<<
>>

1.1.Теоремы существования общего равновесия

В этом параграфе мы проиллюстрируем ряд стандартных способов доказательства существования равновесия в двух типах экономик: экономиках обмена и экономиках Эрроу-Дебре.

Рассмотрим вначале экономику обмена.

Пусть имеются I благ и п потребителей, каждый из которых характеризуется отношением предпочтения н на множестве Xi (в дальнейшем всюду предполагается, что отношение предпочтения является полным, транзитивным и непрерывным, так что, в соответствие с теоремой Дебре, существует представляющая данное отношение предпочтения непрерывная функция полезности ui(xi), которая зависит от потребления этого участника), а также собственностью (начальными запасами) од. Пусть, как и прежде, р — вектор цен на товары. Предполагается, как и ранее, что потребитель максимизирует свою полезность на бюджетном множестве, которое определяется его собственностью од. Таким образом, задачу отдельного потребителя можно записать в виде:

Ui(xi) ^ max*,.

pxi< род

Xi е Xi.

Общее ограничение для экономики состоит в том, что выполнены материальные (полу-) балансы, т.е. суммарное потребление не может превышать начальных запасов благ:

Ек ^ к

Xi

Определение 1.

Под ЭКОНОМИКОЙ обмена мы будем понимать следующее множество

? = {(Х{, и{(.)){е1; (од)1е/}.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Введем теперь определение равновесия для экономики обмена. Определение 2.

Под (общим) равновесием в экономике обмена мы будем набор {р {Xi

5ie Л, такой, что:

Цены благ неотрицательны: р е

Каждый вектор Xi является решением задачи потребителя при ценах р, т.е.

xie argmaxx, е вг{р, MDU'CXX

где Bi(p, ю) = {Xi^Xi \ pxi^p ю}.

3. Выполнены полубалансы по благам, т.е. У к выполнено

—к к LXi < .Ю.

В дальнейшем для упрощения вместо {X;}ie j будем писать x.

Модель Эрроу-Дебре.

Модель Эрроу-Дебре является развитием модели обмена и включает в себя помимо потребителей, производственный сектор.

Рассмотрим, таким образом, экономику с I благами (товарами), и двумя типами экономических агентов: потребителями и производителями.

Пусть в экономике п потребителей и т производителей. Пусть множества J, I, К — множества индексов товаров, потребителей и производителей соответственно.

Для каждого предприятия j задается производственное множество Y — множество векторов чистого выпуска, к-я компонента вектора у7е Yj показывает, сколько к-го блага выпускается (или затрачивается) у-м производителем.

Особенностью модели является то, что в ней специфицированы права собственности потребителей на владение фирмами, производящими продукцию. Таким образом, в модели предполагается, что все предприятия кому-то принадлежат, то есть каждый участник i владеет долей yij j-го предприятия, причем LieI уц = 1, у

Условия материальной сбалансированности в экономике с производством принимают вид:

Lxki < Lу] + .юк

i j i

Наличие производственного сектора влияет и на постановку задачи потребителя, в частности, доход потребителя складывается из того, что он может выручить от продажи начальных запасов и из его дохода от участия в прибыли. Поэтому бюджетное ограничение потребителя имеет вид:

p Xi < p Ю + LJej Уу py .

Определение 3.

Под ЭКОНОМИКОЙ Эрроу-Дебре мы будем понимать следующее множество

?ad = {(х MiOW; (YW; (whi, jej }.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Введем теперь определение равновесия для экономики Эрроу-Дебре.

Определение 4.

Под равновесием в экономике Эрроу-Дебре мы будем понимать набор {p, X, j}= {p; (*i)/ej; (ydjef;}, такой что:

1. Цены благ неотрицательны: p e

Каждый вектор x i является решением задачи потребителя при ценах р, т.е.

X ie argmax*, e Bipj Щ) ui(xi),

где Bi(р, од , jy) = {x,-e^i | рxt < р од+ Е^ УурУ]}.

Каждый вектор у j является решением задачи производителя при ценах р, т.е.

X е argmax У]е Y рУь

4. Выполнены балансы по благам, т.е. У к выполнено

Ех" < Еу] + Еод.

