<<
>>

2.3.1. Схема простых процентов

Схема простых процентов основана на неизменности базы для начисления процентов, т.е. начислении процентов за каждый времен­ной период на одну и ту же величину - настоящую стоимость.

Рассмотрим общий случай начисления простых процентов, когда

_ w _________________________ J

>

процентная ставка за каждый период времени t изменяется, т.е.

rt Ф Const.

Если даны n целых периодов (лет), в каждый из которых начис­ляют проценты, то в итоге (через n периодов) будем иметь:

БСп = НС + НС х r1 + НС х r2... + НС х rn = НС х (1 + £ rt); (5)

t=1

где n - количество временных интервалов, выраженное в годах.

Пример 3

В банке был размещен депозит на сумму 120 000 рублей под простые проценты. В первый год банк начислял 8%, во второй - 9% и в третий - 10% годовых. Какая сумма окажется на счете вкладчика через три года? Решение:

8% 9% 10% БС = 120 000 х (1 + + + -і°%-) = 120 000 х 1,27 =

100% 100% 100%

= 152 400 руб.

Ответ: Вкладчик получит через три года 152 400 рублей.

Таким образом, простые проценты обладают свойством аддитив­ности, т.е. процентные ставки при простой схеме начисления процен­тов можно складывать для определения конечной величины дохода, которую получит инвестор.

Обратная задача расчета настоящей стоимости для схемы про­стых процентов при изменяющихся процентных ставках решается пу­тем выражения НС из формулы (5):

нс = бсп (6)

п у 7

(1 + 1 Г)

г=1

Пример 4

В банке был размещен депозит на некоторую сумму под про­стые проценты. В первый год банк начислял 6,5%, во второй - 7,5% и в третий - 8,5% годовых. Какая сумма была внесена на счет, если по прошествии трех лет там было 55 125 руб­лей?

Решение:

ип л 6,5% 7,5% 8,5% ип 55125

55125 = НС х (1 + —-- + —---- + —---- ) ^ НС =---------

100% 100% 100% 1,225

= 45 000 руб.

(7)
(8)

Ответ: Вклад был открыт на сумму 45 000 рублей.

В случае, если г = сош11, решение прямой и обратной задач для схемы простых процентов упрощаются до следующего вида:

БСп = НС х (1 + г х п)

нс = бсп

(1 + г х п)

Пример 5

Вкладчик положил на депозит 68 тысяч рублей на 5 лет под 9,5% годовых, начисляемых по схеме простых процентов. Ка­кая сумма будет у него на счету к моменту окончания срока вклада?



9,5% 100%
х 5) = 100300руб.

Решение: БС = 68 000 х (1 +

Ответ: Вкладчик получит 100 300 рублей через 5 лет Пример 6

В конце 2014 года вкладчик снял со своего депозита 69 860 рублей. Вклад был открыт в начале 2012 года под 8,25% годо­вых, начисляемых по схеме простых процентов. Какая сумма была внесена на депозит при открытии? Решение:

Вклад был открыт на три года, следовательно,

69 860 = НС х (1 + 8,25% х 3) ^ НС = 69 860 = 56 000 руб.

100% 1,2475

Ответ: Вкладчик открыл счет на 56 000 рублей

В случае, когда простые проценты начисляются не за целый год, а за какую-то его часть (месяц, неделя или определенное количество дней), годовая процентная ставка г должна быть пропорционально пе­ресчитана в соответствии с продолжительностью периода начисления процентов. Для этого используются следующие формулы:

БСт = НС х (1 + г^т) (9)

к

БС

НС =------ С— (10)

~ г х тч

(1+-т)

где т - совокупное количество периодов начисления простых процентов;

к - количество периодов начисления простых процентов за один

год.

Пример 7

Какая сумма окажется 12 июня 2014 года на счету у вклад­чика, который внес 14 мая 2014 года 42 тысячи рублей на де­позит со ставкой 7,4% годовых, начисляемых по простой схеме? Решение:

Срок вклада составляет 29 дней, всего в 2014 году 365 дней (не високосный год), следовательно,

7 4% 29

БС = 42 000 х (1 + х —) = 42 246,94 руб.

100% 365

Ответ: Вкладчик получит 42 246,94 рубля 2.3.2. Схема сложных процентов

Схема сложных процентов основана на меняющейся базе начис­ления процентов за счет реинвестирования полученного ранее дохода (капитализации процентов).

Рассмотрим общий случай начисления сложных процентов, когда

_ ___________________________________________ 1

процентная ставка за каждый период времени \ изменяется, т.е.

Г Ф сош1.

Если даны п целых периодов (лет), в каждый из которых начис­ляются сложные проценты, то процесс наращивания будущей стоимо­сти будет выглядеть следующим образом: Для первого года БС1 - НС х (1 + г1) Для второго года БС2 - НС х (1 + г1) х (1 + г2)

Для п-го года:

БСп - НСх (1 + Л)х...х (1 + гп) - НСхП(1 + Г) (11)

г-1

Пример 8

Инвестор купил акции ОАО «Сбербанк» 1 июля 2012 года по цене 86,19 рублей. За июль курс вырос на 5,63%, за август - на 3,84% и за сентябрь - на 4,15%. Сколько стоили акции ОАО «Сбербанк» в начале октября 2012 года? Решение:

Поскольку процент роста курса акции за месяц всегда счита­ется от новой, возросшей за прошлый месяц величины, то пе­ред нами задача, схожая с начислением сложных процентов:

г-,^1 ъ^лъ ^ 5,63%х ,л 3,84%х 4,15%х „„ - БС - 86,19 х (1 + ) х (1 + ----------------------- ) х (1 + —---- ) - 98,46 руб.

100% 100% 100% Ответ: Акции стоили в начале октября 98,46рублей.

Для решения обратной задачи, т.е. вычисления настоящей стои­мости, из полученной формулы (11) выражаем НС:

НС - БСп (12)

п у

П (1 + Г)

,-1

Пример 9

В банке был размещен депозит на некотору000ю сумму под простые проценты. В первый год банк начислял 8,2%, во вто­рой - 7,4% и в третий - 7,9% годовых. Какая сумма была вне­сена на счет, если по прошествии трех лет там было 86 517,12рублей? Решение:

огслпл^ ^ /1 8,2% 7,4% 7,9%ч 86 517,12 = НС х (1 + — ) х (1 + —------------------------- ) х (1 + —--- ) ^

100% 100% 100%

НС =------- 86517,12---------- = 69 000 руб.

1,082 х 1,074 х 1,079

Ответ: Вклад был открыт на сумму 69 000 рублей.

В случае если г = сош! расчет будущей и настоящей стоимости при начислении сложных процентов упрощается, за счет того, что в мультиплицирующем множителе появляется произведение п одинако­вых величин, что, в конечном счете, можно заменить возведением в степень:

БСп = НС х (1 + г) х (1 + г) х...х (1 + г) = НС х (1 + г)п (13)

БС

НС = —^ (14)

(1 + г)п

Пример 10

Вкладчик положил на депозит 15 000 рублей на 4 года под 8,15% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов. Какая сумма будет у него на счету к моменту окончания срока вклада?

8 15%

Решение: БС = 15 000х (1 + ^і^)4 = 20 520,94 руб.

100%

Ответ: Вкладчик получит 20 520, 94 рубля через 4 года

Пример 11

Через 6 лет после открытия депозита вкладчик снял с него 185 196,18 рублей. Вклад был открыт под 7,5% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов. На какую сумму был открыт депозит? Решение:

185 196, 18 = НС х (1 + .І^)6 ^ НС = 185 196,18 = 120 000 руб.

100% 1,5433

Ответ: Вкладчик открыл депозит на 120 000 рублей

В случае, когда сложные проценты начисляются не ежегодно, а за какой-то иной отрезок времени (квартал, месяц или определенное количество дней), годовая процентная ставка г должна быть пропорци­онально пересчитана в соответствии с продолжительностью периода начисления процентов. Для этого используются следующие формулы:

г

БСт = НС х (1 + -)т (15)

к

БС

НС =—^^ (16)

(1+-)'

к

где т - совокупное количество периодов начисления простых процентов;

к - количество периодов начисления простых процентов за один

год.

Пример 12

И пример обратной задачи:

В банке открыт депозит на сумму 92 000 рублей сроком на 3 года под 7% годовых, начисляемых по сложной схеме. Капи­
тализация процентов происходит ежеквартально. Опреде­лите ожидаемый результат, который получит вкладчик по окончании срока депозита. Решение:

Проценты по депозиту начисляются раз в квартал, т.е. 4 раза в год. Всего за 3 года проценты будут начислены 12 раз (3 года по 4 квартала). Значит, k=4, m=12

7%

0
0,5
1
n
Рис. 14. Наращивание стоимости по схемам простых и сложных про­центов
t

БС = 92 000 х (1 + Ш%)12 = 92 000 х 1,23144 = 113 292,42 руб. Ответ: Вкладчик получит 113 292,42 рубля

Можно заметить, что если при простых процентах будущая стои­мость связана с количеством периодов начисления процентов линейно (то есть каждый период будущая стоимость увеличивается на одну и ту же величину, но темп прироста каждый год снижается), то при сложных процентах их зависимость - экспоненциальная (то есть каж­дый период будущая стоимость увеличивается на все большую вели­чину, но темп прироста всегда один и тот же). При равных значениях г и п, а также равной частоте начисления процентов, БС при простых процентах (БСпп) и БС при сложных процентах (БСсп) связаны между собой так: если 0 < п < 1, то БСсп < БСпп; если п > 1, то БСсп > БСпп; если п = 1, то БСсп = БСпп

Сравним два депозита, открытых на сумму 10 000 рублей под 6% годовых, но с разной схемой начисления процентов. Построим таб­лицу зависимости конечного результата и его прироста от срока, на ко­торый открыт депозит:
Срок Простые Сложные
БС Темп прироста БС Темп прироста
3 месяца 10150 10146,74
6 месяцев 10300 1,48% 10295,63 1,47%
9 месяцев 10450 1,46% 10446,71 1,47%
1 год 10600 1,44% 10600 1,47%
2 года 11200 5,66% 11236 6,00%
3 года 11800 5,36% 11910,16 6,00%
4 года 12400 5,08% 12624,77 6,00%

Из таблицы наглядно видно, что прирост будущей стоимости по мере увеличения срока вклада, открытого под простые проценты, сни­жается, в то время как прирост будущей стоимости у вклада со слож­ными процентами всегда неизменен. Более того, темп прироста вклада со сложными процентами - это и есть процентная ставка, под которую открыт данный вклад.

Отсюда следует важный вывод: большинство экономических по­казателей, содержательно представляющих собой темпы прироста чего-либо, вписываются в схему сложных процентов. Такими показа­телями являются годовые темпы инфляции, изменения фондовых ин­дексов или курсов акций, темпы роста ВВП и других макроэкономиче­ских показателей и т.п.

Приведенная выше особенность начисления сложных и простых процентов обусловливает следующее их важное свойство. Если про­стые проценты начисляются чаще одного раза в год (раз в квартал или раз в месяц), то итоговый результат от этого не меняется. Однако для схемы сложных процентов итоговый результат будет тем больше, чем чаще они начисляются. Следующий пример наглядно это показывает:

Пример 13

Банк предлагает следующие виды депозитов: Депозит Схема Ставка Частота начисления

«А» Простая 8% Ежегодно

«Б» Простая 8% Ежемесячно

«В» Сложная 7°% Ежеквартально

«Г» Сложная 7% Ежемесячно

Если вкладчик решает открыть депозит на 4 года и поло­жить туда 58 000 рублей, какой депозит будет более выгод­ным? Решение:

Определим будущую стоимость для всех четырех депозитов с учетом частоты начисления процентов:

8%

БСа = 60 000 X (1 + X 4) = 60 000 х 1,32 = 79 200 руб.

V 100% 7 ^

8%

БСб = 60 000 х (1 +1°0% х 4 х 12) = 60 000 х 1,32 = 79 200 руб.

7%

БСВ = 60 000х (1 + 100%)4х4 = 60 000х 1,3199 = 79195,76 руб.

7%

БСГ = 60 000 х (1 + Ж%)4х12 = 60 000 х 1,32205 = 79 323,23 руб.

Очевидно, депозиты «А» и «Б» принесут один и тот же ре­зультат вне зависимости от частоты начисления процен­тов. В то же время, депозит «Г» принесет больший резуль­тат, чем депозит «В», несмотря на то, что они открыты под одну процентную ставку. За счет большей частоты начисления процентов депозит «Г» будет наиболее выгодным депозитом.

Ответ: Вкладчику следует выбрать депозит «Г»

В предыдущем примере видно, что депозит с меньшей процент­ной ставкой, но с частым начислением сложных процентов, может быть выгоднее депозита с большей ставкой простого процента. Для того чтобы можно было сопоставлять между собой условия банков­ских вкладов с различными величинами процентных ставок и частотой начисления сложных процентов, используется показатель, называе­мый «эффективной процентной ставкой». Эффективная процентная ставка представляет собой годовую ставку простого процента, которая даст результат эквивалентный вкладу, открытому под сложные про­центы на один год.

к

БСт — НС х (1 + -^у — НС х (1 + г,эфф) ^

К

гэфф(1 + сл)

Пример 14

Банк предлагает три депозита со сложной схемой начисления процентов:

«А» под 7,2% годовых, начисляемых ежемесячно; «Б» под 7,25% годовых, начисляемых ежеквартально; «В» под 7,3% годовых, начисляемых каждые полгода. Определить какой из депозитов при прочих равных условиях окажется наиболее выгодным? Решение:

Для выбора наиболее выгодного депозита достаточно опре­делить для каждого эффективную ставку процента, т.е. та­кую доходность, которую депозит принесет за один год:

7,2%

(17)

Для депозита «А» гэфф — (1 +100%)12 -1 — 7,44%

7,25%

Для депозита «Б» гэфф = (1 + 10°% )4 -1 = 7,45%

7,3%

Для депозита «В» гэфф = (1 + Ш°%)2 -1 = 7,43%

Таким образом, депозит «Б» принесет большую доходность по сравнению с другими вкладами, вне зависимости от срока, на который он будет открыт Ответ: Выгоднее вклад «Б»

Схема сложных процентов - базовая в финансовом менеджменте. Коэффициенты наращивания и дисконтирования стоимости, рассчи­танные по данной схеме, табулированы. Это значит - рассчитаны для всех значений возможных процентных ставок (г) и временных момен­тов (1). Результаты расчётов внесены в специальные финансовые таб­лицы, которые есть в любом учебнике финансового менеджмента, в том числе в данном учебном пособии (см. Приложение 4).

В таблицу 3 Приложения 4 помещены «мультиплицирующие множители» - коэффициенты наращивания стоимости для разных про­центных ставок (г) - первый параметр, и разных будущих моментов времени (1 = 1, 2, 3, ... п) - второй параметр:

М1(г; п) = (1 + г)п; (18)

Соответственно,

БСП = НС х (1 + г)п = НС х М1(г; п); (19)

Если рассматривается обратный процесс - дисконтирование (приведение к настоящему - нулевому - моменту) для разных процент­ных ставок г и моментов времени п, то в основе лежит та же схема сложных процентов, только формула выглядит иначе:



чения помещены в таблицу 1 Приложения 4.

Методика работы с финансовыми таблицами изложенана в При­ложении 5.

8,3%

100% 365

8,3%

100% 365

8,3%

100% 365

В банковской практике схемы простых и сложных процентов очень часто переплетаются между собой. Так, начисление процентов до момента очередного причисления их к сумме вклада (т.е. до мо­мента их капитализации) происходит по схеме простых процентов с учетом точного числа дней, в течение которого деньги находились на счете), а начисление процентов после момента капитализации проис­ходит по сложной схеме.

Пример 15

14 мая 2013 года в банке открыт депозит на сумму 40 000 рублей под 8,3% годовых. Капитализация процентов происхо­дит в конце каждого месяца. Проценты до момента капита­лизации начисляются за полное число дней, которое деньги находились на счете. Определить, какая сумма будет нахо­диться на счете вкладчика 15 июля 2013 года.

Решение:

За оставшиеся дни мая проценты будут начисляться 17 дней, за июнь - 30 дней и за июль - 15 дней до даты расчета. В те­чение каждого из этих периодов проценты начисляются по простой схеме, а в совокупности - по сложной.

БС = 40000 х (1 +
х 17) х (1 +
х 30) х (1 +
х 15)

- 40 000 х 1,003866 х 1,006822 х 1,003411 - 40 566,46 руб.

Ответ: Вкладчик получит 40 566,46рублей

<< | >>
Источник: Ю.М. Берёзкин, Д.А. Алексеев. ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ: учебное пособие. - Иркутск: Изд-во БГУЭП, - 333 с.. 2014

Еще по теме 2.3.1. Схема простых процентов:

  1. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
  2. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
  3. 7.3. Общая схема простых процентов
  4. Г л а в а 7. Модели с переменной ставкой и общая схема простых процентов
  5. 1.2 Модели развития операций по схеме сложных процентов 1.2.1 Стандартная схема сложных процентов
  6. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  7. СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  8. 11.3. Общая схема сложных процентов
  9. 8.9. Стандартная схема сложных процентов
  10. 5. Простейшая однопродуктовая схема
  11. 1.3.1. Простые проценты
  12. 1.2. ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ
  13. Простые проценты
  14. 1.5. Простой и сложный процент
  15. 3.1. Формула простых процентов
  16. 7.2. Понятие простого и сложного процента
  17. 1.1.Наращение простых процентов
  18. Простые и сложные проценты
  19. простые ставки ссудных процентов
  20. ПРОСТЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