3.1. КОНЦЕПЦИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ

Инвестиционный менеджмент требует постоянного осуществления различного рода финансово-экономических расчетов, связанных с пото­ками денежных средств в разные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени.

Концепция стоимости денег во времени состоит в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли на финансовом рынке, в качестве которой обычно высту­пает норма ссудного процента (или процента). Иными словами, в со­ответствии с этой концепцией одна и та же сумма денег в разные периоды времени имеет разную стоимость; эта стоимость в настоящее время всегда выше, чем в любом будущем периоде.

Концепция стоимости денег во времени играет основополагающую роль в практике инвестиционных вычислений. Она предопределяет необ­ходимость учета фактора времени в процессе осуществления любых долгосрочных инвестиционных операций путем оценки и сравнения стоимости денег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли, амортизационных отчислений, основной суммы долга и т.д.

Оценка стоимости денег с учетом фактора времени требует пред­варительного рассмотрения связанных с ней базовых понятий. Ниже изложено содержание основных из этих понятий. ПРОЦЕНТ — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозит­ный процент, кредитный процент, процент по облигациям, процент по векселям и т.п.). ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ — сумма дохода, начисляемого к основной сум­ме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты платежей не осуществляются. Начисление простого процента при­меняется, как правило, при краткосрочных инвестиционных опе­рациях.

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ — сумма дохода, начисляемого в каждом интер­вале, которая не выплачивается, а присоединяется к основной сумме капитала и в последующем платежном периоде сама приносит до­ход.

будущей суммы соответствующей суммы процентов (называемой „дисконтом').

ПЕРИОД НАЧИСЛЕНИЯ — общий период времени, в течение которо­го осуществляется процесс наращения или дисконтирования сто­имости денежных средств. ИНТЕРВАЛ НАЧИСЛЕНИЯ — обусловленный конкретный временной срок (в пределах общего периода начисления), в рамках которого рассчитывается отдельная сумма процента по установленной его ставке (осуществляется отдельный платеж процента). ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТА (метод прену- мерандо или антисипативный метод) — способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в начале каж­дого интервала.

ПОСЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТА (метод постнуме- рандо или декурсивный метод) — способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в конце каждого ин­тервала.

ДИСКРЕТНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК — поток денежных средств по ин­вестиционной деятельности, имеющий четко ограниченный период начисления процентов и конечный срок возврата основной суммы капитала.

НЕПРЕРЫВНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК — поток денежных средств по инвестиционной деятельности, период начисления процентов по которому не ограничен, а соответственно не определен и конеч­ный срок возврата основной суммы капитала. АННУИТЕТ (ФИНАНСОВАЯ РЕНТА) — длительный инвестиционный по­ток платежей, характеризующийся одинаковым уровнем процент­ных ставок на протяжении всего периода.

Среди изложенных базовых понятий, связанных с оценкой сто­имости денег во времени, наиболее сложным является понятие про­центной ставки, по которой осуществляется процесс наращения и дисконтирования стоимости денежных средств. Это понятие отличает­ся многообразием конкретных его видов, используемых в практике инвестиционных вычислений. Процентная ставка, используемая в про­цессе наращения или дисконтирования стоимости денежных средств (оценки их будущей и настоящей стоимости), классифицируется по следующим основным признакам (рис. З.1.).

1. По использованию в процессе форм оценки стоимости денег во времени различают ставку наращения и ставку дисконтирования (дисконтную ставку).

Ставка наращения представляет собой процентную ставку, по которой осуществляется процесс наращения стоимости денежных средств (компаундинг), т.е. определяется их будущая стоимость.

КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

Рисунок 3.1. Классификация видов процентной ставки, ис­пользуемой в процессе оценки стоимости де­нег во времени.

Ставка дисконтирования (дисконтная ставка) представляет со­бой процентную ставку, по которой осуществляется процесс дискон­тирования стоимости денежных средств, т.е. определяется их настоя­щая стоимость.

2. По стабильности уровня используемой процентной ставки в рамках периода начисления выделяют фиксированную и плаваю­щую процентные ставки.

Фиксированная ставка характеризуется неизменным ее уровнем на протяжении всех интервалов общего периода начисления.

Плавающая (или переменная) процентная ставка характеризу­ется регулярно пересматриваемым ее уровнем по соглашению сторон в разрезе отдельных интервалов общего периода начислений. Такой пересмотр обусловливается изменением средней нормы процента на финансовом рынке (или в отдельных его сегментах), изменением темпа инфляции и другими условиями.

