<<
>>

15.6. Расчет процентного дохода

На практике при выполнении финансовых операций могут использо­ваться различные схемы и методы начисления процентов: схемы простых и сложных процентов, смешанная схема начисления, непрерывные процен­ты, начисление процентного платежа в начале каждого расчетного периода Или в конце периода (соответственно, антисипативное и декурсивное начис­ление процентов).
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих некото­рые способы расчета процентного дохода.

Начисление простых процентов. Начисление на исходный капитал про­стых процентов (т. е. схема простых процентов) применяется при обслужи­вании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты используют при выдаче ши­роко распространенных краткосрочных ссуд, предоставляемых на срок до од­ного года с однократным начислением процентов. Формула наращения про­стыми процентами имеет вид

Р-Р (1 +пг),

где Р — наращенная сумма; Р — исходный капитал; п — срок начисления процентов; г —ставка процента.

Тогда процентный доход (Г) определяется по формуле

1=Рпг.

Пример Клиент поместил в банк вклад в сумме 30 тыс. руб. под 14% годо­

вых с ежемесячной выплатой процентов. Какой процентный доход он будет получать каждый месяц?

Зная, что Р= 30 тыс. руб., я = У12года, г = 0,14, получаем 30-У,2 -0,14 = 0,35 (тыс. руб.).

Когда продолжительность п финансовой операции меньше года, про­центный доход обычно определяется по формуле

где I — продолжительность финансовой операции в днях;

Т — количество дней в году.

При определении продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему равной берется продолжительность года (квартала, месяца), полу­чают два варианта процентов:

— точные проценты, определяемые исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

—обыкновенные проценты, определяемые исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30 дней).

При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда» также возможны два варианта расчетов:

—при первом принимается в расчет точное число дней кредитования (расчет ведется по дням);

— при втором принимается в расчет приблизительное число дней креди­тования (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней используются специальные таблицы (одна для обычного года, другая для високосного), в которых все дни года последовательно пронумерованы[144], например, 10 апре­ля обычного года — 100-й день, 12 августа — 224-й день. Продолжительность финансовой операции между ними определяется вычитанием из номера по­следнего дня (224) номера первого дня ссуды (100).

В том случае, когда в расчетах используется точный процент, берется и точная величина продолжительности финансовой операции; при использо­вании обыкновенного процента может применяться как точное, так и при­ближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может выполняться од­ним из трех способов.

В российской практике встречаются различные схемы начисления про­центов. Обыкновенные проценты, как правило, применяются в операциях с векселями. Точные проценты используются в официальных методиках Центрального банка и Министерства финансов РФ для расчета доходности по государственным обязательствам. Эффект от выбора того или иного спо­соба зависит от значительности суммы, фигурирующей в процессе финансо­вой операции.

Пример Предоставлена ссуда в размере 80 тыс. руб. 12 марта с погашением

15 августа того же года под простую процентную ставку 15% годо­вых. Рассчитать всеми различными способами величину начислен­ных процентов, если год високосный.

Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет.

Точное число дней, определяемое по таблице или непосредственно, составит 156.

Приближенное число дней ссуды равно: 18 дней марта (30 - 12) + + 120 дней (по 30 дней четырех месяцев: апрель, май, июнь, июль) + 15 дней августа = 153.

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

1

/ = 80-—0,15=5,115 (тыс. руб.)

366

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:

/ = 80-— 0,15 = 52 (тыс. руб.)

360

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней:

153

7 = 80 — 0,15 = 5,1 (тыс. руб.)

360

Таким образом, возможны следующие варианты начисления про­центов: 1) 5115 руб.; 2) 5200 руб.; 3) 5100 руб.

Как правило, число точных и число приближенных дней ссуды либо очень близки, либо совпадают, что позволяет в банковских расчетах часто пользоваться приближенным числом дней ссуды.

В банках при обслуживании текущих счетов для начисления процентов часто используют такие величины, как процентное число у^ и дивизор Т

£> = — (ставка выражена в процентах). В этом случае процентный доход рас- г

считывается по формуле

/=-*-. 1001)

Обычно сумма на счете часто меняется в результате поступлений или изъятий денежных сумм. Для того чтобы найти общую величину начислен­ных процентов за некоторый срок, вначале определяют процентные числа за каждый промежуток времени, когда сумма на счете не менялась. Затем все процентные числа складываются и полученное значение делится на дивизор,

Пример Сберегательный счет открыт 10 марта; на него положена сумма

8 тыс. руб. Затем 14 апреля на счет поступили 4 тыс. руб. Потом 25 июня сняли 3 тыс. руб., а 4 сентября — 2 тыс. руб. Счет закрыт 20 декабря. Все операции осуществлялись в течение високосно­го года. Определить сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка равна 12% годовых; при расчете использовались обыкновенные проценты сточным числом дней. Вначале определяем суммы, которые последовательно фиксирова­лись на счете: 8 тыс. руб., 12 (8 + 4) тыс. руб., 9 (12 — 3) тыс. руб., 7 (9 — 2) тыс. руб. Затем находим сроки хранения этих сумм. Они соответственно равны 35, 72, 71 и 107 дней. Сумма процентных чи­сел составит:

8- 35 + 12- 72+ 9- 71 + 7-107 100

Дивизор в данном случае равен 360/12 = 30. Следовательно, об­щая величина начисленных процентов составит 25,32/30 = -0,844 (тыс. руб.).

Владелец счета получит 7 + 0,844 = 7,844 (тыс. руб.).

В условиях инфляции происходит обесценение денег, уменьшение их по­купательной способности. Поэтому при определении процентного дохода не так важна его номинальная величина, как реальная. Имеется в виду следую­щее: если за время I была получена некоторая наращенная сумма Р, а индекс

- Б

цен составил величину /, то с учетом обесценения сумма составит Б = —-. Из

этой суммы и надо исходить при нахождении реального процентного дохода.

Пример В течение трех кварталов на сумму 10 тыс. руб. начислялись про­

стые проценты по следующим ставкам: в первом квартале — 40% го­довых, во втором — 45%, в третьем — 50%. Среднемесячные темпы ин­фляции за кварталы оказались равными соответственно 3%, 1,5% и 2%. Определить наращенную сумму с учетом инфляции иреальну® доходность ссудного капитала в виде годовой процентной ставки.

Определим вначале наращенную сумму без учета инфляции: ґ = 10 ■ (1 + 0,25 - 0,4 + 0,25 ■ 0,45 + 0^5 ■ ОД) = 13,375 (тыс. руб.).

Индекс инфляции за три квартала (0,75 года) составит величину 7(О,75) =(1 + 003)З .(1 + 0,015)3 (1 + 0,02)3 =1,2126

Теперь можно найти наращенную сумму с учетом инфляции

11,030 (тыс- руб°-

Реальный процентный доход владельца счета ранен Б-Р = 11,03-10 = 1,03 (тыс. руб.).

Таким образом, реальная доходность от помещения денег в рост со­ставит

103

г = —:------- = 0,1373, т.е. 13,73% годовых.

100,75

Учет векселей. Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда владелец векселя на сумму (сумма к погашению) предлагает купить его банку раньше срока оплаты. Покупка векселя у владельца до наступления срока оп­латы по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по вексе­лю в конце срока, называется дисконтированием векселя. Сама операция дисконтирования векселя часто называется учетом векселя. Сумму, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называют дискон­тированной величиной векселя. Банк, досрочно учитывающий вексель, удер­живает в свою пользу определенный процент, называемый дисконтом.

Количественно дисконт £> представляет собой проценты, начисленные за время от дня дисконтирования п до дня погашения векселя на сумму І7, подлежащую уплате в конце срока. Если объявленная банком ставка дис­контирования равна (1 (учетная ставка), то

Б = Рп±

Векселедержатель получит дисконтированную величину векселя Р. Р = ¥-¥пй = ¥ (1 -пйО.

Дисконтирование, осуществляемое по этой формуле, называется банков­ским (коммерческим) дисконтированием. Очевидно, чем выше значение став­ки дисконтирования, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. При учете векселя чаще всего используются обыкновенные проценты и точ­ное число дней (от дня предъявления до дня погашения векселя).

Пример Векселедержатель предъявил 1 июля 2002 г. для учета вексель на

сумму 16 тыс. руб. со сроком погашения 4 сентября 2002 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 20% годовых. Опреде­лить сумму, которую векселедержатель получит от банка. Поскольку ґ- 16 тыс. руб., 72- 65/360 года, (1 + 0,02)3 -1. Решая его, находим г > 0,2448.

При темпе инфляции 3,5% в месяц, /,'/7' =(1 + 0,035)21 =2,0594,

= 26,495 (тыс. руб.).

Реальный процентный доход вкладчика составит:

26,495 - 28 = -1,505 (тыс. руб.), т. е. в этом случае вкладчик с точки зрения покупательной способности потерпит убытки. В данных условиях для положи­тельной процентной ставки должно выполняться неравенство

г >4 • (^/2,0594 -1) = 0,4349, т.е. г >43,49%. Следовательно, номиналь­ная процентная ставка (40%) меньше положительной процентной ставки.

Финансовые ренты. Рассмотренные схемы начисления процентов ис­пользуются и при оценке распределенных во времени денежных поступ­лений и выплат — денежных потоков. Важным частным случаем денежно­го потока является финансовая рента (аннуитет), являющаяся однона­правленным денежным потоком (т. е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств) с равными временными интервалами между двумя по­следовательными денежными поступлениями[145]. Этот постоянный времен­ной интервал называется периодом ренты (периодом аннуитета), а любой элемент денежного потока называется членом ренты (членом аннуитета). Рента, каждый член которой имеет место в конце соответствующего пе­риода, называется рентой постнумерандо, а если в начале периода — рен­той пренумерандо. Оценка денежного потока (и в частности, ренты) мо­жет выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, предполагаю­щей суммарную оценку наращенного денежного потока; б) обратной, предполагающей суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. В первом случае определяется будущая стоимость де­нежного потока, во втором случае — приведенная стоимость денежного потока.

Пример На депозитный счет с начислением сложных процентов по ставке

15% годовых будут ежегодно вноситься следующие суммы: 30, 22, 16, 55, 40 (тыс. руб.). Определить величину процентов, которую банк выплатит владельцу счета, если суммы будут поступать: а) в конце года; б) в начале года.

1) В этом случае имеем ренту постнумерандо сроком на пять лет. Изобразим схематично условие задачи на оси времени (одно деле­ние равно одному году), помещая над осью члены ренты:

30 22 16 55 40

___ I_____ I______ I______ I_____ I______ I______________ ►

0 1 2 3 4 5 глет

При определении будущей стоимости ренты т. е. ее стоимость

на конец пятого года, нужно рассуждать следующим образом: на первое денежное поступление в 30 тыс. руб. начисляются слож­ные проценты за 4 года, и оно в конце пятого года станет равным 30 1,749 = 52,47 (тыс. руб.);

на второе денежное поступление в 22 тыс. руб. начисляются слож­ные проценты за 3 года, и оно в конце пятого года станет равным 22-1,5209 = 33,46 (тыс. руб.) и т. д.

Для наглядности представим результаты расчетов в табличном виде (табл. 15.2).

Таблица 15.2 Расчет будущей стоимости ренты (тыс. руб.)
Год Денежный поток (рента) Множитель наращения при г = 15% Наращенный поток
1 30 1,749 52,47
2 22 1,5209 33,46
3 16 1,3225 21,16
4 55 1,15 63,25
5 40 1 40
163 210,34

Будущая стоимость аннуитета равна сумме наращенных поступле­ний, т.е. Л^, =210,34 тыс. руб. Сумма взносов за 5 лет равна

163 тыс. руб. Таким образом, величина процентов, которую выпла­тит банк владельцу счета, составит:

/= 210,34 - 163 = 47,34 (тыс. руб.). 2) В этом случае исходный поток является аннуитетом пренуме- рандо и схематично условие задачи выглядит следующим образом:

30 22 16 55 40

____ I______ I______ I______ I______ I_______________________ ^

0 12 3 4 {лет

Будущую стоимость Л^р этой ренты пренумерандо можно найти

аналогичным образом, подобным предыдущему случаю. Однако, уже зная Л'Д,, рациональнее воспользоваться тем фактом, что дан­ная рента отличается от рассмотренной ренты постнумерандо коли­чеством периодов начисления процентов. В результате получаем соотношение

Таким образом, = 210,34 (1+ 0,15) = 241,891 (тыс. руб.), /= 241,891 - 163 = 78,891 (тыс. руб.).

