3.1. Оптимизация и совершенствование системы управления в инвестиционном менеджменте Типы потоков платежей

Рассмотрим основные определения характеристик потоков платежей, используемых ниже.

Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуи­тетом) называются платежи, у которых все выплаты направле­ны в одну сторону (например, поступления), а интервалы (пе­риоды) между платежами одинаковы.

Нерегулярным потоком платежей именуются платежи, у ко­торых часть выплат является положительными величинами (по­ступления), а другая часть ~ отрицательными величинами (вы­платы сторонним организациям). Интервалы между платежами в этом случае могут быть не равны друг другу.

Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех вы­плат с начисленными на них к концу срока сложными процен­тами.

Современная стоимость потока платежей — это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.

Рассмотрим общий случай потока платежей. Пусть Л* — ряд платежей, имеющих знак «плюс» или «минус», ^ — время 1452 67 выплаты под номером к = 1,2 К, К — количество выплат,

/_к - общий срок выплат, / - сложная процентная ставка нара­щения, начисляемая один раз в году, выплаты производятся в конце периода.

В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле:

5=£А_хХ(1 + 0^,аг"^л. (ЗЛ.1)

*=|

Современная стоимость потока платежей определяется со­отношением:

(3.1.2)

Современную стоимость, определяемую соотношением (3.1.2), можно получить также дисконтированием наращенной суммы (1.3.1). Действительно:

* = 2я_к x (1 + О*-* цтг = 2 Л* x (1 + /г" = Х-^Цг = ^А

(1+0* м ^к (1+0* ы ^к *Т.(1+0^Л

Иначе это выражение можно записать в виде:

5 = Лх(1 + /)'* (3.1.3)

Пример 3.1.1.

01.01.2001 г. - 20 тыс. руб.

01.07.2001 г. - 30 тыс. руб.

01.01.2002 г. - 10 тыс. руб.

01.01.2003 г. - 40 тыс. руб.

Требуется определить сумму задолженности на 01.01.2003 г. и ее современную стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения 15% годовых.

Наращенная сумма вычисляется по формуле (3.1.1):

5 = (20х 1,15² + 30x1,15^й + 10x1,15 + 40)х 1000 = 114947, Вруб.

Современная стоимость потока платежей определяется со­отношением (3.1.2):

А = (20 + + — + -1®-)х1000 = 86916,54 руб. 1,15 1,15 1,15 "

Этот же результат можно получить, используя формулу (3.1.3), т. е.:

_ 114947,13 _ 15 54 .

1.15

Постоянной называется рента, вьшлаты которой не изме­няются во времени. По моменту выплат в пределах между нача­лом и концом периода ренты делятся на:

♦ постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты произво­дятся в конце периода;

♦ пренумерандо, когда выплаты производятся в начале пе­риода;

♦ ренты с платежами в середине периода. Виды ФИНАНСОВЫХ РЕНТ

Годовая рента

Постоянной называется рента, выплаты которой не изме­няются во времени.

Мы будем рассматривать в основном ренты постнумеран­до. Связь рент постнумерандо с остальными типами будет уста­новлена позже.

Рассмотрим различные виды финансовых рент.

Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты на­числения процентов один раз в конце года.

Определим нарашенную сумму годовой ренты. Пусть в те­чении п лет в банк в конце каждого года вносится сумма R руб., на которую начисляются сложные проценты по ставке / % годо­вых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются я-1 год, на второй — п-2 года и т. д.

Наращенная сумма к концу срока будет равна:

S = Äx(l + /)""' +Äx(l + 0"'' +... + ÄX0 + O + Ä •

Если посмотреть на это выражение справа налево, то мож­но увидеть, что оно является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии 0=1+/.

д-1 '

где Л — первый член прогрессии;

л - количество членов прогрессии. Таким образом, нара­щенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле:

_{5 =} (3.1.4)

Часто эту формулу записывают в виде: У = (3.1.5)

где

" I

— коэффициент наращения ренты, табулированная функ­ция.

Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо каждый платеж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтиро­ванное значение первого платежа равно Лу, второго — Лу, по­следнего - йу, где:

1

^У ~ 1+/'

Современная стоимость, равная сумме всех платежей, оп­ределяется соотношением

a = rxv + rxv² + Лху³+... + Лху" = Лху(1 + у + у² +... + v^я"¹).

Выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии V и с количеством чле­нов прогрессии, равным п. Таким образом, современная стои­мость годовой ренты вычисляется по формуле:

(ИчУЧ _{= Дх} 1-0+0

1-1+1

Часто эту формулу записывают в виде:

А = Яха„_}, (3.1.7)

где

_{я =}'-» + Л _Х(1 + 1у-^2>'" +... + д х 0 + Ц^я + Я. т т т

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

т

а количество членов — пт. Таким образом: (]+/)'»_!

5 ₌ Ях-------- Ш---------- ЛХ5 , » (3-1.9)

а+^г-1

т

где

(1+1)"»'-1

_ т (3.1.10)

а+-)"-1

т

- коэффициент наращения ренты, табулированная функ­ция.

Для определения современной стоимости ренты определим дисконтные множители каждого платежа. Дисконтный множи­тель для первой выплаты равен

1 , 1

, для второй -------------------- ,

2т

(1+]!т)^т (l+j/m)

для последней — ----------- !--------

(1+у//л)"^м

Отсюда следует выражение для современной стоимости ренты:

я _| я ^ ₍ я

"(1+]!т)^т (l+j/ т)^2т+"' (1+у/т)"

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен