<<
>>

2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность

Обсудите проблематику квадратичной функции полезности в рамках теории ожидаемой полезности.

* * *

Рассмотрим квадратичную функцию полезности в форме"

U = —ах2 + Ьх при а, Ъ > 0.

(2.23)

При Var[x] = Е[(х - Е[х])2] = Е[х2] - Е[.г]2 мы можем ее преобразовать в функ­цию ожидаемой полезности

Е[[/(х)] = -о,Е[.52] +ЬЕ[£] =

= -а Е[х2] + Ь Е[х] + a E[i:]2 - а Е[х]2 = = -а (Е[х21 - Е[х]'') +ЬЕ[.т] - аЕ[5']2 =

Var[.i] = (оЩ)2 = U{ E[i],a[x]).

Как легко можно увидеть, (2.23) предполагает, что лицо, принимающее ре­шение, имеет отрицательную предельную полезность при уровне потребле­ния х > Ь/2а. Это не совсем правдоподобно, так как означало бы, что инди­видуумы, если они уже достигли определенного уровня потребления, добро­вольно отказались бы от дальнейших требований на потребительские блага. Эмпирически такой феномен нельзя наблюдать. Может быть, для отдельных потребительских благ существуют границы насыщаемости. Так, например, трудно представить, что семья, состоящая из 5 человек и занимающая лишь 5 комнат, будет покупать более 5 телевизоров. Но существование границы насыщаемости для агрегата требований на потребительские блага, а значит, на имущество, не имеет никакой экономической правдоподобности. Следо­вательно, квадратичные функции полезности можно использовать лишь то­гда, когда делается предположение, что область определения возможных распределений потребительских благ находится в области ненасыщаемости. Для всех исходов х должно быть верным

X < 6/2а.

Анализ кривых безразличия в системе Е[х]/сг[.т] указывает на дальней­шую неправдоподобность. На любой кривой безразличия ожидаемая полез-

9 Естественно, мы можем анализировать и каждое линейно положительное монотон­ное преобразование (2.23): U'(x) = z + yU(x) — z — yax2 + ybx, причем необходимо соблюдение условия у > 0.

ность постоянна. Поэтому функцию ожидаемой полезности можно записать в форме

с = -аф}2 - а Е[.?]2 + ЬЕ[.г],

0= - +стЬ-]2 + Е[.г]2 - -Е[.г].

а а

Данная формула является общей формулой круга с координатой центра

Е[.т]„ = -^. а[.г] = 0

и радиусом г = 1/2((—Ь/а)2 — 4г/«)1/,2. Наклон кривых безразличия будет рассчитан нами посредством приравнивания полного дифференциала

к нулю. При учете dU/dE[x] — U' = -2«Е[.г]+Ь и d2U/dE[x)2 = U" = -2а имеет место

dElx] -2ао\5-\ U" ... АТ,А . ,

—44 = - 1 ] = - —ф- = ARA ■ я Lf ,

da\x j -2aE[:r]+6 U' 1 J 1 J

причем ARA является коэффициентом Эрроу—Пратта абсолютной нерас­положенности к риску. Семейство кривых безразличия изображено на рис. 2.4. Если мы дифференцируем ARA, то окажется, что квадратичная функция полезности характеризуется возрастающей абсолютной нерасполо­женностью к риску

dARA _ 4а2 dE{3;} ~ (Ь - 2аЕ[:г])2 >

Значит, лицо, принимающее решение, требует тем более высокую субъек­тивную цену за риск, чем выше его начальный запас. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим рис. 2.4. Для данного значения среднеквадратично­го отклонения а[х)* можно начертить параллель к ординате. Точки пере­сечения вертикалей с соответствующими кривыми безразличия отражают относящиеся к определенным уровням полезности математические ожида­ния оцениваемых распределений потребности. Выберем для себя точку А на рис. 2.4. Соответствующий уровню полезности А гарантированный уровень потребления хя — это точка пересечения кривой безразличия и ординаты. Если сейчас начальный запас и, таким образом, гарантированный уровень потребления будут повышаться (движение вдоль ординаты), то тогда верти­кальное расстояние между математическим ожиданием распределения по­требительских благ (движение вдоль вертикали) и предоставляющим тот же уровень полезности гарантированным начальным запасом будет становиться все больше. Данное вертикальное расстояние представляет собой субъектив-

Для аргумента под корнем должно быть верным (—Ь/а)2 — 4с/а > 0.

Е[х]

Рис. 2.4. Семейство кривых безразличия квадратичной функции полезности


ную цену риска, значит, ту скидку на математическое ожидание, которую инвестор готов принять, если риск полностью уничтожить. Скидка стано­вится тем больше, чем богаче оказывается индивидуум в момент принятия решения. Из этого мы должны сделать вывод, что миллионер готов застра­ховать себя против данного риска, например потери 10 000 руб., в большей степени, чем индивидуум с маленькой зарплатой, но это представление со­вершенно неправдоподобно. Вследствие существенной неправдоподобности квадратичных функций полезности решающее значение приобретает другой достаточный критерий для совпадения между критерием ожидаемой полез­ности и критерием Е[.г]/ст[а:], а именно предпосылка нормально распределен­ных результатов.

<< | >>
Источник: Шефер Д., Шваке М. / Пер. с нем. под общей редак­цией 3. А. Сабова и А. Л. Дмитриева. Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений. — СПб: Питер, — 320 с. — (Серия «Учебники для вузов»).. 2001
Помощь с написанием учебных работ

Еще по теме 2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность:

  1. 7.2. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 7.2.1. Графики функций полезности
  2. 11.2. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 11.2.1. Графики функций полезности
  3. Уровневая функция полезности, выводимая из полезности Неймана-Монгенштерна
  4. максимизация ожидаемой полезности.
  5. Теория ожидаемой полезности
  6. 7.2.2. Теория ожидаемой полезности
  7. 11.2.2. Теория ожидаемой полезности
  8. Отношение к риску. Максимизация ожидаемой полезности
  9. 2.4.1. Непрерывное распределение и ожидаемая полезность
  10. 19.2. Теория ожидаемой полезности
  11. ГЛАВА 18. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 18.1.
  12. Глава 19 . ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
  13. 16.3. Предпочтения при принятии решений в условиях риска (теория ожидаемой полезности)
  14. § 4. Закон убывающей предельной полезности. Измерение величины полезности
  15. ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
  16. 8. Типовые функции полезности дохода
  17. ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
  18. 20.2. Некоторые известные конкретные функции полезности денег