Одним из наиболее важных вопросов, изучаемых при рассмотрении моделей общего равновесия, является вопрос существования равновесного распределения (более точно, равновесных распределений).

Способы доказательства существования равновесия основаны на демонстрации того факта, что некоторое, подходящим образом построенное, отображение имеет неподвижную точку, соответствующую состоянию равновесия, что, в свою очередь, опирается на варианты теоремы Брау- эра о существовании неподвижной точки непрерывного отображения некоторого компактного множества (обычно, множества цен) в себя, или на ее непосредственное обобщение — теорему Какутани о неподвижной точке точечно- множественного выпуклозначного отображения компактного множества в себя.

В наиболее простой версии доказательства построение такого отображения опирается на функцию (отображение) избыточного спроса, то есть превышение спроса над предложением. (Формальное определение избыточного спроса для различных типов экономик приводится ниже.) Доказательство существования равновесия про-водится в два этапа. Сначала доказывается, что определенные свойства функции избыточного спроса гарантируют существование равновесия. Далее, для экономик различных типов указываются условия (свойства предпочтений и т.д.), которые гарантируют выполнение данных свойств избыточного спроса.

Для модели обмена функция избыточного спроса строится следующим образом. Пусть при ценах р функция спроса (или в общем случае отображение спроса) г-го участника есть x^). Тогда значение функции избыточного спроса при этих ценах показывает излишек спроса каждого товара при ценах р по сравнению с первоначальной собственностью участника. Функция избыточного спроса экономики есть сумма функций избыточного спроса для всех потребителей.

Определение 5.

Функцией (отображением) избыточного спроса в модели обмена называется функция (отображение)

Е(р)=Е (xm - од).

Аналогичным образом определяется избыточный спрос в модели Эрроу-Дебре. Кроме начальных запасов и спроса следует учитывать также предложение благ

Ш)'

Определение 6.

Функцией (отображением) избыточного спроса в модели Эрроу-

Дебре называется функция (отображение)

E(p) = L(Xi(p) - ю) - Lzj(p).

i j

'///////////////////////////////////////////////////////////////////////У/

В ситуации, когда избыточный спрос определяется однозначно определение равновесия можно переформулировать в терминах функции избыточного спроса, поскольку, как нетрудно понять, равновесие существует тогда и только тогда, когда существует вектор цен p, такой что E(p) < 0.

Покажем это для случая экономики обмена.

Действительно, пусть E(p) < 0. Тогда, то пара {p, X(p)} по определению является

равновесием. С другой стороны, если {p, jc} — равновесие, то E(p) = .(х, - ю) < 0

i

(полубаланс по благам).

Определение 7. Законом Вальраса в теории общего равновесия называют следующее равенство:

pLxk = pL&k для экономики обмена,

и

ii

pLxi = pLу] + pLdk для экономики Эрроу-Дебре.

i j i

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Напомним, что в теории потребителя мы называли законом Вальраса соотношение pXi(p) = Ri. Более правильно называть законом Вальраса равенство для экономики в целом.

В экономике обмена Ri = pot, в экономике Эрроу-Дебре Ri =p®t+ Ljej yijpyj (при LIEI Yij = 1, Yi/'^0), поэтому закон Вальраса в терминах избыточного спроса можно переформулировать как

pE(p) = 0.

Заметим, что в соответствии с законом Вальраса равновесные цены благ должны быть равны нулю, если равновесное предложение этих благ превышает спрос на них:

если Ек(р) < 0, то рк = 0. (Под Ek(p) понимаем избыточный спрос на к-ое благо.)

С другой стороны, на рынках благ с положительными ценами избыточный спрос должен быть равен нулю: если pk > 0, то Е(р ) = 0.

Следующее утверждение указывает свойства функции избыточного спроса, которые гарантируют существование равновесия.

Поскольку функции спроса однородны нулевой степени, то функции избыточного спроса также однородны нулевой степени. Поэтому если р — равновесный вектор цен, то Хр (Х>0) — также равновесный вектор цен и наоборот. Т.е. равновесный вектор цен определяется с точностью до "нормировки" цен.

Будем рассматривать, поэтому, следующее множество цен S 1 = {р ^ 0 | Ер =1}. При этом каждому вектору цен р из М! (за исключением нулевого вектора) можно сопоставит вектор Хр (при Х>0) из S 1. Этот способ нормировки цен удобен тем, что множество S 1 компактно (что, как мы увидим ниже, позволяет непосредственно использовать теорему Брауэра).

Утверждение 1.

Предположим, что система функций {Ек(р)}, к = 1, ..., I является непрерывной на множестве цен рем!, положительно однородна нулевой степени и удовлетворяет закону Вальраса рЕ(р) = 0.

Тогда существует вектор цен ре М! такой, что Ек(р) < 0, к = 1, ..., I.

Доказательство:

Определим на множестве S 1 следующую систему функций: k( ) = рк + max(0, Ек(р)) g (р) 1 + Ei max(0, Еi(p)), (Правило «пересчета» структуры цен

р ^ g^X

имитирует возможную реакцию органа, ответственного за ценообразование, на неравновесия на рынках благ. В соответствии с ним цена дефицитного блага увеличивается на величину, пропорциональную дефициту. Коэффициент пропорциональности выбирается так, чтобы новый вектор цен был элементом множества S 1.)

Функция g(.) удовлетворяет всем условиям теоремы Брауэра (она отображает S 1 в себя по построению и является непрерывным, так как построено путем операций, сохраняющих непрерывность). Поэтому существует вектор цен р, являющийся не-подвижной точкой функции g(.):

pk = р + max(0, Ек(р))

Р 1 + Ei max(0, Е(р)У

Преобразуя это выражение, получим

рк Ei max(0, Е(р)) = max(0, Ек(р)).

Умножив эти тождества на Ек(р) и сложив, получим

(Ei max(0, Е'(р))) Екрк Ек(р)= Ек Ек(р) max(0, Ек(р)).

В соответствии с законом Вальраса второй сомножитель левой части соотношения равен 0, поэтому

0 = Ек Ек(р) max(0, Ек(р)).

Величина Ек(р) max(0, Ек(р)) равна либо 0, либо (Ек(р))2. Поскольку каждое из слагаемых неотрицательно, то сумма может быть равна нулю, только если каждое

слагаемое равно нулю. Отсюда следует, что Ек(р) < 0.

¦

Рассмотрим теперь, какие условия на предпочтения гарантируют нам выполнение предположений вышеприведенного утверждения. Непрерывность предпочтений гарантирует существование решений задач потребителя, по крайней мере, на множестве строго положительных цен (р еМ!+). Локальная ненасыщаемость предпочтений гарантирует выполнение закона Вальраса (рЕ(р) = 0). Строгая выпуклость предпочтений обеспечивает единственность решения задачи потребителя, а строгая выпуклость технологических множеств дает единственность решения задачи производителя.

Непрерывность и строгая выпуклость предпочтений в случае экономики обмена гарантирует непрерывность функции совокупного спроса на множестве цен и позволяет говорить о том, что система функций {Е (р)} для этой экономики является непрерывной на множестве цен р е М!+ при од > 0.

Правда, указанными свойствами функции совокупного спроса и, следовательно, функции избыточного спроса обладают только на множестве положительных цен, тогда как в доказательстве утверждения требуется выполнение аналогичных свойств на множестве всех неотрицательных цен. Описанный ниже прием позволяет в ряде случаев обойти это затруднение.

Модифицируем задачу потребителя, введя дополнительно к бюджетному ограничению количественное ограничение (квоту на потребление) по каждому продукту следующего типа: кк

Xi < + ? г = 1, ..., т, к =1, ..., I.

к к

где = Еод — суммарные запасы благ в экономике, ? — произвольная положи-- i

тельная константа.

Модифицированное таким образом бюджетное множество каждого потребителя оказывается компактным при любом векторе цен ре М! и поэтому в случае непрерывных предпочтений всегда существует наиболее предпочитаемый потребительский набор. В случае, когда предпочтения строго выпуклы, этот набор единственный, и таким образом, оказываются определенными модифицированные функции *

спроса xi (р) и, следовательно, модифицированная функция избыточного спроса

* *

Е (.). В случае, когда функция Е (.) оказывается непрерывной, Утверждение 1 гарантирует существование вектора цен р , при котором выполняется соотношение Е (р) < 0. *

Выполнение соотношения Е (р) = Е(р) тогда гарантирует существование равновесия в исходной модели.

