<<
>>

СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

- определение ставок и условий начисления процентов путем комбинирования типовых схем. К основным схемам начисления относятся следующие.

Однократное начисление по истечении года в течение л лет.

Это

базовый, наиболее распространенный вариант. Начисленные проценты присоединяются к исходной сумме. Следовательно, размер инвестированного капитала к концу л-го года будет равен величине F„ , найденной по формуле (С17), где в качестве базисного периода принят год.

Несложно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Пример

Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если (а) годовая ставка 20%; (б) периоды наращения: 90 дней, 186 дней, 1 год,5лет, Юлет. Полагать, что в году 360 дней.

Решение

Результаты расчетов с помощью формул (С15) и (CI7) имеют следующий вид:

(тыс. руб.) Схема 90 дней 180 дней 1 год 5 лет 10 лет начисления (п - 1/4) (п = 1/2) (п = О (п = 5) (n = 10) Простые проценты 1,05 1,10 1,20 2,0 3,0 Сложные проценты 1,0466 1,0954 1,20 2,4883 6,1917

Таким образом, если денежные средства размешены в банке на срок 90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов - 1,05 тыс. руб.; при использовании схемы сложных процентов - 1,0466 тыс. руб. Следовательно, более выгодна первая схема (разница 3,4 руб.). Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется на диаметрально противоположную - более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами.

Так, при ставке в 20% годовых удвоение исходной суммы происходит следующим темпом: при использовании схемы простых процентов - за пять лет, а при использовании схемы сложных процентов - менее чем за четыре года.

Внутригодовые процентные начисления. Базисным временным периодом в финансовых операциях является год, вместе с тем возможны более частые начисления процентов. Так, при от-кратном начислении процентов в рамках одного года величина F„ , ожидаемая к получению через п лет, может быть найдена по формуле

F„ = P(\ + r/rn)m (С18)

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности. Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях.

Пример

Вложены деньги в банк в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае

начисление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид:

Сумма, с которой Ставка Сумма к концу

Период

идет начисление (в долях ед.) периода

5,0 5,5 6,05 6,655

1,10

1,10 1,10 1,10

5.5 6,05 -6,655 7,3205

6 месяцев 12 месяцев 18 месяцев 24 месяца

Если пользоваться формулой (С18), то т = 2, п = 2, следовательно:

Рп = 5 ¦ (1 + 20% : 100% ; 2)4 = 7,3205 тыс. руб.

Пример

В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20% : 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит

Р„ = 5 ¦ (1 + 0,05)8 = 7,387 тыс. руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:

при начислении процентов 12% годовых не эквивалентны 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

Начисление процентов за дробное число лет.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

по схеме сложных процентов:

(С 19)

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года):

F„ = P-(\ + rf-{\+f -г),

где w — целое число лет; /— дробная часть года.

Поскольку/< 1, то (1 + /• г) > (1 + г/, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы. Можно показать, что при малых г наибольшая величина разности между (С19) и (С20) достигается при / « 0,5.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

Решение

По формуле (С 19): Fn = 10 ¦ (1 + 0,3)2+(U = 19,269 тыс. руб. По формуле (С20): Рп = 10 ¦ ( 1 + 0,3)2 • <1 + 0,3 • 0,5) = 19,435 тыс. руб.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

а) схема сложных процентов;

нч-/

р*=Р (\+-) ; (С21)

m

б) смешанная схема:

/Wm m

где tv - целое число подпериодов в п годах; /—дробная часть подпериода; m — количество начислений в году; г — годовая ставка.

(C20)

Обращаем внимание на то, что в приведенных алгоритмах показатели w и/имеют разный смысл. Так, в формуле (С20) w озна

чает целое число лет в и годах, а/- дробную часть года, и поэтому л = и? +/ Однако в формуле (С21) и> означает целое число подпе- риодов в п годах, а/- дробную часть подпериода, и поэтому и = О + +У)/т. Иными словами, при пользовании этими формулами нужно отдавать себе отчет втом, о каком базисном периоде идет речь.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов, Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

Решение

а) Годовое начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами (С19) и (С20) и значениями соответствующих параметров:

а - 2,25; и> = 2;/= 0,25; г = 0,16.

При реализации схемы сложных процентов

Р„ - Р (1+Г)"*' = 120 ¦ (1 + 0,16)2-25 - 167,58 тыс. руб.

При реализации смешанной схемы

Р„ = Р- (И-/*)1* (1 +/•/•) = 120 ¦ (1 + 0,16)2 (1 +0,25 0,16) = = 167,93 тыс. руб.

б) Полугодовое начисление процентов

В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами (С21) и (С22), когда параметры формул имеют следующие значения: т = 2; и> = 4;/= т ¦ п - * = 2 • 2,25 - 4 = 0,5; г = 0,16.

При реализации схемы сложных процентов

р =Р ( 1 + = 120 •(! +0.08)4,5 = 169,66 тыс. руб.

При реализации смешанной схемы

F¦ =/>.(i + -L)».(i +/.-) = 120-(1+0,08)4•(!+-•—) =169,79 тыс.руб. т т 2 2

в) Квартальное начисление' процентов

В этом случае т = 2; w = 9;/= 0, т.е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому формулы (С21) и (С22) дают один и тот же результат:

Р„ = 120 (1 +0,04)'=170,8тыс. руб.

Здесь фактически пользуемся обычной формулой нарашения сложными процентами (С18), в которой « = 9, а г = 0,16/4 = 0,04.

Непрерывное начисление процентов. Все рассмотренные выше начисляемые проценты называются дискретными, поскольку их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день, даже час). Уменьшая этот промежуток (период начисления) и увеличивая частоту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Из формулы (С 18) следует:

F = lim pi\ +—1 = Рег\ (С23)

т->+<о ^ т) ¦ '

так как согласно второму замечательному пределу

lim (1+1/и)" =е,

где трансцендентное число е» 2,718281 называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа. Подробно о финансовых вычислениях см. в [Ковалев, Уланов].

СЧЕТОВЕДЕНИЕ - понимание бухгалтерского учета как науки. Предложено известным русским бухгалтером Е.Е. Сиверсом для

разграничения практического и научного измерений в учете1. См. статьи Бухгалтерский учет как наука, Бухгалтерский учет как практика.

<< | >>
Источник: Ковалев В.В., Ковалев Вит. В.. Учет, анализ и финансовый менеджмент: Учеб.-метод. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2006, — 688 е.. 2006

Еще по теме СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ:

  1. СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  2. 5.3.2. Платежные схемы обслуживания финансовых карт и их элементы
  3. Задачи и ситуации
  4. СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  5. Процентные ставки и схемы начисления.
  6. 1.3.1. Простые проценты
  7. 1.3.2. Сложные проценты
  8. 15.6. Расчет процентного дохода
  9. 7.2. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ И МЕТОДЫ ИХ НАЧИСЛЕНИЯ 7.2.1. ПОНЯТИЕ ПРОСТОГО И СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА
  10. 7.2.2. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СХЕМЫ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