<<
>>

ЗАДАЧА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА

Рассматривается задача оптимизации деятельности репрезен­тативного домашнего хозяйства. При принятии решений оно учитывает благосостояние и ресурсы своих настоящих и будущих членов, т. е. считается, что каждая семья живет бесконечно долго и между ее поколениями существуют альтруистические связи. Таким образом, можно условно считать, что ее решения анало­гичны решениям бесконечно живущего индивида. Задача оптими­зации потребительского поведения репрезентативного домашнего хозяйства с L работающими членами аналогична задаче оптими­зации совокупного потребления в экономике с численностью населения L.
Пусть население растет с постоянным темпом п и численность населения в нулевой момент времени равна 1, т. е. L, = ет. Функция полезности индивида (домашнего хозяй­ства, представляющего все население) имеет вид:

U - J u[ct)e~pldt, (11.1)

о

где с, — потребление на душу населения в момент времени Г;

р(р > 0) — коэффициент дисконтирования, отражающий меж­временные предпочтения индивида.

Таким образом, функция полезности представляет собой взве­шенную сумму всех будущих значений полезности, причем веса определяются с помощью индивидуальных коэффициентов дис­контирования. Функция полезности является сепарабельной, т. е. полезность в каждый момент времени зависит только от потреб­ления в этот момент.

и'(с)> 0; и"(с)< 0 и выполняются условия Инада:

lim и'(с) = »; lim «'(с) = 0. с->0 с->~

Коэффициент дисконтирования для индивида и всего поколе­ния один и тот же. Рассматривается закрытая экономика с реаль­ными переменными, т. е. все переменные измерены в единицах товаров и услуг. Экономика работает в условиях совершенной конкуренции.

Доходы индивида складываются из заработной платы и дохо­дов, полученных за принадлежащие ему активы. Свои доходы он тратит на потребление и сбережения в форме накопления допол­нительных активов. Активы — это капитал либо заемные сред­ства. Заемные средства могут быть и отрицательными, в этом случае их величина представляет собой долг. Домашнее хозяй­ство может как давать в долг, так и занимать средства у других домашних хозяйств, но, в конце концов, долги должны быть воз­вращены. Капитал и заемные средства являются совершенными заменителями, поэтому в каждый момент времени t приносят одинаковый доход в виде реального процента г,.

Пусть в момент t чистые реальные активы (капитал и заемные средства за вычетом возврата долга), приходящиеся на каждого индивида, — а,, реальная ставка заработной платы — w,, тогда его доходы составят (w, + г, а,). Вследствие роста населения активы в каждый момент времени уменьшаются на величину па,, поэтому бюджетное ограничение индивида имеет вид:

ä = w + ra-c-na. (11.2)

Рынок заемных средств накладывает ограничение на займы — нельзя бесконечно выплачивать взятые кредиты за счет новых долгов (условие отсутствия игры Понци). Так как чистый долг в расчете на члена семьи растет с темпом г — п, то это ограничение имеет вид:

/

-J[ r(v)-n\dv

lim а,е 0 >0. (11.3)

Таким образом, задача оптимизации поведения потребителя сводится к максимизации функции (11.1) при ограничениях (11.2) и (11.3). Эту задачу динамической оптимизации можно решить с помощью принципа максимума Понтрягина.

Для этого строится функция Гамильтона

Н = u(c)e~pl + X(w + ra-c- па).

Необходимые условия для ее максимизации имеют вид

= и'(с)е~р1 - X, откуда и'(с)е~р1 = А,; (11.4)

ос

äiL = (r-,г)Х = -Х, откуда i.

= -(r-n)X. (11.5)

да

Условие трансверсальности:

lim %.,а, =0. (11.6)

Здесь X представляет собой приведенную теневую цену активов.

Дифференциальное уравнение (11.5) — это уравнение Эйлера, описывающее необходимое условие, которому должна удовлетворять каждая оптимальная траектория. На основании этого уравнения сформулировано правило Кейнса—Рамсея. Оно было выведено

Рамсеем и проинтерпретировано Кейнсом. Смысл этого правила можно проиллюстрировать следующим образом.

Возьмем логарифм от обеих частей (11.4) и продифференци­руем полученное уравнение по времени.

,л . , А и"(с) .

(11.7)

1пА = Іпн (с)-рґ; - = —тгт-с-р.

А и (с)

г — п = р-

Из (11.5) — = п-г, откуда с учетом (11.7) получаем К

(11.8)

Поскольку выражение в квадратных скобках в правой части

(11.8) отрицательно, динамика потребления во времени

если доход

сит от соотношения дохода на капитал г за вычетом темпа роста населения п и коэффициента межвременного предпочте­

ния р. Потребление будет расти во времени

на капитал в расчете на каждого члена семьи выше нормы дискон­тирования, падать в противном случае и оставаться постоянным, если эти коэффициенты совпадают. Другими словами, домашние хозяйства готовы отказаться от части сегодняшнего потребления ради увеличения его в будущем, если этот отказ будет компен­сирован доходом, превышающим норму межвременного пред­почтения. Размер этой компенсации определяется выражением, стоящим в квадратных скобках (11.8). Оно представляет собой эластичность предельной полезности по потреблению. Это выра­жение показывает, насколько (г — п) должно превышать р для каж-

с

дой величины —. Чем выше эластичность, тем больше должен

с

быть разрыв между (г — п) и р для заданной величины -. Элас-

с

тичность предельной полезности по потреблению является вели­чиной, обратной к эластичности межвременного замещения. Для того чтобы существовало стационарное состояние (г — const,

£

- — const), эта эластичность должна асимптотически стремиться с

к постоянной величине. Поэтому в качестве функции полезности

c(i-0) _!

обычно используют функцию и(с) = —j—-— с постоянной элас­тичностью замещения, равной 1/0. При подстановке этого выра­жения в (11.8) получаем

£ = 1(г_й_ р). (ц.8')

с 0

Условие трансверсальности (11.6) означает, что стоимость акти­вов домашних хозяйств, представляющая собой произведение их теневой цены X на количество ос, должна со временем стремиться к 0. Если бы речь шла о конечном временном горизонте, то это означало бы, что к концу все накопления должны быть истрачены. При бесконечном временном горизонте это условие выполняется в предельном смысле.

Если решить дифференциальное уравнение (11.5), то можно получить траекторию изменения теневой цены во времени:

/

-J [r(v)-n\tlv X, = Х0е 0 .

Из (11.4) следует, что А,0 = и'(с0)>0, т. е. Х0 — положительная константа. Таким образом, если подставить полученное решение в условие трансверсальности, то оно примет вид

t

-j[r(v)-n]dv

lim а,е 0 =0. (11.6')

Отсюда следует, что активы не могут расти с темпом г—п и выше, такое решение будет неоптимальным, поскольку полез­ность в случае увеличения потребления за счет отказа от части накоплений будет возрастать. В случае постоянных займов (а,< 0) желание расплачиваться за долги путем новых заимствований, т. е. желание накапливать долг с темпом г—п и выше, сдержива­ется отсутствием кредиторов, готовых накапливать активы с тем­пом г—п и выше. Отсюда становится понятной необходимость введения в задачу потребительского выбора условия отсутствия игры Понци (см. условие (11.3)).

11.1.

<< | >>
Источник: Туманова Е.А., Шагас Н.Л.. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода: Учебник. — М.: ИНФРА-М,— 400 с. — (Учебники экономического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова). 2004

Еще по теме ЗАДАЧА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА:

  1. 1.4. Задача потребителя. Характеристики потребительского выбора
  2. 4.2.4. Потребительский выбор
  3. § 2. Теория потребительского выбора
  4. 3.2. ОРДИНАЛИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА
  5. 3.1. КАРДИНАЛИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА
  6. 13.1. Сущность и варианты потребительского выбора
  7. 14.4. от модели потребительского выбора к функции спроса
  8. ГЛАВА 14. Потребительский ВЫбОр
  9. 4.1. Потребительский выбор и его особенности
  10. 5.3. Выбор наилучшего набора потребительских благ
  11. § 9. Спрос и полезность. Теория потребительского выбора
  12. 2.4. Выбор «своего» варианта потребительского кредита: десять последовательных действий
  13. 5.5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА ЭФФЕКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ 5.5.1. Многокритериальные задачи