*

Непрерывность функции Е (.) на ре М! можно гарантировать, например, в случае, когда предпочтения участников непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы участников строго положительны (од->0). Показать это можно способом,

аналогичным доказательству непрерывности функции спроса на множестве цен

peM.l+ (см. главу, посвященную задаче потребителя).

*

Покажем теперь, что при E (p) < 0 определен избыточный спрос исходной задачи E(p), и выполнено E (p) = E(p), т.е. равновесные цены в модифицированной

модели оказываются равновесными в исходной.

*

Пусть E (p) < 0. Тогда {p, x (p)} — равновесие в модифицированной модели. Поскольку

к* k ^—^ к'* к к

x (p) < ЮЕ - Lx (p) < Ю^ < + е,

к Ф к

*

то дополнительно введенные нами ограничения несущественны, т.е. {p, x (p)} —

*

равновесие в исходной модели, и E (p) = E(p). (Аналогичным образом можно пока*

зать, что если E(p) < 0, то E (p) = E(p)).

На основе этих рассуждений получаем следующую теорему существования равновесия в модели обмена.

Утверждение 2.

Если в экономике обмена предпочтения участников локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы всех участников положительны (од>0), то равновесие существует.

На основе приведенной теоремы существования равновесия можно получать условия существования равновесия и в ситуациях экономики с производством, если функция предложения также является непрерывной. Так, гарантировать непрерывность функций предложения в модели Эрроу-Дербе можно лишь при некоторых условиях на технологические множества или представляющие их производственные функции. Наиболее простой и часто рассматриваемый в экономической теории тип производственной функций, гарантирующий непрерывность функции предложения, — неоклассическая производственная функция. Характерным примером этого типа функций является функция Кобба-Дугласа, зависящая только от "первичных" факторов производства, предложение которых ограничено.

Заметим, что мы, вообще говоря, не можем использовать прием, состоящий во введении количественных ограничений, в ситуации, когда начальные запасы хотя бы одного из участников не содержат хотя бы одного блага. Как показывает приведенный ниже пример, в этом случае функция избыточного спроса может не быть непрерывной на границе множества цен.

Пример 1 (контрпример к теореме в случае нулевых начальных запасов одного из благ)

Пусть в экономике обмена есть только два блага (/=2), функции полезности участников Vi имеют вид

Mi(x!, x2) = л/Х + ЛД

а начальные запасы равны од- = (0, 1). Очевидно, что предпочтения рассматриваемых участников локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы.

12

Задача потребителя состоит в том, чтобы максимизировать ui(xi, Xi) при следующих ограничениях:

1 1 2 2 2 р Xi + р Xi < р .

х , х ^ 0.

1

12 2 12 р

Прир , р ^0 спрос участника на второе благо равен xi (р , р ) = 1 2. Таким обра-

р +р

2 1 2 2 2

зом, Xi (р , р ) ^ 1 при р ^ 0. Но если р = 0, то полезность можно сделать неогра-

2

ниченно большой, увеличивая Xi (спрос на второе благо бесконечен). Таким обра-

2

зом, спрос на 2-е благо не является непрерывным при р = 0. Покажем, что в этой

экономике равновесие не существует.

1 2 1 1 2 (р2)2

При р , р ^0 спрос участника на первое благо равен Xi (р , р ) = i 1 2 , т.е. пор (р+р )

ложителен. Значит, при положительных ценах равновесия быть не может, так как в экономике первое благо отсутствует. Если же цена на одно из благ равна 0, то соответствующий спрос бесконечен, и равновесия при этих ценах тоже нет.

Заметим, что модифицированная функция избыточного спроса не является не-

„ т-т 1 2 _ „ 2,1

прерывной. При р , р Ф0 спрос участника такой же, как в исходной модели, и Xi (р , 2 2 2 р ) ^ 1 прир ^ 0. Но прир = 0, спрос на второе благо равен 1 + ?. Таким образом,

спрос на 2-е благо не является непрерывным при р2 = 0, и приведенное доказательство существования "не работает".

