<<
>>

1.3.1. Простые проценты

Рассмотрим процесс наращения (accumulation), т. е. определения денеж­ной суммы в будущем, исходя из заданной суммы сейчас. Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, кото­рой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции.
Здесь идёт движение денежного потока от настоящего к будущему.

Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне интенсивности начисления процентов i.

Рисунок 3 - Логика финансовой операции наращения

При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги) определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов.

Из определения процентов не трудно заметить, что проценты (процент­ные деньги) представляют собой, по сути, абсолютные приросты:

I = ГУ - РУ, (1.1)

а поскольку база для их начисления является постоянной, то за ряд лет общий абсолютный прирост составит их сумму или произведение абсолютных приро­стов на количество лет ссуды:

xn=ixPVxn
(1.2)

"ГУ - РУ'

I = (FV - PV) X n

PV x PV

где і = (РУ- РУ) / РУ по определению процентной ставки.

Таким образом, размер ожидаемого дохода зависит от трёх факторов: от величины инвестированной суммы, от уровня процентной ставки и от срока финансовой операции.

Тогда наращённую сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом:

ГУ = РУ +1 = РУ +1X РУ X п = РУ X (1 +гX п) = РУ X кн, (1.3)

где кн - коэффициент (множитель) наращения простых процентов.

Данная формула называется «формулой простых процентов». Поскольку коэффициент наращения представляет собой значение функ­ции от числа лет и уровня процентной ставки, то его значения легко табулиру­ются. Таким образом, для облегчения финансовых расчётов можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты наращения по простым процентам.

Пример. Сумма в размере 2000 рублей дана в долг на 2 года по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежа­щую возврату. Решение:

Наращённая сумма будет равна:

ГУ = РУ X (1 + п Xг) = 2000 X (1 + 2 X 0,1) = 2400 руб.

или

ГУ = РУ X кн = 2000 X 1,2 = 2400 руб.

Сумма начисленных процентов равна:

I = РУ X п X г = 2000 X 2 X 0,1 = 400 руб.

или

I = ГУ - РУ = 2400 - 2000 = 400 руб.

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в раз­мере 2 400 рублей, из которой 2 000 рублей составляет долг, а 400 рублей - «цена долга».

Следует заметить, что подобные задачи на практике встречаются редко, поскольку к простым процентам прибегают в случаях:

- выдачи краткосрочных ссуд, т. е. ссуд, срок которых либо равен году, либо меньше его, с однократным начислением процентов;

- когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически вы­плачиваются.

В тех случаях, когда срок ссуды менее года, происходит модификация формулы (1.3):

а) если срок ссуды выражен в месяцах (М), то величина п выражается в виде дроби:

п = М/12,

тогда все формулы можно представить в виде:

М

ГУ = РУ х (1 + — Xг);

12

I = РУ х М х г; (1.4)

12

М

к = 1 +----- х I.

н 12

Пример. Изменим условия предыдущего примера 1, снизив срок долга до 6 месяцев.

Решение:

Наращённая сумма:

ГУ = 2000 х (1 + — х 0,1) = 2100 руб 12 ^

или

ГУ = РУ х кн = 2000 х 1,05 = 2100 руб. Сумма начисленных процентов:

I = 2000 х 6 х 0,1 = 100 руб.

или

I = ГУ - РУ = 2100 - 2000 = 100 руб. Таким образом, через полгода необходимо вернуть общую сумму в раз­мере 2 100 рублей, из которой 2 000 рублей составляет долг, а проценты - 100 рублей.

б) если время выражено в днях (/), то величина п выражается в виде сле­дующей дроби:

г

п = —

Г'

где г - число дней ссуды, т. е. продолжительность срока, на который выдана ссуда;

Г - расчётное число дней в году (временная база).

Отсюда модифицированные формулы имеют следующий вид:

FV = PV x (1 + j x i);

I = PVx tx i; (1.5)

k = 1 + — x i.

н r~r

Здесь возможны следующие варианты расчёта:

1. Временную базу (T) можно представить по-разному:

- условно состоящую из 360 дней. В этом случае речь идёт об обыкно­венном (ordinary interest) или коммерческом проценте;

- взять действительное число дней в году (365 или 366 дней). В этом случае получают точный процент (exact interest).

2. Число дней ссуды (t) также можно по-разному определять:

- условно, исходя из того, что продолжительность любого целого месяца составляет 30 дней, а оставшиеся дни от месяца считают точно, - в результате получают так называемое приближенное число дней ссуды;

- используя прямой счёт или специальные таблицы порядковых номеров дней года, рассчитывают фактическое число дней между датами, - в этом слу­чае получают точное число дней ссуды.

Таким образом, если время финансовой операции выражено в днях, то расчёт простых процентов может быть произведён одним из трёх возможных способов:

- Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды или, как часто называют, «германская практика расчёта», когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а целого месяца - за 30 дней. Этот спо­соб обычно используется в Германии, Дании, Швеции.

- Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, или «фран­цузская практика расчёта», когда продолжительность года условно принимает­ся за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю. Этот способ имеет распространение во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии.

- Точные проценты с точным числом дней ссуды, или «английская практика расчёта», когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по календарю. Этот способ применяется в Португалии, Англии, США.

Чисто формально возможен и четвёртый вариант: точные проценты с приближенным числом дней ссуды, - но он лишён экономического смысла.

Вполне естественно, что в зависимости от использования конкретной практики начисления простых процентов их сумма будет различаться по абсо­лютной величине.

Для упрощения процедуры расчёта точного числа дней финансовой опе­рации пользуются специальными таблицами порядковых номеров дней года (Прил. А), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Точное количество дней получается путём вычитания номера первого дня финансовой операции из номера последнего дня финансовой операции. При определении продолжительности финансовой операции дата выдачи и дата погашения счи­таются за один день.

Пример. Сумма 2 млн руб. положена в банк 18 февраля не високосного года и востребована 25 декабря того же года. Ставка банка составляет 35% го­довых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления.

Решение:

Германская практика начисления простых процентов:

Временная база принимается за 360 дней, Т = 360.

Количество дней ссуды:

t = 11 (февраль) + 30 (март) + 30 (апрель) + 30 (май) + 30 (июнь) +

+ 30 (июль) + 30 (август) + 30 (сентябрь) + 30 (октябрь) + 30 (ноябрь) +

+ 25 (декабрь) - 1 = 305 дней

Сумма начисленных процентов:

I = 2000000 X 305 X 0,35 = 593055,55 руб.

360

Французская практика начисления процентов: Временная база принимается за 360 дней, Т = 360. Количество дней ссуды:

t = 11 (февраль) + 31 (март) + 30 (апрель) + 31 (май) + 30 (июнь) + + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 30 (ноябрь) + + 25 (декабрь) - 1 = 310 дней

По таблицам порядковых номеров дней в году (Прил. А) можно опреде­лить точное число дней финансовой операции следующим образом:

t = 359 - 49 = 310 дней. Сумма начисленных процентов:

I = 2000000 X 310 X 0,35 = 602777,78 руб. 360

Английская практика начисления процентов:

Временная база принимается за 365 дней, Т = 365.

Количество дней ссуды берётся точным, ї = 310 дней.

Сумма начисленных процентов:

I = 2000000 х 310 х 0,35 = 594520,55 руб.

365

Как видно, результат финансовой операции во многом зависит от выбора способа начисления простых процентов. Поскольку точное число дней в боль­шинстве случаев больше приближенного числа дней, то и проценты с точным числом дней ссуды обычно получаются выше процентов с приближенным чис­лом дней ссуды.

В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зави­сит от значительности сумм, фигурирующих в финансовой операции.

В банковской практике размещённый на длительное время капитал может в течение этого периода времени изменяться, т. е. увеличиваться или умень­шаться путём дополнительных взносов или отчислений. Таким образом, при обслуживании счетов банки сталкиваются с непрерывной сетью поступлений и расходованием средств и начислением процентов на постоянно меняющуюся сумму. В этой ситуации в банковской практике используется правило: общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начислен­ных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.

Это касается и дебетовой, и кредитовой части счёта. Разница лишь в том, что кредитовые проценты вычитаются.

В таких случаях для расчёта процентов используется методика расчёта с вычислением процентных чисел: каждый раз, когда сумма на счёте изменяется, производится расчёт «процентного числа» за период, в течение которого сум­ма на счёте была неизменной. Процентное число вычисляется по формуле (1.6):

ПТГ РУ х ї

ПЧ =---------- (1 6)

100 ' ^ ;

где ПЧ - процентное число;

РУ - сумма на счёте;

ї - длительность периода в днях.

Для определения суммы процентов за весь срок их начисления все «про­центные числа» складываются, и их сумма делится на постоянный делитель, который носит название «процентный ключ» или дивизор Б, определяемый отношением количества дней в году к годовой процентной ставке:

у ПЧ

1 -уГ' (1-7)

т

где Б -—, Т - продолжительность года в днях; г

г - годовая ставка процентов.

Проценты, вычисляемые с использованием дивизора, рассчитанного ис­ходя из 365 дней в году, будут меньше, чем проценты по дивизору, где количе­ство дней в году принято за 360, поэтому при обслуживании конкретного клиента всегда используется один из дивизоров.

Методика с использованием процентных чисел по своей сути является последовательным применением формулы простых процентов для каждого ин­тервала постоянства суммы на счёте:

I - /1 + 12 + 13 - РУ1 х х I + РУ2 х х I + РУ3 х х I. (1.8)

Пример. При открытии сберегательного счёта по ставке 28% годовых, 20 мая 2013 года была положена сумма в размере 1 000 рублей, а 5 июля на счёт добавлена сумма в 500 руб., 10 сентября снята со счёта сумма в 750 руб., а 20 ноября счёт был закрыт. Используя процентные числа определить сумму начисленных процентов при условии, что банк использует «германскую практику». Решение:

Срок хранения суммы в 1000 руб. составил 46 дней, тогда

ПЧ, - 1™х4« - 4б0; 1 100

срок хранения суммы в размере 1500 руб. составил 66 дней, откуда

ПЧ - 1500 х 66 - 990; 2 100

срок хранения уменьшенной до 750 руб. суммы составил 70 дней:

ПЧ3 - 750х20 - 525; 3 100

Б - 360 - 12,857. 28

Следовательно, сумма начисленных процентов за период действия сбере­гательного счёта составит:

I = (460 + 990 + 525)/12,857 = 153,61 руб.

Можно проверить правильность произведённых нами расчётов, исходя из сути процентов:

I = 1000 х — х 0,28 +1500 х — х 0,28 + 750 х — х 0,28 = 153,61руб.

360 360 360

Как видим, результат вычислений тот же самый.

Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматри­ваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает собственника денег периодически варьировать процентной ставкой. В таких случаях наращённую сумму определяют, исполь­зуя формулу (1.9):

ГУ = РУ х (1 + п1 х 11 + п2 х 12 +... + пк х 1к, (1.9)

где к - количество периодов начисления;

пк - продолжительность к-го периода;

1к - ставка процентов в к-ом периоде.

Пример. Вклад в сумме 5000 руб. был положен в банк 25 мая не високос­ного года по ставке 35% годовых, а с 1 июля банк снизил ставку по вкладам до 30% годовых и 15 июля вклад был востребован. Определить сумму начислен­ных процентов при английской практике их начисления.

Решение:

Количество дней для начисления процентов по первоначально действу­ющей процентной ставке в размере 35% годовых рассчитывается точно и со­ставляет 37 дней, а по изменённой ставке 30% годовых - 14 дней.

Отсюда величина процентов будет равна:

234,93 руб.

37 14

I = 5000х
у

х 0,35 +----- х 0,30

365 365

Таким образом, при закрытии счёта клиент должен получить процентов в сумме 234,93 руб.

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (РУ), наращённая или будущая величина (ГУ), процентная ставка (/) и время (п).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или её анализе возни­кает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово- коммерческих расчётах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда из­вестна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

ГУ _ РУ

п =-------------

РУ х г '

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная ба­за в качестве сомножителя:

(гу_ру\

г = ——— х т. (1.10)

V РУх г )

Пример. На сколько дней можно дать в долг 1 000 долларов, исходя из 8% годовых, если возвращённая сумма будет составлять 1 075 долларов? Решение:

Исходя из формулы срока долга для простых процентов, следует: - для обычных процентов

hspace=0 vspace=0 align=left> '1075 _ 1000Л V 1000 х 0,08 ,

ГУ _ РУ V РУхг у
х 360 = 338 дней;
х Т
г

для точных процентов

'1075-1000 Л ч 1000 х 0,08 ,
(ГУ_РУЛ V РУхг ,
х 365 = 342 дня.
х т
г

Таким образом, сумма в 1000 долларов может быть предоставлена на срок в 342 дня, если в условиях финансовой операции будет использован термин «точные проценты», а по умолчанию или использованию термина «обыкновен­ные проценты», срок ссуды сокращается до 338 дней.

Необходимость определения уровня процентной ставки возникает в тех случаях, когда она в явном виде в условиях финансовой операции не участвует, но степень доходности операции по заданным параметрам можно определить, воспользовавшись формулой (1.1):

ґРУ-РУл к РУхі ,
РУ - РУ РУ х п
х Т. (1.11)
І =

Пример. В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме 1200 долларов, при первоначальной сумме долга 1 150 долла­ров. Определить доходность операции для кредитора в виде процентной ставки. Решение:

Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу «обыкновен­ного процента», поскольку в условиях сделки нет ссылки на «точный процент»:

^ 1200 -1150 Л

х 360 = 0,13.

1150 х 120

Таким образом, доходность финансовой операции составит 13% годовых, что соответствует весьма высокодоходной финансовой операции, т. к. обычно доходность подобных операций колеблется от 2% до 8%.

<< | >>
Источник: Броило Е. В.. Основы финансовых вычислений [Текст] : учеб. пособие / Е. В. Броило. - Ухта : УГТУ, - 106 с. 2015

Еще по теме 1.3.1. Простые проценты:

  1. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
  2. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
  3. 1.3.1. Простые проценты
  4. 2.1.2. Потоки платежей в схеме простых процентов
  5. 7.2.2. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СХЕМЫ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
  6. 1.2. ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ
  7. 1.1.Наращение простых процентов
  8. Простые проценты
  9. 2.1.2. Потоки платежей в схеме простых процентов
  10. §3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам
  11. Раздел I. Начисление простых процентов
  12. Практика начисления простых процентов
  13. Наращение по простым процентам
  14. 1.1 Модели развития операций по схеме простых процентов
  15. 1.5.1. Начисление простых процентов с учетом инфляции
  16. Лекция 1: ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ
  17. 2.1. Наращение по схеме простых процентов
  18. 1.2. Простые проценты
  19. ГЛАВА 3. Простые проценты