<<
>>

7.2.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ

Все рассмотренные ранее начисляемые проценты называются дис­кретными, поскольку их начисление осуществляется за фиксирован­ный промежуток времени (год, квартвл, месяц, день, даже час).
Умень­шая этот промежуток (период начисления) и увеличивая частоту на­числения процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.

Уже отмечалось, что в зависимости от частоты начисления про­центов наращение суммы осуществляется различными темпами, при­чем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Мак­симально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроб­лении годового интервала. Из формулы (7.7) следует:

. пт

1 + .L =Рег'\ т/

так как согласно второму замечательному пределу lim (1 +1 / т)т - е, где

трансцендентное число е - 2,718281 , называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение непрерывной ставки — O, и называ­ют ее силой роста. Таким образом, формула для нахождения наращен­ной суммы за п лет при непрерывном начислении процентов прини­мает вид:

F„-Pedn, (7.12)

где е6п является множителем наращения, причем этой формулой пользуются и в тех случаях, когда п не является целым числом.

Таким образом, при непрерывном начислении процентов в преде­лах одного года используется следующая базовая формула: F{ - Р ■ е6

Пример

Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начис­ления процентов за один год, если исходная сумма Р = 1000 руб. и г =10%.

Результаты, полученные для некоторых вариантов, приведем в виде таблицы, причем в графе 4 показаны разности между нараще­ниями с данным числом начисления процентов и базисным, а в графе 5 указаны разности между наращенными суммами двух сосед­них строчек.

р Частота начисления Наращение
базисное цепное
1000 Ежегодное (т - ) 1100,00 __
1000 Полугодовое (т = 2) 1102^0 +Х50 +150
1000 Квартальное (да = 4) 1103,81 +3,81 +1,31
1000 Ежемесячное (да = 12) 1104,71 +4,71 +0,90
1000 Ежедневное (т = 365) 1105.16 +5,16 ■И),45
1000 Непрерывное (т - оо) 1105,17 +5,17 -Н),01

Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процен­тов и накопленной суммой; графа 5 таблицы показывает, что с уве­личением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается.

Графически изменение накапливаемой суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид (рис. 7.4).

а) Ежегодное начисление

б) Полугодовое начисление в) Непрерывное начисление

1 2 3 год
1 2 3 год

12 3 год

Рис. 7.4. Различные варианты начисления процентов

Сравнительная характеристика и интерпретация приведенных гра­фиков достаточно очевидны, вместе с тем эти графики позволяют наглядно представить влияние частоты начнслення процентов. При дискретном иаращенин каждая «ступенька» характеризует прирост основной суммы в результате очередного начисления, причем вели­чина «ступеньки» все время возрастает. В рамках одного года одной «ступеньке» на левом графике соответствуют две «ступеньки» иа среднем графике меньшего размера, однако в сумме они превышают эту «ступеньку» однократного начнслення. Таким образом, ордината точки, соответствующей концу трехлетнего периода, на среднем гра­фике будет выше, чем на левом. Еще более быстрым темпом идет наращение при непрерывном начислении, что и показывает график справа.

Приравнивая накопленные суммы в формулах (7.12) н (7.4), полу­чим связь между силой роста и годовой процентной ставкой г:

г = ед-1 или 6- 1л(1+г).

При ставках до 10% сила роста и годовая ставка совпадают с точ­ностью до 0,01, т.е. можно в этих пределах использовать приближен­ное равенство 6 » г.

Пример

На сумму в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты по ставке 6 = 8%.

Определить наращенную сумму через 5 лет.

По формуле (7.12), полагая 5= 0,08, сразу получим: /7„ = 2 • е0 08 5 = = 2,984 тыс. руб. Если в данном случае применить формулу (7.4), т.е. осуществлять иачнслеине обычных сложных процентов по ставке г = 0,08, то получим сумму, ие сильно отличающуюся от вычисленной: Р„ - 2 • 1,469 - 2,938 тыс. руб.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач (например, обоснование и выбор инвес­тиционных решений). Оценивая работу финансового учреждения за период, в котором платежи поступают многократно, бывает целесо­образно предполагать, что накапливаемые суммы непрерывно меня­ются во времени, н применять непрерывное начисление процентов.

Возможны ситуации, когда непрерывное начисление процентов применяется и непосредственно при работе с клиентами. Так, в нача­ле 1975 г. в США [Шарп, Алексаидер, Бэйлн, с. 140] ставка процент­ных выплат по займам и депозитам сроком от шести до десяти лет была ограничена величиной 7,75% годовых, однако не лимитирова­лось число начислений процентов в течение года, чем и воспользова­лись компании в целях привлечения вкладчиков. Причем одна нз ком­паний предлагала непрерывное начисление процентов при годовой ставке 7,75%, которая в этих условиях стала непрерывной н представ­ляла собой силу роста. Обозначая 6 = 0,0775, получим: г = е0'"775 - 1 = = 1,0806, т.е. компания, по существу, установила процентную годовую ставку г - 8,06%.

<< | >>
Источник: Ковалев B. B.. Введение а финансовый менеджмент. Финансы и статистика, -768 с.. 2006

Еще по теме 7.2.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ:

  1. СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  2. СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  3. Тема 1. Теория временной стоимости денег. Начисление процентов
  4. 1.5. Временная база начисления процентов
  5. 3.5. Расчет показателей ренты при осуществлении платежей и начислении процентов несколько раз в году
  6. 16.2. ПРОЦЕНТНЫЕСТАВКИ И МЕТОДЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  7. 20.3. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ И МЕТОДЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  8. 16.2. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ И МЕТОДЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  9. 7.2.4. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЗА ДРОБНОЕ ЧИСЛО ЛЕТ
  10. 7.2.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ
  11. 4. Способы начисления процентов в российских банках
  12. 4.4. Приложение. Непрерывное начисление процентов
  13. 8.5. ОЦЕНИВАНИЕ ОБЛИГАЦИЙ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  14. 8.8. ЦЕНА ОБЛИГАЦИИ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  15. Непрерывное начисление сложных процентов
  16. 1.2.3Непрерывное начисление процентов