<<
>>

4.2. Финансовые вычисления как основа инструментария финансового менеджера

Логика финансовых вычислений. Финансовыми вычислениями называются расчеты, производимые с данными, выраженными в стои­мостной оценке, или производными от них (к числу последних относят­ся, например, показатели эффективности и статистические финансовые индикаторы).
Как и любые расчеты, выполняемые для обоснования управленческих решений в бизнес-среде, финансовые вычисления в ос­новном ориентированы на показатели эффекта и (или) эффективности. Вместе с тем им присуща одна особенность: непреложным элементом подавляющего большинства алгоритмов, выполняемых с помощью фи­нансовых вычислений, является учет фактора времени. Иными слова­ми, финансовые вычисления базируются на следующем, вполне естест­венном и легко обосновываемом тезисе: время есть экономическая кате­гория, «генерирующая» деньги (или, что эквивалентно: деньгам прису­ща временная ценность). В подтверждение приведенного тезиса можно составить следующую цепочку довольно очевидных утверждений:

1) любое решение финансового характера (т. е. финансовая опера­ция) должно основываться на принципе экономической целесо­образности2;

2) одним из акцентированных выражений упомянутой целесооб­разности является получение дохода[28] от осуществления финан­совой операции;

3) следствием неиспользования (бездействия) любого ресурса (в том числе и денежных средств) является прямой или косвен­ный убыток (потеря)[29];

4) в приложении к денежным средствам косвенный убыток (поте­ря) проявляется: а) в неполучении дохода, который мог бы быть сгенерирован, если бы эти средства были пущены в оборот; б) в обесценении денежных средств (т. е. покупательная способ­ность денежной единицы в условиях инфляции, которая, как правило, всегда сопутствует экономическому развитию, с тече­нием времени снижается);

5) таким образом, денежные средства не должны бездействовать, а целесообразность типовой финансовой операции должна опре­деляться исходя из критерия эффективности с учетом фактора времени.

В общей совокупности действий по управлению фирмой, выполняе­мых различными представителями менеджерского корпуса, роль фи­нансового менеджера (аналитика) в технологическом аспекте сводится, во-первых, к финансово-аналитическому обоснованию целесообразно­сти тех или иных хозяйственных операций и, во-вторых, к подготовке и осуществлению финансовых операций. Понятно, что совокупность хозяйственных операций гораздо шире, нежели совокупность финансо­вых операций: первые имеют отношение к любым аспектам деятельно­сти фирмы, тогда как вторые касаются лишь финансовых активов и обязательств. Техника финансовых вычислений применима в обоих случаях, а возможность ее практического приложения обосновывается следующими утверждениями:

• как и любые ресурсы предприятия, денежные средства должны эффективно использоваться, т. е. с течением времени приносить определенный прямой или косвенный доход;

• практически любую финансово-хозяйственную операцию можно выразить в терминах финансов (денежных средств);

• в подавляющем большинстве случаев собственно операции или их последствия растянуты во времени;

• с каждой операцией можно увязать некоторый фактический или условный денежный поток;

• элементы денежного потока, относящиеся к разным моментам времени, без определенных преобразований не сопоставимы;

• преобразования элементов денежного потока в сопоставимый вид осуществляются путем применения операций наращения и дис­контирования;

• наращение и дисконтирование могут выполняться по различным схемам и с различными параметрами.

Как уже упоминалось, в основе финансовых вычислений — понятие временной ценности денег, которое может быть выражено простой сен­тенцией: рубль «сегодня* более ценен, чем тот же самый рубль, но «завтра»1. Между рублем «сегодня» и рублем «завтра» есть существен­ное различие: первый находится в распоряжении лица, им обладающе­го, а потому этот рубль может использоваться им в целях потребления; второй лишь ожидается, причем не исключено, что в силу ряда причин рубль «завтра» так и не будет получен.

Именно этим обстоятельством отчасти и предопределяется различие в ценности этих рублей. Однако рисковость — не единственная причина. Вторая причина — плата за от­каз от потребления. Если собственник рубля «сегодня» отказывается от его использования в целях потребления (например, отдает его взаймы), то он вправе ожидать, что этот отказ будет поощрен возвратом не того же самого рубля, а рубля с некоторой добавкой. Таким образом, дейст­вительно при определенных обстоятельствах время может приносить доход[30].

Различие между рублем «сегодня» и рублем «завтра» распространя­ется и на произвольные суммы, относящиеся к разным моментам време­ни. А именно: денежным суммам 50 и 5Ь относящимся соответственно к моментам времени («сегодня») и («завтра»), свойственна времен­ная несопоставимость — в частности, если аналитиком принимается во внимание вполне естественная предпосылка о временной ценности де­нежных средств, то непосредственное суммирование величин 5о и не­допустимо.

Наращение и дисконтирование. В финансовых расчетах временная несопоставимость и плата за отказ от потребления учитываются с помо­щью операций наращения и дисконтирования. Операция наращения осуществляет переход от «сегодня» к «завтра» (т. е. 50 приводится к ви­ду, сопоставимому с операция дисконтирования — наоборот (т. е. 51 приводится к виду, сопоставимому с 50). Этот переход осуществляется с помощью некоторой процентной ставки г:

при наращении 0 = 50 • (1 + г); (4.1)

при дисконтировании Р5{ = (\ + г). (4.2)

Несложно понять, что наращение и дисконтирование — суть взаи­мообратные процедуры. Смысл этих операций и суммовых величин, в них участвующих, таков: .Р50 — это «завтрашний» аналог «сегодняш­ней» суммы 50 (50 как бы смещена в точку а Р51 — это «сегодняш­ний» аналог «завтрашней» суммы 51 (51 как бы смещена в точку £0)- По­этому величины о и 51 уже сопоставимы между собой — они относят­ся к моменту £1 и их можно суммировать; точно так же сопоставимы ме­жду собой величины 5о И Р51 — ОНИ ОТНОСЯТСЯ К моменту £()• Приведенные формулы расчета относятся к некоторому периоду (£1 — £0)> называемо­му базисным.

В случае когда этот период дробится на некоторое число равных подпериодов, формулы расчета несколько усложняются.

Как видно из (4.1), экономический смысл финансовой операции на­ращения состоит в определении величины той суммы ^50, которой бу­дет или желает располагать инвестор по окончании этой операции, если исходная сумма равна 50. Раскрыв скобки в (4.1), получим:

= 50 + 50 • г.

Отсюда видно, что по окончании операции возвращается не только отложенная для целей потребления сумма 50, но и некая добавка. По­скольку 50 • г > 0, видно, что время генерирует деньги или, что равно­значно, деньги имеют временную ценность. Отсюда же следует, что ставка г характеризует величину временной ценности: чем больше зна­чение ставки, тем больше наращение. Ставка г как бы уравнивает вели­чины 50 и ^50: владельцу суммы 50 безразлично, иметь ли 50 «сегодня» или отдать ее во временное пользование и получить ^50 «завтра»; эти суммы для него одинаковы по своей ценности. Поскольку наращение и дисконтирование взаимообратны, несложно построить подобную це­почку рассуждений и для дисконтирования.

С помощью (4.1) можно дать наглядную интерпретацию ставки г. Для этого перепишем (4.1) следующим образом:

^50 - 50 г—^

Отсюда видно, что ставка г представляет собой отношение прираще­ния от финансовой операции (т. е. полученного эффекта) к исходной величине исходного капитала; это показатель эффективности опера­ции — ее доходность.

Таким образом, в типовой операции наращения (или дисконтирова­ния) присутствует четыре величины, три из которых заданы, а четвер­тая ими определяется исходя из применяемой схемы начисления про­центов. Так, в случае наращения к заданным величинам относятся: сум­ма РУ (сумма «сегодня»), процентная ставка г и количество базисных интервалов п\ сумма № (сумма «завтра») будет рассчитываться по не­которому алгоритму наращения. В случае дисконтирования к заданным величинам относятся: сумма /V(сумма «завтра», т. е. величина, ожидае­мая к получению), процентная ставка г и количество базисных интерва­лов п; сумма РУ (сумма «сегодня», т. е. стоимостная оценка ожидаемой величины ^У) будет рассчитываться по некоторому алгоритму дискон­

тирования. Заметим, что в качестве определяемой может выступать лю­бая из четырех упомянутых величин. Схематично операции наращения и дисконтирования представлены на рис. 4.1. Сделаем несколько заме­чаний к рисунку.

Наращение по ставке г
( Вариант ) I наращения і I (дисконтирования)' 'ї Ч........ ........................
. «сегодня»

J_____

Время
Рис. 4.1. Иллюстрация операций наращения и дисконтирования
I Аналитик ' находится

Во-первых, как показано на рис. 4.1, временные моменты, в которых находятся соответственно менеджер (аналитик), сумма PV и сумма FV, не совпадают. В большинстве практических задач чаще всего аналитик и сумма PV находятся в одной точке временной оси — точке 0. Во-вто- рых, наращение (дисконтирование) может выполняться с использова­нием различных схем начисления процентов, что сказывается на значе­нии зависимой (определяемой) величины. В-третьих, возможно варьи­рование не только схемами начисления, но и другими параметрами (на­пример, ставкой г). В-четвертых, хотя PV и FV при г > 0 разнятся по величине, для аналитика они равны (точнее, равнозначны) по своей ценности.

Уместно заметить, что идея наращения и дисконтирования имеет давнюю историю. Таблицы сложных процентов были впервые разрабо­таны и опубликованы математиками Я. Тренченом (Jan Trenchant) и С. Стевином (Simon Stevin, 1548—1620) соответственно в 1558 и 1582 годах, причем именно Стевин как раз и высказал идею о возмож­ности использования чистой дисконтированной стоимости для оценки финансовых инвестиций [The History of Accounting, p. 208]. Однако лишь в конце XIX в. эта идея получила активное развитие в работах экономистов. Так, в 1887 г. американский инженер А. Веллингтон (A. Wellington) опубликовал работу «Экономическая теория размеще­ния железных дорог», в которой предложил подход к обоснованию це­лесообразности строительства новой дороги на основе сопоставления дисконтированных значений прогнозных притоков и оттоков денежных средств. В 1891 г. английский бухгалтер Ф. Mop (Francis More) впервые предложил оценивать гудвилл исходя из генерируемых им дополни­тельных доходов [Каш, р. 401—403]. Идея дисконтирования активно ис­

пользовалась А. Маршаллом (Alfred Marshall, 1842—1924) и И. Фише­ром (Irving Fisher, 1867—1947) при изложении логики и техники бюд­жетирования капиталовложений и оценки инвестиционных альтерна­тив.

Процентные ставки и схемы начисления. Предоставляя свои денеж­ные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определен­ного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интерва­лом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного на­числения: схема простых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с кото­рой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р] требуемая доходность — г (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестиро­ванный капитал ежегодно увеличивается на величину Р • г. Таким обра­зом, размер инвестированного капитала через п лет (Rn) будет равен:

Rn = P + P- г+... + Р- r = P( 1 +п • г). (4.3)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины ин­вестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т. е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, величина инвестированного капитала FVn к концу п-то года будет равна:

FVn = Р(1 +г)я. (4.4)

Несложно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

• более выгодной является схема простых процентов, если срок кредита менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

• более выгодной является схема сложных процентов, если срок кредита превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Схема простых процентов используется в практике банковских рас­четов при начислении процентов по краткосрочным кредитам (срок по­гашения до одного года). В этом случае в качестве показателя п в фор­муле (4.3) берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год).

Использование в расчетах сложного процента в случае многократ­ного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении просто­го процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значе­ния множителя (1 +г)я, называемого мультиплицирующим множителем для единичного платежа и обеспечивающего наращение стоимости, та­булированы для различных значений г и п (эту и другие финансовые таблицы, упоминаемые в книге, можно найти в приложении 3). Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписы­вается следующим образом:

FVn = P-(l+r)n = P-FMl(r,w), (4.5)

где FVn — сумма, ожидаемая к поступлению через п базисных периодов; Р — исходная сумма; г — ставка наращения;

FM\(r,n) — мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя FMI (г,п) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т. п.) через п периодов от «сегодня» при задан­ной процентной ставке г. Подчеркнем, что при пользовании финансо­выми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления про­центов является квартал, то в расчетах должна использоваться квар­тальная ставка.

Множитель FMl(r,n) отражает наращение; в инвестиционно-финан­совом анализе используется также и его противоположность — дискон­тирующий множитель для единичного платежа. Базовая расчетная фор­мула для анализа с помощью дисконтированных оценок является след­ствием формулы (4.5)

Р = FVn „ = FVn------ î— = FVn • FM2(r,n), (4.6)

(1 +r)n n (1 +r)n n v ' v 7

где FVn — доход, планируемый к получению в n-м году;

Р — дисконтированная (встречающиеся в литературе синонимы: приведен­ная, сегодняшняя, текущая) стоимость, т. е. оценка величины Fn с позиции «сегодня» (например, текущего момента); г — ставка дисконтирования; FM2(r, п) — дисконтирующий множитель.

Экономический смысл такого представления заключается в следую­щем: прогнозируемая величина денежных поступлений через п лет (FVn) с позиции «сегодня» (например, текущего момента) будет меньше и равна Р (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означа­

ет также, что для инвестора сумма Р в данный момент времени и сумма Л^ через п лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопоставимый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет.

