<<
>>

3.1. Оптимизация и совершенствование системы управления в инвестиционном менеджменте Типы потоков платежей

Потоки платежей ~ это платежи, последовательные во времени, например, выплаты по купонам облигаций, пенсии и т. д.

Рассмотрим основные определения характеристик потоков платежей, используемых ниже.

Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуи­тетом) называются платежи, у которых все выплаты направле­ны в одну сторону (например, поступления), а интервалы (пе­риоды) между платежами одинаковы.

Нерегулярным потоком платежей именуются платежи, у ко­торых часть выплат является положительными величинами (по­ступления), а другая часть ~ отрицательными величинами (вы­платы сторонним организациям). Интервалы между платежами в этом случае могут быть не равны друг другу.

Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех вы­плат с начисленными на них к концу срока сложными процен­тами.

Современная стоимость потока платежей — это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.

Рассмотрим общий случай потока платежей. Пусть Л* — ряд платежей, имеющих знак «плюс» или «минус», ^ — время 1452 67 выплаты под номером к = 1,2 К, К — количество выплат,

/к - общий срок выплат, / - сложная процентная ставка нара­щения, начисляемая один раз в году, выплаты производятся в конце периода.

В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле:

5=£АхХ(1 + 0,аг"л. (ЗЛ.1)

*=|

Современная стоимость потока платежей определяется со­отношением:

(3.1.2)

Современную стоимость, определяемую соотношением (3.1.2), можно получить также дисконтированием наращенной суммы (1.3.1). Действительно:

* = 2як x (1 + О*-* цтг = 2 Л* x (1 + /г" = Х-^Цг = А

(1+0* м к (1+0* ы к *Т.(1+0Л

Иначе это выражение можно записать в виде:

5 = Лх(1 + /)'* (3.1.3)

Пример 3.1.1.

Имеется следующий график платежей во времени:

01.01.2001 г. - 20 тыс. руб.

01.07.2001 г. - 30 тыс. руб.

01.01.2002 г. - 10 тыс. руб.

01.01.2003 г. - 40 тыс. руб.

Требуется определить сумму задолженности на 01.01.2003 г. и ее современную стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения 15% годовых.

Наращенная сумма вычисляется по формуле (3.1.1):

5 = (20х 1,152 + 30x1,15й + 10x1,15 + 40)х 1000 = 114947, Вруб.

Современная стоимость потока платежей определяется со­отношением (3.1.2):

А = (20 + + — + -1®-)х1000 = 86916,54 руб. 1,15 1,15 1,15 "

Этот же результат можно получить, используя формулу (3.1.3), т. е.:

_ 114947,13 _ 15 54 .

1.15

Постоянной называется рента, вьшлаты которой не изме­няются во времени. По моменту выплат в пределах между нача­лом и концом периода ренты делятся на:

♦ постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты произво­дятся в конце периода;

♦ пренумерандо, когда выплаты производятся в начале пе­риода;

♦ ренты с платежами в середине периода. Виды ФИНАНСОВЫХ РЕНТ

Годовая рента

Постоянной называется рента, выплаты которой не изме­няются во времени.

Мы будем рассматривать в основном ренты постнумеран­до. Связь рент постнумерандо с остальными типами будет уста­новлена позже.

Рассмотрим различные виды финансовых рент.

Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты на­числения процентов один раз в конце года.

Определим нарашенную сумму годовой ренты. Пусть в те­чении п лет в банк в конце каждого года вносится сумма R руб., на которую начисляются сложные проценты по ставке / % годо­вых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются я-1 год, на второй — п-2 года и т. д.

Наращенная сумма к концу срока будет равна:

S = Äx(l + /)""' +Äx(l + 0"'' +... + ÄX0 + O + Ä •

Если посмотреть на это выражение справа налево, то мож­но увидеть, что оно является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии 0=1+/.

Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

д-1 '

где Л — первый член прогрессии;

л - количество членов прогрессии. Таким образом, нара­щенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле:

(3.1.6)

5 = (3.1.4)

Часто эту формулу записывают в виде: У = (3.1.5)

где

" I

— коэффициент наращения ренты, табулированная функ­ция.

Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо каждый платеж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтиро­ванное значение первого платежа равно Лу, второго — Лу, по­следнего - йу, где:

1

У ~ 1+/'

Современная стоимость, равная сумме всех платежей, оп­ределяется соотношением

a = rxv + rxv2 + Лху3+... + Лху" = Лху(1 + у + у2 +... + vя"1).

А = Лх

Выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии V и с количеством чле­нов прогрессии, равным п. Таким образом, современная стои­мость годовой ренты вычисляется по формуле:

(ИчУЧ = Дх 1-0+0

1-1+1

Часто эту формулу записывают в виде:

А = Яха„}, (3.1.7)

где

я ='-» + Л Х(1 + 1у-2>'" +... + д х 0 + Ця + Я. т т т

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

т

а количество членов — пт. Таким образом: (]+/)'»_!

5 = Ях-------- Ш---------- ЛХ5 , » (3-1.9)

а+^г-1

т

где

(1+1)"»'-1

_ т (3.1.10)

а+-)"-1

т

- коэффициент наращения ренты, табулированная функ­ция.

Для определения современной стоимости ренты определим дисконтные множители каждого платежа. Дисконтный множи­тель для первой выплаты равен

1 , 1

, для второй -------------------- ,

(1+]!т)т (l+j/m)

для последней — ----------- !--------

(1+у//л)"м

Отсюда следует выражение для современной стоимости ренты:

я | я ^ ( я

"(1+]!т)т (l+j/ т)2т+"' (1+у/т)"

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

<< | >>
Источник: Л.П. Гончаренко. Инвестиционный менеджмент : учебное пособие. — М.: КНОРУС, - 296 с.. 2005

Еще по теме 3.1. Оптимизация и совершенствование системы управления в инвестиционном менеджменте Типы потоков платежей:

  1. § 1. Организационно-правовая система управления
  2. § 1. Организационно-правовая система управления
  3. § I. Организационно-правовая система управления
  4. 2.1. СИСТЕМА ОРГАНИЗАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  5. 3.1. Оптимизация и совершенствование системы управления в инвестиционном менеджменте Типы потоков платежей
  6. 6.2.6. Совершенствование системы управления государственным долгом
  7. 1.5. Диагностика системы управления финансами
  8. Автоматизированные системы управления финансами
  9. 11.3. Автоматизированные системы управления финансами
  10. 1.4 Система управления конкурентоспособностью продукции
  11. Система управления и ее элементы