3. По обеспечению начисления определенной годовой сум­мы процента различают периодическую и эффективную процентные ставки.

Периодическая ставка процента при обеспечении определен­ной годовой суммы процента может варьировать как по уровню, так и по продолжительности отдельных интервалов на протяжении годового периода платежей.

Эффективная ставка процента (или ставка сравнения) харак­теризует среднегодовой ее уровень, определяемый отношением годо­вой суммы процента, начисленного по периодическим его ставкам, к основной сумме капитала.

4. По условиям формирования различают базовую и договор­ную процентные ставки.

Базовая процентная ставка характеризуется определенным ис­ходным ее уровнем в качестве первоначальной основы последующей ее конкретизации кредитором (заемщиком) в зависимости от условий осуществления соответствующей инвестиционной операции.

Договорная процентная ставка характеризует конкретизи­рованный ее уровень, согласованный кредитором и заемщиком и отра­женный в соответствующем инвестиционном договоре.

Система основных базовых понятий позволяет последовательно рассмотреть методический инструментарий оценки стоимости денег во времени в разрезе наиболее характерных вариантов осуществления такой оценки. Этот методический инструментарий дифференцируется в разрезе следующих видов вычислений (рис. З.2.).

I. Методический инструментарий оценки стоимости денег по простым процентам использует наиболее упрощенную систему рас­четных алгоритмов.

1. При расчете суммы простого процента в процессе нара­щения стоимости (компаундинга) используется следующая формула:

/ = Р х п х /,

где / — сумма процента за обусловленный период времени в целом;

Р — первоначальная сумма (стоимость) денежных средств;

п — количество интервалов, по которым осуществляется расчет

ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ К ОЦЕНКЕ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ПРИ ДИСКРЕТНЫХ ПОТОКАХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ПРИ ДИСКРЕТНЫХ ПОТОКАХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ

МЕТОДИЧЕСКИЙ НСТРУМЕНТАРИЙ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ПРИ АННУИТЕТЕ

В процессе наращения стоимости

В процессе дисконтирова­ния стоимости

В процессе наращения стоимости

В процессе дисконтирова­ния стоимости

В процессе наращения стоимости

В процессе дисконтирова­ния стоимости

Рисунок 3.2.

процентных платежей, в общем обусловленном периоде времени;

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае будущая стоимость вклада (S) с учетом начислен­ной суммы процента определяется по формуле:

S = р + / = р_х (1 + л/) .

Пример: Необходимо определить сумму простого про­цента за год при следующих условиях: первоначальная сумма вклада — 1000 усл. ден. eg.; процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально — 20%.

Подставляя эти значения в формулу, получим сумму про­цента:

I = 1000 х 4 х 0,2 = 800 усл. ден. eg.; будущая стоимость вклада в этом случае составит: S = 1000 + 800 = 1800 усл. ден. eg.

Множитель (1 + т) называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно быть больше единицы.

2. При расчете суммы простого процента в процессе дискон­тирования стоимости (т.е. суммы дисконта) используется следую­щая формула:

D = S-Sx —-— , 1 +л/

где D — сумма дисконта (рассчитанная по простым процентам) за обусловленный период времени в целом; S — стоимость денежных средств;

п — количество интервалов, по которым осуществляется расчет процентных платежей, в общем обусловленном периоде времени;

/ — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае настоящая стоимость денежных средств (Р) с учетом рассчитанной суммы дисконта определяется по следующим формулам:

Р = S-D = S—-— .

1 +л/

Пример: Необходимо определить сумму дисконта по про­стому проценту за год при следующих условиях: конечная сумма вклада определена в размере 1000 усл. ден. eg.; дисконтная ставка составляет 20% в квартал.

5 0-658 129

Подставляя эти значения в формулу расчета суммы дис­конта, получим:

D = 1000 -1000------------------ = 444 усл. ден. eg.

1 + 4x0,2

Соответственно настоящая стоимость вклада, необ­ходимого для получения через год 1000 усл.

Р= 1000- 444 = 556 усл. ден. eg.

1

Используемый в обоих случаях множитель (_{1 +} . ) называется

дисконтным множителем (коэффициентом) суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.

II. Методический инструментарий оценки стоимости денег по сложным процентам использует более обширную и более усложнен­ную систему расчетных алгоритмов.

1. При расчете будущей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения по сложным процентам исполь­зуется следующая формула:

S_c = Px(1 +/)",

будущая стоимость вклада (денежных средств) при его на­ращении по сложным процентам; первоначальная сумма вклада;

используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма процента (1_С) в этом случае определяется по формуле:

l_c = S_c-P,

Пример: Необходимо определить будущую стоимость вклада и сумму сложного процента за весь период инвести­рования при следующих условиях: первоначальная стоимость вклада — 1000усл. ден. eg.; процентная ставка, используемая при расчете суммы слож­ного процента, установлена в размере 20% в квартал; общий период инвестирования — один год.

Подставляя эти показатели в вышеприведенные форму­лы, получим:

Будущая стоимость вклада =

= 1000 х (1 + 0,2)⁴ = 2074 усл. ден. eg. Сумма процента =

= 2074 - 1000 = 1074 усл. ден. eg.

2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по сложным процентам используется следующая формула:

Q

Рс =

(1₊/Г •

где Р_с — первоначальная сумма вклада;

S — будущая стоимость вклада при его наращении, обусловлен­ная условиями инвестирования; / — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма дисконта (D_c) в этом случае определяется по формуле:

0_c = S-P_c,

Пример: необходимо определить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта по сложным процентам за год при следующих условиях:

будущая стоимость денежных средств определена в разме­ре 1000 усл. ден. eg.;

используемая для дисконтирования ставка сложного процен­та составляет 20% в квартал.

Подставляя эти значения в формулы, получим:

1000

Настоящая стоимость ---------------- = 482 усл. ден. eg.

(1 + 0,2)

Сумма дисконта = 1000 - 482 = 518 усл. ден. eg.

3. При определении средней процентной ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула:

v^PC ,

V /

где / — средняя процентная ставка, используемая в расчетах сто­имости денежных средств по сложным процентам, выражен­ная десятичной дробью;

Яс — будущая стоимость денежных средств;

Р_с — настоящая стоимость денежных средств; п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: необходимо определить годовую ставку доход­ности облигации при следующих условиях: номинал облигации, подлежащий погашению через три года, составляет 1000 усл. ден. ед.;

цена, по которой облигация реализуется в момент ее эмис­сии, составляет 600 усл. ден. ед.

Подставляя эти значения в формулу, получим: годовая ставка доходности =

1 /3

- =1,666^1/3 - 1 = 0,186 (18,6%).

600

4. Длительность общего периода платежей, выраженная коли­чеством его интервалов, в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам определяется путем логарифмирования по следующей формуле:

_ Іод (5_С /Р_с ) 1од (1 + /) '

где 5_С — будущая стоимость денежных средств; Р_с — настоящая стоимость денежных средств; / — используемая процентная ставка, выраженная десятичной

дробью.

5. Определение эффективной процентной ставки в процессе наращения стоимости денежных средств по сложным процентам осуществляется по формуле:

— периодическая процентная ставка, используемая при нара­щении стоимости денежных средств по сложным процен­там, выраженная десятичной дробью;

— количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый процентный платеж по периодической процентной ставке на протяжении года.

Пример: необходимо определить эффективную средне­годовую процентную ставку при следующих условиях: денежная сумма 1000 усл. ден. eg. помещена в коммерческий банк на депозит сроком на 2 года;

годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осу­ществляется начисление процента, составляет 10% (0,1).

Подставляя эти значения в формулу, получим:

-1 = (1 + 0,025)⁴ - 1 = 0,1038 (10,38%).

Результаты расчетов показывают, что условия поме­щения денежной суммы сроком на 2 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов, равнозначны ус­ловиям начисления этих процентов один раз в год под 10,38% годовых (10,38% составляет размер эффективной или срав­нимой процентной ставки).

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка процента, но и число интер­валов выплат в течение одного и того же общего платежного периода. Иногда оказывается более выгодным инвестировать деньги под мень­шую ставку процента, но с большим числом интервалов в течение пре­дусмотренного периода платежа.

Пример: Перед инвестором стоит задача разместить 100 усл. ден. ед. на депозитный вклад сроком на. один год. Один банк предлагает инвестору выплачивать доход по слож­ным процентам в размере 23% в квартал; второй — в раз­мере 30% один раз в четыре месяца; третий — в размере 45% два раза в году; четвертый — в размере 100% один раз в году.

Для того, чтобы определить, какой вариант инвести­рования лучше, построим таблицу 3.1:

Сравнение вариантов показывает, что наиболее эффек­тивным является 1-й вариант (выплата дохода в размере 23% один раз в квартал).

Используемые в процессе оценки стоимости денег множители 1

щения и множителем дисконтирования суммы сложных процентов. Они положены в основу специальных таблиц инвестиционных вычислений, с помощью которых при заданных размерах ставки процента и коли­чества платежных интервалов можно легко вычислить настоящую или будущую стоимость денежных средств по сложным процентам.

III. Методический инструментарий оценки стоимости денег при аннуитете связан с использованием наиболее сложных алгоритмов и определением метода начисления процента — предварительным (пре- нумерандо) или последующим (постнумерандо).

1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула:

где SA_pre — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях предварительных платежей (пренумерандо); R — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятич­ной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных: период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет;

интервал платежей по аннуитету составляет один год (пла­тежи вносятся в начале года);

сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) со­ставляет 1000усл. ден. eg.;

используемая для наращения стоимости процентная став­ка составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим: будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях предварительных платежей (пренумерандо), равна:

(1+ 01)⁵ -1

1000 х i------ ^--------- х (1 + 0,1) = 6716 усл. ден. единиц.

2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществля­емого на условиях последующих платежей (постнумерандо), приме­няется следующая формула:

SApost ~ ~—у---------------- »

где SA_post — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на ус­ловиях последующих платежей (постнумерандо); R — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятич­ной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих пла­тежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыду­щем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим: будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях последующих платежей (постнумерандо), равна:

(1 + 0 if

1000х--------- ^--------- = 6105 усл. ден. единиц.

Сопоставление результатов расчета по двум примерам показывает, что будущая стоимость аннуитета, осущест­вляемого на условиях предварительных платежей, существен­но превышает будущую стоимость аннуитета, осуществ­ляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае инвестору обеспечена гораздо большая сумма дохода.

3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществ­ляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), используется следующая формула:

где РАр_Ге — настояифя стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо); R — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

/ — используемая процентная (дисконтная) ставка, выражен­ная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета_t осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных: период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет;

интервал платежей по аннуитету составляет один год (при внесении платежей в начале года); сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) со­ставляет 1000 усл. ден. eg.;

используемая для дисконтирования стоимости ставка про­цента (дисконтная ставка) составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим: настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на ус­ловиях предварительных платежей (пренумерандо), равна:

1000х¹ ^ х (1 + 0,1) = 4169усл. ден. единиц.

4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осущест­вляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), при­меняется следующая формула:

где РА^ — настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо); Я — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

/ — используемая процентная (дисконтная) ставка, выражен­ная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих пла­тежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыду­щем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим: настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на ус­ловиях последующих платежей (постнумерандо), равна:

1-(1 + 0 1)~⁵ 1000 х — ₀₁ — = 3790 усл. ден. единиц.

Сопоставление результатов расчета по двум последним примерам показывает, что настоящая стоимость аннуите­та, осуществляемого на условиях предварительных плате­жей, существенно превышает настоящую стоимость анну­итета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае в процессе дисконтирования инвестору гарантирована гораздо большая сумма дохода в настоящей стоимости.

5. При расчете размера отдельного платежа при заданной буду­щей стоимости аннуитета используется следующая формула:

Я = ЭА

post^х 7~ rz

(1 + /)^л-1^|

где R — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной будущей его стоимости);

^SApost — будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей); / — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым намечается осущест­влять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:

_ /(1 + /)^я

где Я — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при

известной текущей его стоимости); РА_р08( — настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на усло­виях последующих платежей);

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым намечается осуществ­лять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

В процессе расчета аннуитета возможно использование упрощен­ных формул, основу которых составляет только член аннуитета (раз­мер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффициент) его наращения или дисконтирования.

В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид:

= х 1А ,

где БАро— будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на ус­ловиях последующих платежей);

Я — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

1а — множитель наращения стоимости аннуитета, определя­емый по специальным таблицам, с учетом принятой про­центной ставки и количества интервалов в периоде пла­тежей.

Соответственно, формула для определения настоящей стоимо­сти аннуитета имеет вид:

щePAp_0St— настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

/? — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

О/1 — дисконтный множитель аннуитета, определяемый по спе­циальным таблицам, с учетом принятой процентной (дис­контной) ставки и количества интервалов в периоде пла­тежей.

Использование стандартных множителей (коэффициентов) нара­щения и дисконтирования стоимости существенно ускоряет и облег­чает процесс оценки стоимости денег во времени.