Значения множителя FA^2(r,n) также табулированы, а его экономи­ческий смысл заключается в следующем: он показывает «сегодняш­нюю» ценность одной денежной единицы будущего, т. е. чему с позиции «сегодня» равна одна денежная единица (например, один рубль), цир­кулирующая в сфере бизнеса п периодов спустя от «сегодня», при за­данных процентной ставке (доходности) г и частоте начисления про­цента: Напомним еще раз, что дисконтирование может быть выполнено на любой момент времени, не обязательно совпадающий с текущим мо­ментом (см. рис. 4.1).

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговари­ваются величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процен­тов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле ис­ходной годовой ставки, по формуле

(4.7)

где г — объявленная годовая ставка; т — количество начислений в году; к — количество лет.

(4.9)

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заклю­чаемые на период, отличающийся от целого числа лет, причем процен­ты могут начисляться не обязательно один раз в год (подпериод, опре­деляющий частоту начисления процентов, назовем базисным). В этом случае можно воспользоваться одним из двух методов: • схема сложных процентов:

(4.8)

• смешанная схема (используется схема сложных процентов для целого числа базисных подпериодов и схема простых процен­тов — для дробной части базисного подпериода):

где т — целое число базисных подпериодов в финансовой операции; /— дробная часть базисного подпериода; г — годовая ставка;

г — годовая ставка; т — количество начислений в году.

Поскольку /< 1, то (1 + / • г) > (1 + г/, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

В финансовых контрактах могут предусматриваться различные схе­мы начисления процентов. При этом, как правило, оговаривается номи­нальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравни­тельный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая про­центная ставка ге, обеспечивающая переход от Р к при заданных зна­чениях этих показателей и однократном начислении процентов и рас­считываемая по формуле

(4.10)

Из формулы (4.10) следует, что эффективная ставка зависит от ко­личества внутригодовых начислений, причем с ростом т она увеличи­вается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соот­ветствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при т = 1. Именно ставка ге является критерием эффективности финан­совой сделки и может быть использована для пространственно-времен­ных сопоставлений.

Денежные потоки и их оценка. Одним из основных элементов ин­вестиционно-финансового анализа является оценка денежного потока С¥т генерируемого в течение ряда временных периодов в ре­зультате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Элементы потока С^ могут быть либо незави­симыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Кроме того, для простоты изложения материала допускается, что элементы денеж­ного потока являются однонаправленными, т. е. нет чередования отто­ков и притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток на­зывается потоком пренумерандо, или авансовым, во втором — потоком постнумерандо (рис. 4.2).

На практике большее распространение получил поток постнумеран­до, в частности именно этот поток лежит в основе методик анализа ин­вестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать, ис­ходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распре-

а) Поток пренумерандо

б) Поток постнумерандо

СР1 СРг СРЪ СГ4 СРЪ

О 1 2 3 4 51

Продолжительность I

ся1 СР2 СРЪ ср4 сг5
1 2 3 4 5 б1
Продолжительность финансовой операции

финансовой операции !

Рис. 4.2. Графическое представление потоков постнумерандо и пренумерандо

делено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формиру­ются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет зна­чение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, т. е. проводится оценка с позиции будущего (реа­лизуется схема наращения); б) обратной, т. е. проводится оценка с пози­ции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

п-к

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного де­нежного потока: к каждому элементу потока применяется формула (4.5). Поэтому будущая стоимость исходного денежного потока постну­мерандо РУрз( рассчитывается по формуле

п

(4.11)

Для наглядности приведем пример типовой ситуации, когда возни­кает необходимость решения прямой задачи. Предприниматель имеет возможность делать периодические взносы в банк в течение длительно­го периода и пытается оценить, какая сумма будет накоплена им к кон­цу этого периода. Подобные расчеты и представляют собой пример ре­шения прямой задачи.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтирован­ного (приведенного) денежного потока: к каждому элементу потока применяется формула (4.6). Поэтому дисконтированная стоимость ис­ходного денежного потока постнумерандо РУрз( рассчитывается по фор­муле

(4.12)

Несложно показать, что для потоков пренумерандо формулы (4.11) и (4.12) трансформируются следующим образом:

(4.13)

/%г« = /%Л1+г). (4.14)

Оценка аннуитета. Возможны два варианта его определения. Со­гласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправлен­ный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно элементы денежного потока одинаковы по ве­личине СРХ = СЕ2 = ... = СРп = А (именно этот подход является более распространенным на практике). Для оценки будущей и дисконтиро­ванной стоимостей аннуитета можно пользоваться вышеприведенны­ми формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отно­шении равенства денежных поступлений они могут быть существенно упрощены.

В частности, для решения прямой задачи оценки срочных аннуите­тов постнумерандо и пренумерандо при заданных величинах регуляр­ного поступления (Л), продолжительности аннуитета — п периодов и соответствующей базисному периоду процентной ставке г можно вос­пользоваться формулами (4.15) и (4.16)

РУ^ = А-тЗ(г,п), (4.15)

РУрге = •(!+')= Л-Щг,я)'(1+г), (4.16)

где /:МЗ(г,я)= ]Г(1+г)"-* = (1+Г)"~1. (4.17)

г

Экономический смысл РМЗ(г,п), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну де­нежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Значения множителя зависят лишь от процентной ставки (г) и срока действия аннуитета (п), причем с увеличением каждого из этих пара­метров величина РМЗ(г,п) возрастает. Значения множителя для различ­ных сочетаний г и п можно табулировать.

Для решения обратной задачи оценки срочных аннуитетов постну­мерандо и пренумерандо, являющейся основной при анализе инвести­ционных проектов, денежные притоки которых имеют вид аннуитетных поступлений, можно воспользоваться формулами (4.18) и (4.19)

(4.19)

РУ° = Л •/гМ4(г%,«), (4.18)

РУ° = РУ* .(1+ г) = А• FM4(r,w)-(1+ г),

Экономический смысл ¥М\(гуп), называемого дисконтирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регуляр­ными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося п равных периодов с задан­ной процентной ставкой г. Значения этого множителя также табулиро­ваны.

При выполнении некоторых расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денеж­ные поступления продолжаются достаточно длительное время (в запад­ной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет). В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касает­ся обратной задачи, то ее решение для аннуитетов постнумерандо и пре- нумерандо делается на основе формул

(4.21)

(4.22)

Следует обратить внимание читателя на следующее обстоятельство. Во всех приведенных формулах оценивания ключевым параметром яв­ляется процентная ставка г, играющая роль либо ставки наращения, ли­бо ставки дисконтирования. Ее экономический смысл таков: г равна то­му относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал. Поскольку инвестиционные возможности различных инвесторов (аналитиков) не одинаковы, каж­дый из них закладывает в модель оценки свое значение ставки — отсюда появляется множественность стоимостных оценок на финансовом рын­ке, что и приводит к операциям купли/продажи финансовых активов. Ставку г можно представить состоящей из двух частей:

Г = Г/+Гг,

где гу — безрисковая ставка (например, ставка по долгосрочным государствен­ным облигациям); гг — надбавка за риск.

Отсюда видно, что значение ставки может варьировать даже у одно­го инвестора — если, по его мнению, два оцениваемых актива различа­ются рисковостью, значения ставки г, используемые для их оценки, бу­дут различными.

(120)
где
1-(1 +г)-п

Заканчивая раздел, отметим, что наиболее полную и систематизиро­ванную сводку формул и методов прикладной финансовой математики, а также примеры их использования можно найти в работе: [Уланов].

В приложении 2 приведен набор формул расчета базовых показателей финансовой математики.

<< | >>
Источник: Ковалев В. В.. Курс финансового менеджмента: учеб. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, — 448 с.. 2008

Еще по теме 4.2. Финансовые вычисления как основа инструментария финансового менеджера:

  1. 1.1. Экономические ресурсы как основа формирования экономических субъектов
  2. 4.3. ОРГАНИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ФИНАНСАМИ НА ПРЕДПРИЯТИИ. ФУНКЦИИ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖЕРА
  3. 13.2. Обязанности финансового менеджера [директора)
  4. 1.1.2. Функции финансов и их проявление в работе финансового менеджера
  5. 1.5. Функции финансового менеджера.
  6. 1.4. Функции, задачи и цели финансового менеджера
  7. 4.2. Государственные гарантии как основа обеспечения инвестиционной деятельности
  8. § 2. Финансовый менеджер: его правовой статус и функции
  9. Глава 6. ФИНАНСЫ ПРЕДПРИЯТИЙ КАК ОСНОВА ФИНАНСОВО- КРЕДИТНОЙ СИСТЕМЫ
  10. 1.2.3. ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖЕР, ЗАДАЧИ И ЦЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ФИНАНСАМИ
  11. 3.2. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖЕРА
  12. 1.4. Функции и задачи финансового менеджера
  13. 4.2. Финансовые вычисления как основа инструментария финансового менеджера
  14. СЛОВАРЬ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖЕРА
  15. Финансы и финансовый менеджер
  16. 1.2. РОЛЬ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖЕРА
  17. 1.3. КТО ТАКОЙ ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖЕР?
  18. 1.1. Финансовый менеджер на предприятии
  19. 1.3. СОБСТВЕННИК - ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬ - ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖЕР
  20. 1.4. Информационное обеспечениедеятельности финансового менеджера