Если в приведенном выше примере дать хотя бы одному из участников ненулевой запас первого блага, то, хотя избыточный спрос по прежнему не будет непрерывным, но равновесие существует. (Доказательство этого оставляем читателю в качестве упражнения.) Таким образом, вышеприведенные условия на избыточный спрос являются довольно ограничительными.

Ниже приводится другой вариант теоремы существования с более слабыми условиями на избыточный спрос. Доказательство этого утверждения состоит в указании правила процесса ценообразования (отличного от описанного выше), имитирующего поведение ценообразующего органа, которое порождает отображение множества цен S 1 в себя, удовлетворяющее теореме Какутани (о существовании неподвижной точки выпуклозначного замкнутого отображения компактного множества в себя).

Ek(p) > t Vk, Vp e

• Если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности, т.е. если {pn} e S ! и p"^p° при ппричем существует благо к, такое что pi = 0, то тахк (Ek(p n)) ^ ~ при п^^.

Тогда существует вектор p e %!+, такой что E(p) = 0.

Рассмотрим теперь случай, когда р е . Пусть к — благо, для которого рк >

0. Покажем, что при достаточно больших п выполнено ql = 0. Тем самым мы покажем, что ql = lim ql = 0, и, следовательно, ^°е^(р°).

Если р е

, то по определению отображения g(.) имеем qt = 0. Таким обра-

П r/-1 l - гч

зом, нам осталось доказать в случае р еЬ! , что если р1 > 0, то при достаточно больших п выполнено ql = 0. По закону Вальраса имеем

р EV) = - Е Р1 в1 (Рп)

к Фк

Используя ограниченность снизу функции избыточного спроса, имеем

- ЕЕ р1 Е (рП) < - t Е р1 = - t (1-р1).

кФк кФк

Отсюда

вк(рП) < - ^

рк

Поскольку р1 сходится к положительному пределу, это означает, что значение вЕ (рП) ограничено сверху. С другой стороны, величина тах^{В$(рП)} стремится к бесконечности. Поэтому при достаточно больших п выполнено неравенство Ек(рП) < тахД?>П)}.

Отсюда следует, что при достаточно больших п вектор qеg(pП) должен иметь qk=0. Действительно, согласно определению g(.) для любого вектора q' из ! 1 должно быть выполнено q'Е(рП) < qЕ(pП). Однако, если бы qk>0, то при Ек(рП) < тах^{Е^(рП)} мы могли бы построить на основе вектора q вектор q' для которого q'Е(рП)< qЕ(pП).

Тем самым мы полностью доказали, что отображение g(.) имеет замкнутый график.

Поскольку отображение g(.) имеет замкнутый график, выпуклозначно и отображает непустое компактное выпуклое множество ! 1 в себя, то к нему применима

теорема Какутани, и существует неподвижная точка р е ! 1: р е g(p).

Этап 3.

Покажем, что неподвижная точка отображения g(.) является вектором цен равновесия.

Неподвижная точка р отображения g(.) не может принадлежать границе симплекса цен (! 1\s! 1). Этот факт следует из того, что согласно определению g(р) для ре Is 1\s! 1 при всех q е g(р) должно быть выполнено равенство q ¦ р = 0. Если бы р е g®, где ре

sT V!1

, то мы имели бы р ¦ р = || р || = 0. Этому условию удовлетворяет только точка р = 0, не принадлежащая симплексу цен.

Таким образом, р > 0 и поэтому, как было отмечено при определении отображения, Е(р) = 0. Покажем это формально.

Предположим противное. В силу закона Вальраса, если Е(р) ф 0 и р > 0, то су-ществуют s и s' такие, что Е!1(р) > 0 и Es (р) < 0. Поскольку р е g(p) и р > 0, то по определению g^) для любого qe rf 1 должно быть выполнено рЕ(р) > qЕ(р). Однако, так как Е?(р) > Es (р), то достаточно взять следующий вектор q: qs = ps + ps , qs = 0, qk = pk, кфs, s', чтобы получитьрЕ(р) < qЕ(р). Мы пришли к противоречию.

Тем самым мы доказали существование цен р, при которых избыточный спрос

равен нулю. ¦

Данное доказательство можно проиллюстрировать графически.

На данном рисунке В — неподвижная точка отображения g(.). Данное отображение определено на симплексе АС, и отображает точки отрезка АВ, за исключением точки В, в точку С, точки отрезка ВС, за исключением точки В, — в точку А, а точку В — во весь симплекс (отрезок Ас).

Опираясь на доказанное Утверждение 3, можно показать, что в моделях обмена при непрерывности, строгой выпуклости и строгой монотонности предпочтений потребителей равновесие существует, если совокупные начальные запасы строго

положительны, т.е. ю^>0. Это утверждение очевидно, в силу того, что функция избыточного спроса в модели обмена при данных условиях на предпочтения участников является непрерывной, однородной первой степени и удовлетворяет закону Вальраса на 1. Ограниченность избыточного спроса снизу следует из того факта,

что спрос участников неотрицателен и выполнены балансы (в качестве константы !

к

можно взять ! = - maxkjw^}).

Для того, чтобы полностью продемонстрировать выполнение условий Утвер-ждения 3 для случая непрерывных, строго выпуклых и строго монотонных пред-почтений, осталось показать выполнение последнего условия теоремы: если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности. Покажем это формально.

В силу того, что р°е ! 1 и ю^>0, имеем, что р° од% > 0. Таким образом, существует потребитель i, такой, что р° ОД- > 0. Следующее утверждение показывает, что спрос этого потребителя, по крайней мере, на одно из благ стремиться к бесконеч-

П°

ности по мере того, какр стремиться кр , т.е.

тахк (X/^Р П)) ^ те при п^те,

что и доказывает, что

тахк (Ек(р П)) ^ ~ при п^те.

Утверждение 4.

Пусть {рП} е ^ 1 — последовательность цен, причем рр° при п^те, и существует благо к, такое что р = 0.

Предположим, что:

Потребитель имеет строго монотонные непрерывные предпочтения.

Начальные запасы потребителя од таковы, что р°од > 0.

Тогда

тахк (Xk(р ")) ^ ^ при п^те.

Доказательство:

Предположим противное. Пусть спрос потребителя на все товары, ограничен, т.е. существует некоторое число К, такое, что 0 < х(р) < К. В силу того, что бесконечная последовательность на компакте имеет точки сгущения, найдется некоторая подпоследовательность {р"'}, такая, что:

х(р"') ^ X.

Так как х(р"') — оптимальное решение задачи потребителя, а предпочтения строго монотонны, то при ценахрП выполняется закон Вальраса, т.е.

П' , Пк "'

р х(р ) = р од.

Переходя в этом тождестве к пределу, получим, р°Х = р°од. Пусть р = 0. Тогда в

— к —

силу строгой монотонности предпочтений х + ое У х, где о — некоторое строго положительное число. В силу того, что предпочтения потребителей непрерывны, найдется такое 8>0, что хх У х, где хх = х + оек - Ье\ а s — номер товара, для которого р.° > 0. Очевидно также, что

р хх = р х + орк - ор = р х - ор < р х.

В силу непрерывности отношения предпочтения имеем, что существует N такое, что для каждого I > N хх У х(р"').

Так как р"' ^ р° и х(р"')^ х, то

lirn рп'(х(р"') -хх) = р°(х - хх) > 0.

Из определения предела следует, что найдется число М такое, что для каждого I большего М справедливо, чтор"(х(р") - х) > 0, т.е.

П1 , ПК П, ^

р х(р ) > р х

Таким образом, мы получили, что при I > тах{М, N} набор х строго лучше набора х(р"') и при этом стоит дешевле. Тем самым мы получили противоречие с оптимальностью набора х(р ). Таким образом, не существует К такого, что 0 <х(р) <

К, т.е. max* (х*(р ")) ^ ~ при п ¦

Резюмируя проделанные выше рассуждения, сформулируем утверждение о существовании равновесия в экономике обмена при более слабых, чем ранее, предпо-ложениях.

