<<
>>

3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений

Функция полезности вида u(x1,...,xi) = s(x1 ,...,Жц)+ x называется квазилинейной.

Очевидно, что две разные квазилинейные функций полезности, соответствующие одним и тем же предпочтениям, должны совпадать с точностью до константы.

Таким образом, в данном случае уникальность нормировки определяется самим видом функции. Дополнительно, для нахождения константы, можно потребовать, чтобы выполнялось s(0) = 0.

Выведем сначала характеристики функции спроса. Предположим, что s(-) — строго вогнутая дифференцируемая функция, и выбор потребителя при некоторых ценах и доходе содержит все продукты в положительном количестве, т. е. x(p, R) > 0. Тогда по теореме Куна — Таккера при некотором положительном Л, верны соотношения JXL = Лр (i = l) и рЛ = 1. Будем предполагать без потери общности, что р = 1. Тогда Л = 1, и JXl(x1,..., жг_1) = Pi, i = l. Из этих уравнений следует, что спрос на все блага, кроме последнего, не зависит от дохода:

Xi = Xi(p1,... ,р_1) = Xi(p_i), i = l.

Кроме того, можно заметить, что эти уравнения, фактически, задают обратные функции спроса вида pi(x—) для всех благ, кроме l-го /если функция спроса обратима??/.

Эти рассуждения приводят к следующим дифференциальным уравнениям:

ds

т—= Pi(x1,... ,x_1), i = 1,...,l — 1.

dxi

Решая их, восстановим функцию s(-).

3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 118

Пример 25:

Пусть l = 3 и спрос на первые два блага задается следующими функциями:

Х1(Р1 ,Р2) = г1—, Х2(Р1,Р2) = 1

Р1Р2 yW2

Соответствующие обратные функции спроса имеют вид

p1(x1,x2) = x-3/4x2/4, p2(x1,x2) = x1/4x-3/4. Решив дифференциальные уравнения (их можно решать по аналогии с Примером ?? ниже.)

ds -3/4 1/4 ds 1/4 -3/4

9X1 =X1 Х2 , dx2 =X1 Х2 ,

получим

s(x1,x2) = 4x1/4x1/4 + const.

Чтобы выполнялось s(0, 0) = 0, константа должна быть равна нулю. Окончательно получаем следующую квазилинейную функцию полезности:

и(жьж2, ж3) = 4x1/4x1/4 + ж3. Д

Особенно простой задача восстановления предпочтений оказывается, если известно (дополнительно к квазилинейности), что функция полезности сепарабельна, т.

е.

1-1

и(ж1,... ,жг) = Y s*(x*) + жг. *=1

Условия первого порядка для задачи потребителя в предположении, что потребитель при рассматриваемых ценах и доходах предъявляет спрос на все блага (x(p, R) > 0), а цена последнего блага равна единице, имеют вид

s*(x*(p)) = p*.

Эти уравнения, фактически, задают обратную функцию спроса вида р*(ж*). При этом спрос на каждое благо зависит только от его цены, т. е. ж*^) = ж*(р*). Проинтегрировав уравнения s* = Р*(ж*), получим следующие выражения для функций s*(-):

Г Xi

S*^*) = / P*(t)dt + S*(0). ¦J0

Интеграл в этом соотношении является так называемым потребительским излишком, поэтому

S*^*) = С5*(ж*) + S*(0)

и

1-1

и(ж1,..., жг) = ) + ж^ + const.

*=1

Таким образом, если предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности, то по спросу (предварительно обратив его) можно восстановить непосредственно функцию полезности.? Другой подход к восстановлению квазилинейной функции полезности состоит в восстановлении соответствующей непрямой функции полезности. При таком подходе тождество Роя

- ^ / ^ Xi(p,R)

рассматривается как система дифференциальных уравнений.

Учитывая вид функции спроса, получаем, что непрямая функция полезности имеет вид

1-1

v(p-, 1, R) = s(xi(p_fc),..., x_i(p_i)) + R -J2PiXi(p-).

i=1

При этом = 1, и ^dp'^ не зависит от R. Поэтому, интегрируя l — 1 уравнение тож

дества Роя по p1, ..., pi_1 соответственно, мы можем получить (с точностью до константы интегрирования) искомую функцию v(-, ¦). Соответствующие интегралы будут равны изменению потребительского излишка как функции цен.

Если предпочтения квазилинейные и сепарабельные, то непрямая функция полезности имеет вид

1-1 1_1

v(p,R) — Е Si(xi(pi)) + R — PiXi(Pi).

i=1 i=1

Из тождества Роя получаем соотношение:

x ,(„ л — dv(p,R) = dVi (p л Xi(Pi) = — dpi = — dpi(pi)

где Vi(pi) — Si(xi(pi)) — pixi(pi), и, следовательно,

гdv- Г

hi dpi Jpi

откуда

r

vi(pi) — lim vi(pi) — / xi(t)dt,

jpi

или

г

vi(pi) — + const.

pi

Интеграл в последнем соотношении есть по определению потребительский излишек как функция цены:

г

CSi(pi) — Xi(t)dt.

pi

Отсюда

1_1 1_1 v(p, R) — ^ Vi (pi) + R — ^ CSi(pi) + R + const.

i=1 i=1

Знание непрямой функции полезности и системы функций спроса позволяет нам сопоставить каждому потребительскому набору, который может быть выбран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R, значение полезности по следующему правилу: u(x(p, R)) — v(p, R). Однако данное правило задает полезность не всех наборов, а только для наборов из области значений функции спроса. Эту проблему мы еще обсудим ниже в случае функции полезности общего вида.

<< | >>
Источник: Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень. 2005

Еще по теме 3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений:

  1. 2.4. Компенсационное и эквивалентное изменения дохода и излишки потребителя
  2. Квазилинейная экономика и частное равновесие
  3. 1. Характеристика Парето- оптимальных состояний в квазилинейных экономиках
  4. 5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя
  5. Введение
  6. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  7. 3.1.4 Задачи
  8. 3.3.2 Оценка изменения благосостояния.
  9. 3.3.3 Задачи
  10. Приложение 3.C Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений