<<
>>

4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДРУГИХ ВИДОВ РЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ

На практике встречаются ренты, отличающиеся от рассмотрен­ных выше рядом параметров. Расчет обобщающих показателей этих рент имеет ряд особенностей.

РЕНТНЫЕ ПЛАТЕЖИ С ПРОСТЫМИ ПРОЦЕНТАМИ

При расчетах рентных платежей в финансовой практике чаще все­го используются сложные проценты.

Вместе с тем существуют рент­ные платежи, в которых начисление процентов производится по став­кам простых процентов.

Рассмотрим методы определения наращенной суммы и современ­ной величины в таких рентах.

Предположим, что рентные платежи вносятся один раз в конце го­да, начисление простых процентов производится также в это время.

Перепишем итоговую строку в обратном порядке:

Пример 4.16. Имеется рента с параметрами: Я; р = 1; п = 4; /.

Схематично расчет наращенной суммы представим следующим образом:
\ Платежи Годы \ 1-й И-й Ш-й IV-й
Пла­тежи Проценты по

платежам

Пла­тежи Проценты по

платежам

Пла­тежи Проценты по

платежам

Пла­тежи Про­центы по пла­тежам
1-й Я - - - - - -
2-й - Я •/ Я - - - -
3-й - Я ■/ - Я •/ Я - - -
4-й - Я-/ - Я-/ - Я-/ Я
Годовые пла­тежи с начис­ленными процентами Я + Я-3 і = = Я'(1 + (л- 1)-0 = Я • (1 + (п -2)4) Я + Р-/ = = Я'(1 + (л - 3)*0 Я

Л; Л[1 + (и — 3) - /]; Л-[1 + (л - 2) ■/]; Л• [1 + (я - 1) •/].

Данная последовательность представляет собой арифметическую прогрессию*.

Сумма членов этой прогрессии будет являться суммой членов годовой ренты:

я • Л [2 + (я -1) г] 5 = (4.42)

где я — число рентных платежей (срок ренты); Я — годовой рентный платеж; / — простая процентная ставка; 5— наращенная сумма ренты.

Напомним, что сумма членов арифметической прогрессии равна:

°1п

5 = ■

2

где а, — первый член прогрессии; ал — последний член; п — число членов. 110

В -срочной ренте с начислением процентов один раз в году пла­тежи с начисленными на конец срока ренты процентами представля­ют собой последовательность:

I
;...; Ra,

1+^1)./

где R^| — сумма разового платежа

V*

М— общее число платежей (УУ=я-/?). Данная последовательность также является арифметической про­

V

грессией, первый член которой равен R , а прирост ■

Сумма членов этой прогрессии, или наращенная сумма ренты, будет рйвна:

S = Ra N ■
1 +
(4.43)

(N-\)i 2 Р

где Ra — разовый рентный платеж;

р — число платежей в году;

п срок ренты в годах;

N — общее число платежей за весь срок ренты, т.е. N— п ■ р\

/ — ставка простых процентов.

Пример 4.17. Рентные платежи вносятся дважды в год по 500,0 тыс. руб. в течение четырех лет. Начисление простых процентов производится в конце года по ставке 20% годовых. Определить наращенную сумму ренты.

S = 500-8-

Параметры ренты: Ra = 500,0; п = 4; р = 2; / = 0,2; УУ = 4-2 = 8. (8-1)0,2

= 5,4 млн руб.

2-2

Расчет современной величины ренты при использовании метода математического дисконтирования производится по формулам:

а) для годовой ренты

(4.44)

б) для р-срочной ренты

N

А = Я I

Л-1
(I
1+-
(4.45)

? = !

где /=1,2... ./V-

Р- ' Я —

общее число платежей за весь срок ренты; число платежей в году; разовый рентный платеж.

Пример 4.18. Банк, предоставляя кредит фирме сроком на 4 года, выста­вил следующие условия: кредит должен быть погашен ежегодными равны­ми платежами по 1,6 млн руб., вносимыми в конце года; на платеж будут начисляться простые проценты в размере 15% годовых. Определить со­временную величину ренты.

Параметры ренты:

Я= 1,6; / = N=4; р = 1; /= 15%;

/4= 1,6-4 - (1 + 4 • 0,15)"' = 4,0 млн руб.

