Задать вопрос юристу

Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью «Portfolio Selection», которая легла в основу теории инвести­ционного портфеля[1]. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е.
полученный в результате инвестирования доход не реинвести­руется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марко­вица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реаги­рует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величи­нами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой порт­фель, оценивает лишь два показателя Е(г) - ожидаемую доходность и О - стандартное отклонение как меру риска (только эти два пока­зателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оце­нить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и вы­брать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания - обеспечивает максимальную доходность г при допус­тимом значении риска О. Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения «доход­ность-риск».

Эффективные портфели. Цель любого инвестора - составить такой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально воз­можную отдачу с минимально допустимым риском. Раскроем преж­де всего взаимосвязь эффекта корреляции и риска инвестиционного портфеля.

Сравнение значений стандартных отклонений различных портфелей позволяет сделать два важных вывода: во-первых, при

одних и тех же значениях Р1 2 разным портфелям соответствуют

разные величины О, то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля. Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корре­ляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).

Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, ..., п), имеющих любые попарные коэффициенты доходностей в пределах от (- 1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя «вес» каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соот­ветствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходно­сти Е(гл) и риска (стандартное отклонение Од). Перенеся эти соот­ношения на координатную плоскость с осями Е(г) и О, получим точ­ку А с координатами [Е(гл); Ол] на рисунке 7.1.


Заштрихованная площадь Б представляет зону возможного сущест­вования портфелей, создаваемых из п выбранных ценных бумаг.

Для другого набора этих же ценных бумаг с определенным «ве­сом» каждой бумаги получим другое соотношение ожидаемой доход­ности и риска (например, точка N на рис. 7.1). Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвесто­ром, путем варьирования их «веса» можно получить бесконечное ко­личество портфелей[2]. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике (рис. 7.1), то получим совокупность точек - зону, опреде­ляющую все возможные портфели для выбранного количества цен­ных бумаг.

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфе­лей, так называемой границы эффективности. Суть теоремы сво­дится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при ка­ждом уровне риска.

2. Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожи­даемой доходности.

Иначе говоря, если инвестор выбрал п ценных бумаг со своими характеристиками [Е(г^; СТр СТ’; р’, где Й = 1,2,.. ,,п], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку 7.1, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности не определил ин­вестор (например, Е(гт) на рис. 7.1), всегда путем перебора весов цен­ных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уро­вень риска достигает минимального значения (на рис. - точка М).

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности - на рис.

7.1 это линия И. Как видно из данного рисунка, при перемещении по границе вверх-вправо вели­чины Е(г) и СТ увеличиваются, а при движении вниз-влево - умень­шаются.

Итак, эффективный портфель - это портфель, который обес­печивает минимальный риск при заданной величине Е(г) и макси­мальную отдачу при заданном уровне риска.

Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказыва­ет степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг - чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффи­циент корреляции приближается к (- 1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации - измене­ния количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов - ин­вестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена пу­тем диверсификации, называется диверсифицируемым, или не­систематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся ди­версификацией, носит название недиверсифицируемого, или сис­тематического риска.

Общая постановка задачи нахождения границы эффектив­ных портфелей. Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бес­конечное число портфелей, или, иными словами, можно сформули­ровать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бес­конечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи Е(гп) не­обходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уро­вень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к сле­дующему:

- необходимо найти минимальное значение дисперсий портфеля

~ П п п

О п = 2 ^2 О 2 +22 ; о ■ (7.1)

!=1 1 )

- при заданных начальных условиях:

Е(гпортфеля) = 2 ^ Е(г;) (7.2)

1=1

22 = 1 (7.3)

1=1

Существуют три способа решения подобного рода задач - графический, математический и с использованием компьютерных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необхо­димо учитывать, что при п > 3 этот способ мало применим, посколь­ку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко ис­пользуется на практике. Наконец, с помощью специальных про­грамм можно решать подобные задачи с дополнительными началь­ными условиями.

Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфе­ля, содержащего п ценных бумаг, необходимо первоначально вы­числить:

а) п значений ожидаемой доходности Е(гі), где і = 1, 2,., п ка­ждой ценной бумаги в портфеле;

б) п значений дисперсий О2і каждой ценной бумаги;

в) п(п-1)/2 значений ковариации Оі,|, где і,і = 1, 2,., п.

Способы их вычисления приведены ранее. Если подставить значения Е(гі), Оі и Оі,| в уравнения (7.1) - (7.3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi - «веса» каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из п акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е* ин­вестор должен найти такие значения Wi, при которых риск инвести­ционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для вы­бранного значения Е* инвестор должен определить, какие суммы ин­вестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

Нахождение оптимального портфеля. В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы со­четание ожидаемой доходности Е(г) и уровня риска О портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания Е(г) и О, поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об опти­мальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо ин­дивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоре­тически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптималь­ный портфель непременно является эффективным, то есть инве­сторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

7.2.

<< | >>
Источник: Максимова В.Ф.. ИНВЕСТИЦИИ. Учебно-методический комплекс. - М.: Изд. центр ЕАОИ. - 182 с. 2008

Еще по теме Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица:

  1. Портфель Марковица минимального риска
  2. Портфель Марковица и Тобина максимальной эффективности
  3. 7.7 Приложение: модель Марковица и CAPM
  4. 2.4. Модели и методы оптимизации структуры управляющей компании
  5. Оптимизация портфеля из п разновидностей ценных бумаг
  6. Оптимизация портфеля из рискового и безрискового активов
  7. Математическое приложение 1: Оптимизация структуры портфеля из п разновидностей рисковых ценных бумаг
  8. 12.1. ПРОЦЕСС ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
  9. 8.1. Цель и задачи управления инвестиционным портфелем
  10. 8.9. Формирование и оперативное управление инвестиционным портфелем
  11. Формирование наиболее предпочтительного инвестиционного портфеля
  12. 9.2. Типы портфелей ценных бумаг и инвестиционных стратегий
  13. ФОРМИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
  14. Управление инвестиционным портфелем организации
  15. МЕЖДУНАРОДНЫЙ КРАТКОСРОЧНЫЙ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОРТФЕЛЬ ФИРМЫ 2.1.
  16. Глава 8УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ РЕАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
  17. 7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)
  18. 4.2. Государственная инвестиционная и инновационная политика: методы управления инвестиционным процессом
  19. Харчистов Б.Ф.. Методы оптимизации, 2004
  20. Методы локальной оптимизации