21.4. СТОИМОСТЬ ОПЦИОНОВ: БЕГЛЫЙ ОБЗОР

Американский «колл» — без дивиденда.

Европейский «пут»— без дивиденда. Если мы хотим оценить европейский «пут», то можем использовать формулу паритета «пут»—«колл» из главы 20:

Стоимость «пута» — стоимость «колла» — стоимость акции + PV_l

Американский «пут» — без дивиденда. Иногда имеет смысл исполнить американский «пут» досрочно, чтобы реинвестировать цену исполнения. Предположим, например, что сразу после того как вы купили американский «пут», цена акций упала до нуля. В таких обстоятельствах сохранение опциона не дает никаких преимуществ, так как он уже не может прибавить в стоимости. Лучше исполнить «пут» и вновь инвестировать полученные от исполнения деньги. Стало быть, американский «пут» всегда обладает большей ценностью, нежели европейский «пут». В нашем крайнем случае разница между ними равна приведенной стоимости процентов, которые можно было бы заработать на инвестировании цены исполнения. Во всех других случаях эта разница меньше.

Поскольку формула Блэка—Шольца не предусматривает досрочного исполнения, она не годится для точной оценки американского «пута». Но вы можете использовать пошаговый биномиальный метод при условии, что на каждом этапе будете проверять, не стал ли «мертвый» опцион дороже «живого», и затем брать для дальнейших расче­тов высшую из двух стоимостей.

Европейский «колл» на акции с дивидендом. Часть стоимости акции образует приведен­ная стоимость дивидендов. Держателю опциона дивиденды не полагаются. В связи с этим, пользуясь формулой Блэка—Шольца для оценки европейского «колла» на акции с дивидендом, вы должны уменьшить цену акций на приведенную стоимость дивиден­дов, выплачиваемых до исполнения опциона.

Дивиденды не всегда обнаруживаются в явном привычном виде; поэтому следует внимательно отслеживать случаи, когда актив приносит его держателю выгоды, а оп­цион на этот актив — нет. Например, купив иностранную валюту, вы можете инвести­ровать ее и получать с нее проценты, тогда как, владея опционом на покупку валюты, вы упускаете этот доход. Значит, при оценке такого опциона из текущей цены иност­ранной валюты следует вычесть приведенную стоимость процентов, которые можно на ней заработать^[365].

Американский «колл» на акции с дивидендом. Как мы уже видели, когда по акциям не выплачиваются дивиденды, «живой» американский «колл» всегда дороже, чем «мерт­вый». Сохраняя опцион, вы не только поддерживаете открытую опционную позицию, но и зарабатываете проценты на деньгах, которые пришлось бы отдавать в случае ис­полнения опциона. Даже по акциям с дивидендом никогда не следует исполнять опци­он досрочно, если причитающиеся вам дивиденды меньше процентов, которые вы теряете, оплачивая цену исполнения раньше времени. Однако если дивиденды доста­точно велики, вы, возможно, захотите их получить, исполнив опцион до даты «без дивиденда» (после которой на акцию уже не начисляются очередные дивиденды).

Единственный метод, пригодный для оценки американского «колла» на акции с дивидендом, — это пошаговый биномиальный метод. В этом случае на каждом этапе необходимо проверять, будет ли опцион обладать большей стоимостью, если испол­нить его до даты без дивиденда, чем если придержать по крайней мере еще на один период.

Пример. У вас остался последний шанс попрактиковаться в оценке опционов, вычис­лив стоимость американского «колла» на акции с дивидендом. Рисунок 21.7 показывает возможные изменения цены акций компании «Свиные туши». Сейчас акции стоят 100 дол., но спустя год они могут либо подешеветь на 20% до 80 дол., либо подорожать на 25% до 125 дол. В любом случае компания через год выплатит регулярные денежные

Рисунок 21.7

Возможные цены акций компании «Свиные туши» (в дол.)

Сегодня 100

Год1 с дивидендом 80 125

без дивиденда 60 105

Рисунок 21.8

Стоимость двухлетнего «колла» на акции компании «Свиные туши» (в дол.).

дивиденды в размере 20 дол. Сразу после этих выплат цена акций снизится до 80 дол. — — 20 дол. = 60 дол. или до 125 дол.— 20 дол. = 105 дол. Еще через год цена опять либо упадет на 20% от уровня без дивиденда, либо вырастет на 25%^[366].

Предположим, вы хотите оценить двухлетний американский «колл» на акции «Сви­ных туш». Рисунок 21.8 отображает возможные значения стоимости опциона на каждую дату при условии, что цена исполнения равна 70 дол., а процентная ставка — 12%. Мы не будем воспроизводить все вычисления, которые кроются за этими цифрами, а со­средоточимся на стоимости опциона в конце года 1.

Допустим, цена акций в первый год упала. Сколько стоит опцион, если вы сохраня­ете его на следующий период? Вы уже должны уметь справляться с такой задачей. Сначала представьте себе, что инвесторы безразличны к риску, и рассчитайте вероят­ность, с какой акции вырастут в цене при данном условии. Эта вероятность оказалась равна 71%^[367]. Теперь вычислите ожидаемую отдачу опциона и продисконтируйте ее по ставке 12%:

0,71 х $5+ 0,29x0

Стоимость опциона, не исполненного в году 1 =------------------------- = 3,17 дол.

Итак, если вы сохраняете опцион, он стоит 3,17 дол. Однако если вы исполняете опцион непосредственно перед наступлением даты без дивиденда, то платите 70 дол. (цену ис­полнения) за акцию стоимостью 80 дол. Эти 10 дол. отдачи от исполнения опциона больше 3,17 дол., которые обеспечивает сохранение опциона еще на период. В силу этого на рисунке 21.8 мы выбираем значение 10, если цена акций в году 1 снижается.

Вы также захотите исполнить опцион и в том случае, если цена акций в году 1 растет. При сохранении опциона он стоит 42,45 дол., но если вы его исполните, сто-

имость составит 55 дол. Поэтому, когда акции дорожают, мы выбираем на рисунке 21.8 значение 55.

Остальные вычисления не содержат ничего нового. Находим ожидаемую отдачу оп­циона в году 1, дисконтируем ее по ставке 12% и получаем стоимость опциона сегодня:

_ , 0,71 х $55 +0,29 х $10 Стоимость опциона сегодня = г—г =37,50 дол.

РЕЗЮМЕ В этой главе мы изложили базовые принципы стоимостной оценки опционов, рас­смотрев в качестве примера «колл» на акции, стоимость которых до истечения срока опциона принимает одно из двух возможных значений. Мы продемонстрировали, что можно подобрать пакет акций и займа, обеспечивающий точно такую же отдачу, как и опцион, независимо от того, растет цена акций или снижается. Следовательно, опцион должен иметь ту же стоимость, что и этот дублирующий портфель.

Мы получили аналогичный результат, представив, что инвесторы безразличны к риску и, значит, ожидаемая доходность любого актива равна процентной ставке. Мы вычислили ожидаемую будущую стоимость опциона в этом воображаемом мире с ней­тральным отношением к риску, а затем продисконтировали ее по процентной ставке, чтобы получить текущую стоимость опциона, приведенную к сегодняшнему дню.

Общий биномиальный метод приближает нас к реальности, предусматривая, что срок жизни опциона распадается на несколько подпериодов, в каждом из которых с ценой акций происходит одно из двух возможных изменений. Дробление основного периода на эти более короткие интервалы не меняет базовые принципы стоимостной оценки опционов. Мы по-прежнему можем продублировать «колл» пакетом из акций и займа, только на каждом этапе такой пакет будет иным.

Наконец, мы добавили в наш арсенал формулу Блэка—Шольца. По этой формуле стоимость опциона исчисляется при условии, что цена акций меняется непрерывно и принимает бесконечное множество возможных значений.

При оценке опционов на практике следует принимать во внимание некоторые осо­бые обстоятельства. Например, нужно понимать: иногда стоимость опциона снижается в силу того факта, что держателю опциона не причитаются никакие дивиденды.

Рекомендуемая литература______________________

Классические статьи по оценке стоимости опционов:

F. Black and M. Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. 81: 637—654. 1973. May—June.

R. C. Merton. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 4: 141—183. 1973. Spring.

Из других работ, представленных в разделе «Рекоменду­емая литература» главы 20, тоже можно почерпнуть по­лезные сведения о различных моделях стоимостной оценки опционов и о практических сложностях их при­менения.