(4.46)
= 9,656 млн руб.
-4 = 2,5-4
[ 4 + 1 0,055
(4.47)
Смешанные ренты.
Финансовая практика знает случаи, когда для р-срочных рент применяется смешанный метод начисления процен­тов. Суть этого метода заключается в том, что в течение года на вно­симые платежи начисляются простые проценты, а за целые'годовые периоды — сложные проценты. При наличии подобных рент процесс расчета наращенной суммы разбивается на два этапа: а) Расчет наращенной суммы в пределах года:

(я-1) . Р + —Г-1

Если для нахождения современной величины применяется бан­ковский метод учета (простые учетные ставки с!), то современная величина определяется по формуле:

(УУ + 1) £ 2 'р,

Пример 4.19. Коммерческий банк заключил с машиностроительной фир­мой факторинговую сделку — приобрел принадлежавшее ей долговое обя­зательство за изготовленное и проданное ею оборудование, примейМв учет­ную ставку 5,5%. Согласно этим обязательствам фирма должна получить с покупателя вместе с начисленными процентами в течение года 10,0 млн руб., выплачиваемых ежеквартально равными долями по 2,5 млн руб.

Определим сумму, полученную фирмой в банке (современную ве­личину):

б) Так как величина 5 является членом годовой ренты, выпла­чиваемой в течение п лет, то наращенная сумма за весь срок ренты составит:

.. (4.48)

ГОД П\I

Пример 4.20. Страховая компания заключила договор с коммерческим банком на следующих условиях. Компания в начале каждого месяца вно­сит в банк 2,0 млн руб., на которые в течение года начисляются простые проценты по ставке 10%, а за целые годовые периоды — сложные про­центы по ставке 8%. Определить накопленную за 4 года сумму.

Параметры ренты: Я =2,0; р= 12; я = 4; / =10%;/ =8%.

а ' ' г ' ' год ' меж годов»)я

^год -2,0-
= 25,10 млн руб.

'12 + (1^.0)10Л 2

V

5=5 = 25,1 -4,506112= 113,10341 млн руб.

год 4; Я ' ' ' ^ ^

Теоретически могут встречаться ренты с периодом, превышаю­щим один год.

Например, рентные платежи вносятся один раз в два или три года и т.п. Вероятность возникновения на практике подоб­ных рент крайне незначительна, в силу чего в данный работе они не рассматриваются.

Вечная рента. В начале данной главы мы рассматривали случай, когда рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, т.е. она является вечной рентой. Как пример вечной ренты приводился выпуск облигационных займов без ограничения срока по­гашения, доходы по которым выплачиваются через определенные промежутки времени, т.е. эти доходы являются членами ренты.

Формально наращенная сумма является бесконечно большой ве­личиной, а следовательно, и современная величина также является большой величиной. Однако при внимательном рассмотрении рас­чет современной величины производится достаточно просто и имеет прикладное значение. Выше было показано, что при неограничен­ном возрастании величины п коэффициент приведения ренты до­стигает значения оц,- =т- Откуда для вечной ренты находим приве­денную, величину:

^ = (4.49)

Следовательно, современная величина вечной ренты зависит от величины члена ренты и принятой ставки процентов. Величина го­дового платежа:

Л = (4.50)

В ограниченной ренте, т.е. ренте с конечным числом членов, со­временная величина А зависит не только от значения годового пла­тежа, но и от коэффициента приведения я , при этом с ростом сро­ка ренты п увеличение значения а..п все время замедляется и, как ранее указывалось, при неограниченном возрастании величины п

коэффициент приведения достигает значения а^,- = т-

Для сравнения коэффициентов приведения обычной ренты с большим сроком п и вечной ренты рассмотрим данные, помещен­ные в табл. 4.2. В ней приведены значения апЧ и для процент­ной ставки г = 5% и различной продолжительности ренты.

Таблица 4.2

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИВЕДЕНИЯ ГОДОВОЙ РЕНТЫ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СРОКОВ

Продолжитель­ность ренты, лет 10 15 20 25 50 100 Вечная
Коэффициент приведения 7,7217 10,3797 12,4622 14,0939 18,2559 19,8479 20,0

Как видно из приведенных данных, при сроке ренты в 50 лет ко­эффициент приведения незначительно отличается от коэффициента приведения вечной ренты.

(4.51)
(4.52)

Для общего случая вечной ренты, когда р > 1, современная ве­личина будет равна:

Я
т
. \
1 J р
1 + —
т)
Р-
-1

Если р=т, то

Аоа = "Г • )

Пример 4.21. Принято решение о выкупе облигаций государственного бес­срочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались дохо­ды в размере 2 тыс. руб. дважды в год — в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла 5% годовых. Определить сумму, под­лежащую выплате на каждую облигацию.

Для решения задачи необходимо найти приведенную величину:

4

Л

= 80,1 тыс. руб.

Отложенная рента. Рассмотрим расчет современной величины для отложенных (отсроченных) рент, т.е. таких, срок реализации кото­рых откладывается на время, указанное в контракте.

(4.53)

Современная величина отложенной ренты является дисконтиро­ванной величиной современной величины немедленной ренты по принятой для нее процентной ставке. Период отсрочки выплаты рент­ных платежей и процентная ставка служат основанием для определе­ния величины дисконтного множителя. Современная величина от­ложенной ренты определяется по формуле:

А= А - V,

А- _

-і-..

где современная величина отложенной ренты;

А — современная величина немедленной ренты; V' — дисконтный множитель за ? лет.

Пример 4.22. Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания стро­ительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми пла­тежами, производимыми в конце года, в размере 2,5 млн руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате от­срочки платежа на два года.

а) Современная величина немедленной ренты:

А = Л • ап., = Я ■ а3.10 = 2,5 • 2,4869 = 6,21725 млн руб.

б) Современная величина отложенной ренты: А=А - V = 6,21725- 1,1^ = 5,138223 млн руб.

в) Выигрыш заказчика:

6,21725 - 5,138223 = 1,079027 млн руб.

Рента пренумерандо. Рассмотрев методы расчета основных пара­метров обычных рент, т.е. таких, в которых рентные платежи произ­водились в конце периода (ренты постнумерандо), перейдем к рас­смотрению методов расчета этих же параметров для рент пренуме­рандо, т.е. рент, в которых платежи производятся в начале каждого периода. Отличие между этими рентами сводится к числу периодов начисления процентов.

Предположим, мы имеем ренту пренумерандо с параметрами:

Л; /; л = 4.

Тогда рентные платежи с начисленными в конце срока процента­ми образуют ряд:

1- й взнос — Л - (1 + /)4 = Л - (1 + /)"

2- й взнос - Л • (1 + О3 = Л • (1 + /)"-'

3- й взнос - Я ■ (1 + О2 = Л • (1 + 0" 2

4- й взнос - Л ■ (1 + /) = Л • (1 + /)"-3.

(4.54)

Переписав этот ряд в обратном порядке, получим геометрическую прогрессию, первый член которой равен Л ■ (1 + /), а знаменатель (1 + /). Сумма членов этой прогрессии определяется по формуле:

(1 + /)"-!

5' = Л-(1 + /)-

То есть сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1+0 раз, поэтому наращенная сум­ма ренты пренумерандо равна:

(4.55)

где 5— наращенная сумма ренты постнумерандо.

(4.56)
(4.57)

Для годовой ренты пренумерандо с «-разовым и непрерывным начислением процентов расчет наращенных сумм производится по формулам:

Ґ ■ Л1"

}

= 1 + — т

3' =Б-е8.

Для /ьсрочной ренты:

(4.58)

т

5

р

=5- ;

(4.59)

(4.60)

5' = 5-е/\

В приведенных формулах величина 5 определяется для соответ­ствующих обыкновенных рент.

Современные величины рент пренумерандо рассчитываются ана­логично, т.е. рассчитывается современная величина обыкновенной рен­ты, которая умножается на соответствующий множитель наращения:

ґ ■ \т

У

А' = А (1 + /); А' = А- 1 + — и т.д.

Ренты с платежами в середине периодов. Расчет обобщающих по­казателей (5" и А") в рентах, где платежи вносятся в середине пе­риодов, производится путем умножения соответствующего показате­ля на множитель наращения за половину-периода:

ґ ■ л

= 5(1 +О0'5; 5" = 5■ 1 + —

. \0,5 т
,0,5.

т

У 2 р 7

5" = 5- 1 + — ; 5 = 5-е2 и т.д.

.

<< | >>
Источник: Мелкумов Я.С.. Финансовые вычисления. Теория и практика: Учебно- справочное пособие. — М.: ИНФРА-М, — 383 с. — (Серия «Высшее образование»).. 2002

Еще по теме 4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДРУГИХ ВИДОВ РЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ:

  1. 14.5. Монопольная и другие виды ренты
  2. Определение параметров годовой ренты
  3. Вопрос 53. Административная ответственность и ее отличие от других видов юридической ответственности
  4. § 2. Соотношение обязательств с другими видами субъективных гражданских прав (п. 1868-1875)
  5. 5. Размер рентных платежей и сроки их выплаты
  6. 10.2. Виды таможенных платежей
  7. § 1. ВИДЫ ТАМОЖЕННЫХ ПЛАТЕЖЕЙ И ОБЩИЙ ПОРЯДОК ИХ УПЛАТЫ
  8. § 1. Понятие и виды таможенных платежей
  9. 3. Рентные платежи
  10. 6.2. Виды лизинговых платежей
  11. 6.2. Виды лизинговых платежей
  12. 10.5. ДРУГИЕ ВИДЫ АННУИТЕТОВ
  13. §5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
  14. §5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
  15. §5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент