<<
>>

11.4. Примеры модели Эрроу — Дебре и цен равновесия

11.4.1. Пример 11.4.1 приведен и разобран в книге Алипрантис и др. (1995). Пример 11.4.2, а также ряд заданий для самостоятель­ной работы и для контрольных работ представляют собой моди­фикации аналогичного примера в книге Алипрантис и др.
(1995).

Пример 11.4.1. Рассмотрим следующую МЭД:

1) пространство продуктов Е2;

2) два потребителя С*1* и С*2) с характеристиками: потребитель имеет начальный запас = (1; 2) и функцию

полезности w(1)(Xj, х2) = ххх2; потребитель С*2) имеет начальный запас = (2; 2) и функцию полезности w(2)(jср х2) = х2х2;

3) фирма F имеет технологическое множество

r=i(yvy2)\у{ 0 (р1 > 0,р2 > 0) (см. рис. 11.2). Для решения задачи (11.4.1)—(11.4.2) выпишем для функции Лаг-



21
условия первого по-
v

рядка

/

ранжа Цу\> у2, А,) = р1у1 + р2у2 + X -у2 +

Уі-1

Из первых двух уравнений получаем (в этой задаче X — мно­житель Лагранжа А,* 0, что легко доказывается от противного):

1)2,

Pi

откуда вытекает, принимая во внимание неравенства 4PilР\ >0 иу,< 1,что

Полагая yjp2/ Р\ = t, имеем

hip)-1

Vi

В силу строгой выпуклости к точке О границы у2 = —— тех-

0 0 ^ нологического множества Уточка (у{(р),у2(р)) возможного ус­ловного локального максимума является не только точкой ло­кального, но и глобального условного максимума рассматривае­мой задачи (11.4.1)—(11.4.2) на условный экстремум.

Предложение фирмы F— это вектор у(Р) = 1-у)-

Доход потребителя С*1* равен

Локальное рыночное равновесие (х\(р),х2(р)) потребителя С*1* определяется как решение задачи на условный глобальный максимум

и(1)р х2) = х{х2 (шах) (11.4.3)

при бюджетном ограничении

Для решения задачи (11.4.3)—(11.4.4) выпишем для функции Лагранжа Ь(хх, х2, X) = ххх2 + ЦЛ^1* — р]х1 — р^с2) условия первого порядка

^к = х2хХ = 0, ^- = хх2Х = 0, = М{{)ххх2х2 = 0.

охх ах2 дк

Из первых двух уравнений получаем, что рххх = р^с2 (в этой задаче множитель Лагранжа X * 0, что легко доказывается от про­тивного). Из третьего уравнения имеем

О Л/(1) 3 5 2 1 о Л/(,) 5 3 1

XI =----- = —I—#---- /ИХ2=— = - + —.

х 4 4 2 2/>2 4 4/ 2/

В силу строгой выпуклости к точке О линий безразличия функции полезности ихх, х2) = Х{Х2 точка (Х{(р)9Х2(р)) возмож­ного условного локального максимума является точкой не только локального, но и глобального условного максимума рассматрива­емой задачи (11.4.3)—(11.4.4) на условный экстремум.

Таким образом, спрос потребителя С*1* — это вектор

4 4 2 4 4/ 2/

Перейдем ко второму потребителю С*2). Его доход равен М{2) = Р1{2) + ^р-кр) = и свою

функцию полезности «(2)р х2) = этот потребитель максими­зирует при бюджетном ограничении рххх + р^с2 =

МЫ.

Вновь ис­пользуя множитель Лагранжа, получаем, что для набора, макси­мизирующего полезность, выполнено равенство рххх = 2р^т

Следовательно, Л/(2) = рххх + р2х2 = -рххх - Ър2х2.

- 0(2) 2Л/(2) 5 5 2 2,

Отсюда вытекает, что =—--------------- = и

зА з з з

3/»2 6 6г2 3/'

Следовательно, спрос второго потребителя С*2) выглядит так:

0(2). . .5 5,2 2 5 5 1.

Избыточный спрос Р{р) для этой МЭД задается формулой

'35/2-2/-19 35/2 — 2/—19Л

12 ' 12/2

Последнее неравенство означает, что в статическом экономи­ческом равновесии не должно быть дефицита ни по одному из продуктов.

Поскольку в рассматриваемом примере обязательно р > 0, по­стольку (по закону Вальраса) избыточный спрос /*(/>) = 0, а для этого необходимо и достаточно, чтобы 35/2 — 2/ — 19 = 0.

Решая это квадратное уравнение и учитывая, что / > 0, получа-

1+>/б66 ем/ = — «0,766.

35

Так как р2/ = 0,587, р{ + р2 = 1, то цены равновесия суть р = (0,63; 0,37), Р; * 0,63, р2 г 0,37.

Соответствующий луч цен равновесия в плоскости цен изоб­ражен на рис. 11.3.

Статическое экономическое равновесие рассматриваемой МЭД есть набор

0.

было дано в примере 11.4.1: у^\р) = Максимальная прибыль

= ^ Я^С.р)+Д^С/^) = Л (1 - т)+Г1 - -

V 1)

3°. Для фирмы /*2) следует рассмотреть два случая: т > 1 и О < т < 1.

При т > 1 (тогда у]р2/р\ ^ 1» откуда следует, чтор2х) необхо­димо решить задачу на условный экстремум

Р\х\ (таХ)

при условии, ЧТО

Частные производные функции Лагранжа Ь = рхух + р^у2 + + Х(у2 —Х + е?1) приравняем к нулю:

= и* =0, « А+Х = 0, = =0,

Э^ ОК

откуда следует, что

Р\

Полагая в последнем равенстве ^Рг/Рх = будем иметь ®>(/>) = -21 пт,

а также

А2)

т

Таким образом, при т > 1 локальное рыночное равновесие (предложение) фирмы /*2) имеет вид

у{2\р)4- 21пт; и максимальная прибыль фирмы /*2) равна

Рр\р) = -2рх\пх+р2{1-^ \ х

При 0 < х < 1 (тогда 0 < у]р2/р\ < откуда следует, чтор2 < рх) необходимо решить задачу на условный экстремум

при условии, что

Частные производные функции Лагранжа Ь = рхух + р$2 + + Х(у2 — 1п(1 — д^)) приравняем к нулю:

= = $к = р2+\ = О, ^ = =

т.е.

Эух ух ду2 Эл

откуда следует, что

р\

У?ЧР)=1-Х2

$2)0>)=1п(1-Я"(/>))=1пх2 = 21пх.

Таким образом, при 0 < х < 1 локальное рыночное равновесие (предложение) фирмы имеет вид

р\р)=( 1-х2; 21пх) и максимальная прибыль фирмы равна

Рр\р) = рх(\-%2)+2р2\п%. 4°. Локальное рыночное равновесие (спрос)



0(1), ч. 0(1), V

XI (р); х2 (р)

»"ю-

потребителя С^ имеет вид



${'>(») = ЩМ1 = М\ £1\р)= а2М1 =Л/1> (а, +аг)Р\ 2Р\' (а,+а2)/>2 2р2'

где мх = М[Х)+м[2) = + +а,, РЯт+а,2 рР} . При т £ 1 имеем

«рю-^.-^чр')-

_ 17+49х2-18х-81пх 24

_ 17+49т2 -18х-81пх 24т2

При 0 < т < 1 имеем

I / 3 II >

_ 25+41х2 -18т+8х21пх 24

2/»г V 4 X 3

_ 25+41х2-18х+8х21пх 24х2

5°. Локальное рыночное равновесие (спрос)

потребителя имеет вид

/ л

*[7](/»= *12)(/0, зРы

х2х Ърх (а,+а 22 Ър2

где Мх = М[Х) + м\2) = />,г,(2) + р242)21 а22 РЯ{2). При т > 1 имеем

Ър2

2 (. „ 1......................................... 1

4/>, + 2^ +-(/>, (1 - т)+р2(1--))+

3/>1

1 (. 1................................. 1

4р1 + 2р2 + -(р1(1-х)+р2(1—))+ 4 Т

2 . „ 1 Л 43+35т2 -6т-161пт

При 0 < т < 1 имеем

3 А

2 Л 1........................................... 1

4/>,+2р2+7(/>1(1-т)+/)2(1—))+

4 Т

+ 2/>2 +1( А (1 - х)+/>2 (1 - -))+1( А (1 - т2)+2/^ 1п х)] = 4 Т 3 )

Зр2

_ 59+19х2 - 6х+16х21пх 36х2

6°. Выписываем первую и вторую (Р2(р)) координаты

избыточного спроса Г(р). При х > 1 имеем

ч о(1), . о(2) ч 0(1), ч о(2) ч ш (2,

17+49х2-18х-81пх 43+35х2-6х-161пх , ..

=------------------------- +--------------------------- 1+х+21пх-5 =

24 18

-209+287х2 - 6х+561п х

72

ч о ("={у\у = /> + е У

у=у«>+у, /> е у+^>).

Здесь символ д>(1) +

означает сдвиг каждого эле­мента У2> е (у(1) е на вектор д>(1) (на вектор д>(2)). Следова­тельно, алгебраическая сумма № + }*2) множеств I*1* и пред­ставляет собой объединение всех параллельных переносов мно­жества У(1) из множества I*1* (на всевозможные векторы д>(2) из множества 1*2)). На рис. 11.6 линия 1{ изображает эффективную («северо-вос-

точную») границу множества I*1*, которая имеет уравнение

.,0)

(пунктирная) линия /2 изображает эффективную границу множест­ва которая имеет уравнение


линия / изображает эффективную границу множества У*1* + У*2), которая имеет уравнение

У2 = Ь(УХ).

Аналитическое представление к(у{) будет получено ниже для множеств У0* + У0* и У0* +

Далее на рис. 11.6 линия /2 получена из линии /2 путем ее (ли­нии /2) сдвига параллельным переносом на вектор (изобра­женный на рис. 11.6). Прямая К0 — касательная к линиям /р /2 и / в точке О, прямая Кх — касательная к линии /2 в точке }>(1) = (у/1*,

Очевидно, линия / есть огибающая семейства линий Т2, когда векторУ^ пробегает всю эффективную границу 1Х множества У*1*. Сама линия /2 заметает (от слова метла) все множество У*1* + У 1,(9-4^)^0,

поэтому он является посторонним, ибо 0 < у^ < 1. Корень

(11.4.15)

откуда следует, что 0 < ух < 2, т.е. этот корень подходит.

1п

Подставив выражение у^2) в уравнение (11.4.13), будем иметь

-Л- 2

ьёвк^ 2

откуда получаем, что

4

<< | >>
Источник: Черемных Ю.Н.. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учебник. - М.: ИНФРА-М, - 844 с.. 2008

Еще по теме 11.4. Примеры модели Эрроу — Дебре и цен равновесия:

  1. 8.3 Свойства равновесий Эрроу — Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана — Моргенштерна
  2. 4.1. Равновесие в модели 15-1.М при изменяющемся уровне цен
  3. 5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу—Дебре
  4. 10.1. Значение вклада технического прогресса в моделях эндогенного роста. Модель Эрроу-Ромера.
  5. 3.2 Экономики с производством — модель Эрроу—Дебре
  6. 5.2 Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 5.2.1 Субъекты экономики в моделях общего равновесия
  7. 8.1 Модель Эрроу—Дебре экономики с риском
  8. Макроэкономическое равновесие в модели сово­купного спроса и совокупного предложения. Переход от краткосрочного к долгосрочному равновесию
  9. 12.2.1 Модификация классических моделей равновесия: равновесия с неотличимыми благами
  10. 9.5. корректировка цен и достижение всеобщего равновесия