<<
>>

Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся взаимодействия)

Наиболее простой динамический вариант модели Бертрана — две фирмы с постоянными и одинаковыми предельными издержками с, участвующие в ценовой конкуренции в течение (бесконечного) числа периодов времени.

Каждая фирма максимизирует приведенную прибыль,

н

м

где П,-4 — прибыль фирмы г в период t, а 5 - дисконтирующий множитель.

В этой динамической игре Бертрана стратегия фирмы j определяет цену pjt, которую взимает фирма в период t как функцию от всей «предыстории» ценовой конкуренции HT_X = {Р1Х. />>-['-

Общий интерес представляют стратегии следующего вида

г м — —м • 1 ^ ^ > 1

\р , если ра = р для всех г, х, I

Pi*= 1

[с в противном случае где р"' — монопольная цена. Согласно этой стратегии каждая фирма в период 1 назначает монопольную цену за свою продукцию. Затем, в каждый последующий период она назначает цену рм, если во все предыдущие периоды обе фирмы назначали цену

м

р , и цену, равную ее предельным издержкам, в противном случае. Заметим, что если обе фирмы, используют указанные стратегии, то в результате они взимают в каждый период монопольно

м

высокие цены р .? Можно рассматривать назначение монопольной цены как неявное соглашение между олигополистами. В этих терминах каждая из фирм придерживается соглашения, если в предшествую-щие периоды обе фирмы не нарушали его, и нарушает соглашение, если другая фирма (или она сама) в прошлом нарушила соглашение.

При некоторых предположениях о дисконтирующих множителях указанные стратегии составляют равновесие. Заметим, что этот результат верен только для бесконечной игры. В бесконечной игре единственным равновесием будет такой набор стратегий, согласно которому каждая фирма в каждом из периодов назначает цену на уровне предельных издержек. Таким образом, в конечной игре описанный Бертраном исход реализуется в каждом из периодов. Действительно, используя обратную индукцию, рассмотрим последний период.

Поскольку выигрыши в нем не зависят от действий игроков в предыдущие периоды, то фактически соответствующая игра представляет собой обычную модель Бертрана. Продолжая эти рассуждения, мы получим равновесие Бертрана в каждом из периодов.

| Теорема 37.

j Пусть функция спроса является непрерывной и строго ! убывает Указанные выше стратегии составляют совер- j шенное в подыграх равновесие рассматриваемой дина- ! мической модели Бертрана тогда и только тогда, когда

| 5 > 1/2.

Доказательство.

Докажем прежде всего, что указанные стратегии составляют равновесие Нэша. Для этого нужно доказать, что ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своей стратегии, если другой игрок придерживается своей стратегии.

Если оба игрока будут придерживаться своих равновесных стратегий, то прибыль каждого из них за один период составит

W=\{PM-c)D{p')

Совокупная прибыль за все периоды будет в этом случае рав-? Предположим, что один из игроков в первом периоде назначил цену отличную от монопольной:

м

р< р .

(Если игрок в первом периоде назначит цену выше монопольной, то его общая прибыль будет равна нулю, поэтому ему не выгодно назначать такую цену.)

Этот игрок в первом периоде получит весь спрос целиком и его прибыль составит

(p-c)D(p).

Во все последующие периоды его прибыль будет нулевая, поскольку другой игрок, придерживаясь своей стратегии, будет наказывать его за отклонение от соглашения: будет держать цену на уровне предельных издержек. Отклонение от стратегии в первом периоде будет выгодным, если

1 пм

(p-c)D(p)>±f^.

При непрерывной кривой спроса игрок может сделать прибыль (р - c)D(p) сколь угодно близкой к монопольной прибыли ПМ = (рм - c)D(p"'). Таким образом, чтобы рассматриваемый набор стратегий мог быть равновесным, требуется чтобы

i4-1

¦21-5

или

5 1

5 >2-

Мы доказали, что в первом периоде при 5 > 1/2 игроку нет смысла отклоняться от своей стратегии.

Выгодно ли ему делать это в последующие периоды? Нет, по-скольку ситуация будет той же — прибыли останутся теми же с точностью до возрастающего линейного преобразования (считая дисконтирование и прибыль в периоды до нарушения соглаше-ния).

Таким образом, доказано, что рассматриваемый набор стратегий является равновесием Нэша.

Нам осталось доказать, что он будет равновесием Нэша в каждой подыгре. Для этого достаточно понять, что с точностью до возрастающего линейного преобразования выигрышей каждая подыгра повторяет исходную игру.

Таким образом, доказано, что в рассмотренной бесконечной повторяющейся игре существует Парето-оптимальное (с точки зрения олигополистов) равновесие. Фактически же это равновесие не будет единственным. Можно придумать бесконечно много различных пар стратегий, составляющих совершенное в подыграх равновесие, и среди этих равновесий есть не Парето- оптимальные.

Задачи

Найдите равновесие в модели Бертрана в случае неодинаковых (но постоянных) предельных издержек.

Сформулируйте и докажите существование равновесия в модели с дифференцированными продуктами. (Предположите, что для каждого из олигополистов вне зависимости от цен остальных олигополистов существует цена выше которой спрос равен нулю. Остальные условия сходны с условиями использованными при доказательстве существования в модели Курно. Воспользуйтесь теоремой Нэша.)

На рынке действуют две одинаковые фирмы. Спрос на продукцию j-й фирмы зависит от собственной цены р- и цены конкурента р ¦:

у3 = а2 - ар3 + (а- 1)р^ (а>1).

Предельные издержки равны 1. Рассчитать равновесие при ценовой конкуренции фирм. Сравнить с картелем.

Пусть есть две фирмы, выпускающих два разных, но связанных в потреблении товара, выбирают цены р1 > 0, р2 > 0 которые влияют на объемы их спроса. Функции спроса заданы уравнениями:

ViiPuPi) = 6-2р!+р2,

г/2(Рьй) = 1°-Зр2 + р1.

Найти равновесные цены, если издержки у обеих фирм нулевые.

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков. 1999

Еще по теме Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся взаимодействия):

  1. Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся взаимодействия)
  2. 14.4.3 Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся взаимодействия)
  3. Введение