Пример Клиент в конце каждого года вкладывает 5 тыс. руб. в банк, выпла­

чивающий сложные проценты по ставке 14% годовых. Определить сумму, которая будет на счете клиента через 8 лет, и величину про­центного дохода клиента.

Для определения суммы на счете через 8 лет (т. е. будущей стоимо­сти ренты) можно воспользоваться рассуждениями из предыдущего примера. Но по условиям данного примера все денежные поступле­ния равны между собой. Таким образом, рента постнумерандо яв­ляется постоянной, и для нее есть компактная формула оценки бу­дущей стоимости ренты, а именно

л,- -(1 + ,-)"-1 1 V' г

где А — член ренты;

^ + -------- — коэффициент наращения ренты (аннуитета); его

г

значения табулированы для различных значений процентной став­ки и сроков действия ренты.

Из приведенной формулы при А = 5 тыс. руб., г= 0,14 и п = 8 по­лучим

FV' = 5 • -(1+0Д4) = 5-13,2328 = 66,164 (тыс руб.)

0,14

Сумма взносов за 8 лет будет равна 5 • 8 = 40 тыс. руб. Следова­тельно, величина процентного дохода клиента составит 66,164 — - 40 = 26,164 (тыс. руб).

Безусловно, изложенные примеры далеко не исчерпывают всех возмож­ных возникающих на практике ситуаций, связанных с расчетами процентно­го дохода. Тем более они не охватывают разнообразные финансовые вычис­ления, проводимые при банковских операциях. Дополнительный материал, обзор основных алгоритмов, используемых при проведении коммерческих и финансовых вычислений, можно найти в [2,10]. Большое количество при­меров из банковской практики приведено в [3, 9]. В пособии [7] представле­ны решения типовых примеров и задачи для самопроверки по темам, указан­ным в подразделах данного параграфа. Там же приведены финансовые таб­лицы и таблицы порядковых номеров дней в году. Возможность приложений финансовых вычислений к принятию решений финансового и инвестицион­ного характера изложена в монографии [1]. В последнее время широкое рас­пространение при проведении финансово-экономических расчетов получил табличный процессор Excel. Подробное изложение как основ работы в Excel, так и осуществление с его помощью всевозможных расчетов, в частности, и финансового характера представлено в [6].

<< | >>
Источник: Г. Е. Алпатов, Ю.В. Базулин и др.; Под ред. В. В. Иванова, Б. И. Соколова. Деньги. Кредит. Банки: Учебник. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, — 624 с.. 2003

Еще по теме 15.6. Расчет процентного дохода:

  1. 7-1. Расчет национального дохода в открытой экономике
  2. 1.6. Факторный анализ процентных доходов и доходов от операций с ценными бумагами
  3. Управление процентным доходом.
  4. Расчет годового дохода для заданной внутренней доходности проекта
  5. 86. ПОРЯДОК УЧЕТА ДОХОДОВ И РАСЧЕТА СРЕДНЕДУШЕВОГО ДОХОДА СЕМЬИ И ДОХОДА ОДИНОКО ПРОЖИВАЮЩЕГО ГРАЖДАНИНА ДЛЯ ПРИЗНАНИЯ ИХ МАЛОИМУЩИМИ И ОКАЗАНИЯ ИМ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СОЦИАЛЬНОЙ ПОМОЩИ
  6. 61. РАСЧЕТ МАРЖИНАЛЬНОГО ДОХОДА
  7. 61. РАСЧЕТ МАРЖИНАЛЬНОГО ДОХОДА
  8. 86. ПОРЯДОК УЧЕТА ДОХОДОВ И РАСЧЕТА СРЕДНЕДУШЕВОГО ДОХОДА СЕМЬИ И ДОХОДА ОДИНОКО ПРОЖИВАЮЩЕГО ГРАЖДАНИНА ДЛЯ ПРИЗНАНИЯ ИХ МАЛОИМУЩИМИ И ОКАЗАНИЯ ИМ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СОЦИАЛЬНОЙ ПОМОЩИ
  9. 6.2. Стадии финансового анализа и формирование портфеля
  10. Ссудный процент (процентный доход) и ставка процента.
  11. Факторы, определяющие различия в процентных ставках
  12. Расчет процентного дохода
  13. 15.1. Ссудный процент (процентный доход) и ставка процента
  14. 15.6. Расчет процентного дохода