Утверждение 5.

Если в экономике обмена предпочтения участников локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, а совокупные начальные запасы положительны (Ю? >0), то равновесие существует.

В ситуации, когда предпочтения не являются строго монотонными (и в частности, если соответствующее отображение избыточного спроса Е(р) не является ограниченным снизу), мы можем воспользоваться следующим утверждением, устанавливающим условия существования равновесия в модели Эрроу-Дебре.

Введем сначала следующее вспомогательное понятие.

Определение 8.

Состояние (р, х, Р) = {р; (х i)ieI; (y j)jeJ} экономики Эрроу-Дебре

? = {(Ь (Yj)jtJ; (Ю1-) ie I; (Yij) ie I,je j}

называется КВЭЗИрЭВНОВеСИем, если выполняются следующие условия:

Для каждого потребителя Х« удовлетворяет условиям

х« е Х^

РХ« < Р«(р, j),

х« и не хуже, чем любой другой набор х«е Х«, который стоит (в равновесных ценах р) дешевле, чем в«(р, Р).

pj максимизирует прибыль у'-го производителя при ценах р, т.е. решает следующую задачу:

ру] ^ min

У е Yj.

Выполнены полубалансы:

Ех* < Е р + ЕОД VK.

i j i

Заметим, что когда предпочтения У, локально ненасыщаемы, вектор Х,, удовле-творяющий условию 1 определения квазиравновесия, минимизирует затраты (в равновесных ценах р) на достижение уровня благосостояния, определяемого вектором Xi, т.е. решает следующую задачу р Xi ^ min Xi ^i Xit

а для каждого потребителя выполнено соотношение:

рх i = ZYijpy j + рЫ i V/.

j

(Докажите это.)

Условия существования квазиравновесия оказываются особенно простыми и описываются в приведенном ниже Утверждении 6. С другой стороны состояние квазиравновесия является при некоторых предположениях о предпочтениях со-стоянием равновесия. Поэтому представляется удобным вначале установить условия существования квазиравновесия, а затем использовать их вместе с дополнительными предположениями, для доказательства существования равновесия в конкретных моделях экономики.

Утверждение 6.

Предположим, что:

, = (Z/Y' A ZW) П R+ непусто, замкнуто и ограничено, (т.е. существует N та-

i

кое, что если zе Z, то z < N, к = 1, ..., /).

Предпочтения ) выпуклы, непрерывны и локально ненасыщаемы, Xi — выпуклое замкнутое множество, 0 е Xi, W > 0, i = 1, ..., п.

Yj — выпуклое множество и 0 е Yj, j = 1, ..., т. Тогда в этой экономике существует квазиравновесие.

Доказательство:

Как и в предыдущих доказательствах, мы будем искать квазиравновесие как неподвижную точку некоторого специальным образом сконструированного отобра-

тП

жения из множества 0 = ПX х NY' х ^ 1 в себя. Здесь

i=1 j=1

X = {х,- е М! | Xi < N A е}, Y = {y е Yj | | y| < N A е},

^ = {р > о | Zk pk =1}.

Заметим, что каждое из этих множеств непусто, замкнуто и ограничено, поэтому их произведение 0 тоже непусто, замкнуто и ограничено. Определим отображение g(.): 0 ^ 0 следующим образом:

тП

g(e) = Ng,i(0) х Ng,/e) х gP(Q).

i=1 j=1

Где компоненты отображения g(.) определяются следующим образом: gxi(e) = {х/ е Xi | рх' < в(р, y), Xi') Xi'' V Xi'' е X-: рх/' < в(р, y)},

где

р«<р, y) = max{0, Е У#У/} + РФ, g/(0) = {у' е Yj | ру/ > ру' Vyf е Yj},

gp(0) = е ^ | (р' -р'')(Ех« - ЕУ/ - Ею,) > 0 V р'' е

i j i

Заметим, что такое определение бюджета гарантирует непустоту бюджетного множества {х«' е X |рх' < в«(р,у)} при любых ценахр и производственных планах y.

Пусть 0 = {х,у,р} — неподвижная точка отображения g(.), т.е. Х е g(p).

Докажем, что 0 является квазиравновесием рассматриваемой экономики.

Поскольку каждый производственный план У/ максимизирует прибыль при ценах р и 0 е Y , то ру / > 0 и поэтому в«(р, У) = Ej Yi/р У/ + рю«.

Далее, по определению множества gxI(0) набор х« не хуже любого набора х« е Х«, удовлетворяющего строгому ограничению рх« < в«(р,У), поэтому из локальной ненасыщаемости р х« = в «-(РУ) = Ej ЧьрУ] A рю (см. аналогичные рассуждения в Части 1).

Сложив эти равенства по всем потребителям, получим, что для экономики в целом выполнено соотношение:

рЕх« = рЕ У/ + рЕю-.

i j i

Покажем теперь, что выполняются балансовые соотношения

ЕХ,- - Е У/ - ЕЮ- < 0

i j i

Действительно, если хотя бы одна из компонент данного вектора была положительна, то положительной была бы и стоимость дефицита — величина р (Ех«- - ЕР/ - Ею-) (поскольку цены р, выбраны ценообразующим органом так, чтобы максимизировать эту величину). Но мы только что доказали, что данная величина равна нулю.

Остается показать, что количественные ограничения в условиях, определяющих отображения gxi(.) и gyj(.) несущественны, в то смысле, что решения соответствующих задач потребителя и производителя одни и те же, как при наличии ограничений

х« < N + е, | У/1 < N + е, так и при их отсутствии.

Пусть это не так, и существует, например, такой набор х« е Х«, что рх« < в«(р,У) и х« ^ i х« .

Поскольку выполняются соотношения

ЕХ«- < Е У/ + ЕЮ- < N,

i j i

то дополнительное количественное ограничение в точке х i должно быть выполнено как строгое неравенство:

х* < N + е.

На отрезке, соединяющем X, и X,, найдется набор х/ (достаточно близкий к Xi), такой что рх/ < Р1(Р,У)и х,'< N A е. Поскольку отношение )i выпукло, то х/ )i Xi, а это противоречит тому, что X, еgxi(0).

Похожим образом доказывается, что y' при ценах р максимизирует прибыль на всем множестве Y'.

Таким образом, e действительно является квазиравновесием. Для доказательства теоремы осталось проверить, что построенное отображение множества 0 в себя имеет замкнутый график, что устанавливается рассуждениями,

аналогичными уже проделанным ранее (в Частях 1, 2). ¦

Данное утверждение гарантирует существование равновесия в модели обмена с выпуклыми, локально ненасыщаемыми и непрерывными предпочтениями в случаях, когда начальные запасы каждого участника строго положительны. Если предпочтения участников строго монотонны, то для существования равновесия достаточно положительности суммарных начальных запасов. И, наконец, в ситуации с леонтьевскими предпочтениями, квазиравновесие всегда является равновесием. (Проверку выполнения условий теоремы существования в каждом из этих трех случаев оставляем читателю в качестве упражнения).

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории. 1998

Еще по теме 1.1.Теоремы существования общего равновесия:

  1. 14.2.1. Теоремы благосостояния. «Коробка Эджуорта»
  2. 13.2. Внешние эффекты. Теорема Коуза
  3. Равновесие Нэша в смешанных стратегиях
  4. 2.Аинамические игры с совершенной информацией
  5. Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
  6. 5.3 Существование общего равновесия
  7. 5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу—Дебре
  8. 10.3 Свойства экономики с экстерналиями. Теорема о неэффективности
  9. 11.3 Равновесие с добровольным финансированием общественного блага (равновесие без координации)
  10. 14.1.2 Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
  11. 16.2.5 Равновесие Нэша в смешанных стратегиях
  12. 1.1.Теоремы существования общего равновесия
  13. 1.7. Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях
  14. 2.2.1 Равновесия, предположения и теоремы
  15. 2.3 Общее понятие равновесия с нестандартными ценами
  16. Доказательство утверждения 2.3.2.
  17. 3.1 Модель рынка с нестандартными ценами
  18. 3.4 Конечность числа нестандартных равновесий