<<
>>

1.1.Свойства однородных функций

Напомним, что функция ф (а): К ^ К называется однородной степени а, если для любого положительного числа t выполнено

ф (tA-) = ^ф (У).

Теорема 1. Дифференцируемая функция ф (.) является однородной степени а тогда и только тогда, когда выполняется тождество (формула Эйлера)

Е ^df=аф (у).

Теорема 2.

Если дифференцируемая функция ф (У) однородна степени а, то ее Эф(А)

производная v i однородна степени а - 1.

Теоремы о неподвижной точке

Теоремы отделимости

Теорема 6. (теорема Минковского)

Теорема Юнга

Пусть имеются непустое замкнутое выпуклое множество Сс!° и точка же I" не принадлежащая С. Тогда найдется вектор а е I", а Ф 0, и два различных числа b i, b2

е I, b1 > b2, такие что выполнены неравенства:

"

bi

i= 1

и

Eat yi < b2 Vy е С.

i=i Теорема 7. Пусть имеются два непустых выпуклых множества С1, С2 с I не имеющие об щих точек. Тогда найдется вектор а е I", а Ф 0, и число b е I, такие что выполнены неравенства: и Ещ xi > b Vx е С1.

i=i "

Eat yi < b Vy е Съ

i= 1 Теоремы Куна-Таккера

Пусть имеется задача максимизации с ограничениями ф(х) ^ max

V/*) > 0 j = 1, ..., m (*)

ж е I"

Функцией Лагранжа (лагранжианом) этой задачи называют следующую функцию:

L(x, X) = ф(х) < E, X V,(x), где (j = 1, ..., m) — множители Лагранжа.

Говорят, что задача (*) удовлетворяет условию Слейтера, если существует точка x е I", такая что

V/(x) > 0 j = 1, ..., m.

Пусть функции ф(у) и %(А) (j = 1, ..., т) являются вогнутыми и дифференцируемыми и задача (*) удовлетворяет условию Слейтера. Тогда допустимая точка задачи (*) х является оптимальной тогда и только тогда, существует вектор множителей Лагранжа Хе КГ, такой что выполнены следующие условия Куна-Таккера (условия дополняющей нежесткости):

dL(A, X)

эА-2 ЭА А =

dL(A, X)

ЭА dL(A, X)

эх X = °. 4. Теорема об огибающей

В микроэкономическом анализе широко используется класс утверждений (называемых теоремами об огибающей) следующего типа: Рассмотрим класс задач, зависящих от параметра а. ф(х1, ..., х„, а) ^ max

у/хь ...,х„, а) = °, j = 1, ..., т. (**)

Теорема 10.

Пусть у(а) — решение задачи (**), Х(а) — множители Лагранжа, соответствующие решению, и /(а) = ф(у(а), а).

Предположим, что в точке ао выполнены следующие свойства:

функции ф(.) и вогнуты и дифференцируемы,

решение задачи существует и единственно и функция А(.) дифференцируема, Тогда выполняется соотношение

d/ Эф ^ Эу,-

1а(ао) = Эа (А(ао), ао) < Ъ X/ао) ^а (А(ао), ао).

Теоремы о непрерывности решений задачи оптимизации

Теорема 11.

Пусть А (р) - множество решений задачи м(у)^тахж

Р А < в(р), А е X,

где ре КГ, ХсК, Х-замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0еХ Функция и(.,.) непрерывна и строго квазивогнута на X.

Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = /А, , то функция А (р) непрерывно в окрестности точки р.

Все эти теоремы являются вариантами известного утверждения Бержа:

Теорема 15.

(Многозначное) отображение, которое ставит в соответствие параметру X множество точек, которые являются решениями следующей экстремальной задачи: u(x, X)^maxX x е ДХ)

является полунепрерывным сверху в точке X, если отображение X(X), и функция u(x, X) непрерывны в окрестности этой точки.

Напомним, что непрерывность многозначного отображения является следующим обобщением непрерывности функции: отображение X(X) является полунепрерывным сверху в точке X, для всякого е>0 существует 8>0 такое, что е-окрестность множества X(X) содержит множества X(X) для всех X из 8-окрестности X; отображение X(X) является полунепрерывным снизу в точке X, для всякого е>0 существует 8>0 такое, что для всех X из 8-окрестности X е-окрестность множеств X(X) содержит X(X). Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно сверху и снизу одновременно.

Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерывность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен).

<< | >>
Источник: В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории. 1998

Еще по теме 1.1.Свойства однородных функций:

  1. 5.10. Однородность производственной функции
  2. 2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
  3. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
  4. 4.2 Задача производителя и ее свойства
  5. 4.4.2 Функция издержек
  6. 1.3. Представление предпочтений функцией полезности
  7. 1.6. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений
  8. 1.2. Задача производителя и ее свойства
  9. 1.4. Функция издержек и ее свойства
  10. 1.1.Свойства однородных функций
  11. 5. ФУНКЦИИ ПРАВА