2(p2) = D2(p2, уър). Если предполагать, что исходная функция остаточного спроса, D2(-), дифференцируема по р2 (по крайней мере, при р2^р), то R2(p2) также дифференцируема.

При у2 = R2(p2) прибыль второго производителя будет равна П2(p2)=R2(p2)p2-c2(R2(p2)), р2^р. Для доказательства утверждения достаточно показать, что производная прибыли в точке р2= р положительна. Действительно, при р2^р

П 2(p2) = R2(p2) + [p2-c2(R2(p2))]-R2(p2). При р2 = р, учитывая, что R2(p) =у2, получим

П2(р) =2/2+ [р~ c'2{y2)]-R2{p). Поскольку по определению р = с2(у2), то

/

П2(р) = 2/г-

/

Таким образом, при у2> 0 выполнено П2(р) >0.

Мы не задаемся здесь достаточно сложным вопросом об условиях существования равновесия. Однако ясно, что если в цено-вой конкуренции и существует равновесие, то продажи не осуществляются по ценам, равным предельным издержкам. Таким образом, анализ показывает, что как только мы изменяем предположение об одинаковости и постоянстве предельных издержек, то получаем, что вывод модели Бертрана неверен.

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков. 1999

Еще по теме Модель Бертрана при возрастающих предельных издержках:

  1. Модель Бертрана при возрастающих предельных издержках
  2. 14.4.2 Модель Бертрана при возрастающих предельных издержках
  3. 18.2. Способы корректировки фиаско рынка
  4. Заключение
  5. Краткий словарь экономических терминов