<<
>>

4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДРУГИХ ВИДОВ РЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ

На практике встречаются ренты, отличающиеся от рассмотрен­ных выше рядом параметров. Расчет обобщающих показателей этих рент имеет ряд особенностей.

РЕНТНЫЕ ПЛАТЕЖИ С ПРОСТЫМИ ПРОЦЕНТАМИ

При расчетах рентных платежей в финансовой практике чаще все­го используются сложные проценты. Вместе с тем существуют рент­ные платежи, в которых начисление процентов производится по став­кам простых процентов.

Рассмотрим методы определения наращенной суммы и современ­ной величины в таких рентах.

Предположим, что рентные платежи вносятся один раз в конце го­да, начисление простых процентов производится также в это время.

Перепишем итоговую строку в обратном порядке:

Пример 4.16. Имеется рента с параметрами: Я; р = 1; п = 4; /.

Схематично расчет наращенной суммы представим следующим образом:
\ Платежи Годы \ 1-й И-й Ш-й IV-й
Пла­тежи Проценты по

платежам

Пла­тежи Проценты по

платежам

Пла­тежи Проценты по

платежам

Пла­тежи Про­центы по пла­тежам
1-й Я - - - - - -
2-й - Я •/ Я - - - -
3-й - Я ■/ - Я •/ Я - - -
4-й - Я-/ - Я-/ - Я-/ Я
Годовые пла­тежи с начис­ленными процентами Я + Я-3 і = = Я'(1 + (л- 1)-0 = Я • (1 + (п -2)4) Я + Р-/ = = Я'(1 + (л - 3)*0 Я

Л; Л[1 + (и — 3) - /]; Л-[1 + (л - 2) ■/]; Л• [1 + (я - 1) •/].

Данная последовательность представляет собой арифметическую прогрессию*. Сумма членов этой прогрессии будет являться суммой членов годовой ренты:

я • Л [2 + (я -1) г] 5 = (4.42)

где я — число рентных платежей (срок ренты); Я — годовой рентный платеж; / — простая процентная ставка; 5— наращенная сумма ренты.

Напомним, что сумма членов арифметической прогрессии равна:

°1п

5 = ■

2

где а, — первый член прогрессии; ал — последний член; п — число членов.

110

В -срочной ренте с начислением процентов один раз в году пла­тежи с начисленными на конец срока ренты процентами представля­ют собой последовательность:

I
;...; Ra,

1+^1)./

где R^| — сумма разового платежа

V*

М— общее число платежей (УУ=я-/?). Данная последовательность также является арифметической про­

V

грессией, первый член которой равен R , а прирост ■

Сумма членов этой прогрессии, или наращенная сумма ренты, будет рйвна:

S = Ra N ■
1 +
(4.43)

(N-\)i 2 Р

где Ra — разовый рентный платеж;

р — число платежей в году;

п срок ренты в годах;

N — общее число платежей за весь срок ренты, т.е. N— п ■ р\

/ — ставка простых процентов.

Пример 4.17. Рентные платежи вносятся дважды в год по 500,0 тыс. руб. в течение четырех лет. Начисление простых процентов производится в конце года по ставке 20% годовых. Определить наращенную сумму ренты.

S = 500-8-

Параметры ренты: Ra = 500,0; п = 4; р = 2; / = 0,2; УУ = 4-2 = 8. (8-1)0,2

= 5,4 млн руб.

2-2

Расчет современной величины ренты при использовании метода математического дисконтирования производится по формулам:

а) для годовой ренты

(4.44)

б) для р-срочной ренты

N

А = Я I

Л-1
(I
1+-
(4.45)

? = !

где /=1,2... ./V-

Р- ' Я —

общее число платежей за весь срок ренты; число платежей в году; разовый рентный платеж.

Пример 4.18. Банк, предоставляя кредит фирме сроком на 4 года, выста­вил следующие условия: кредит должен быть погашен ежегодными равны­ми платежами по 1,6 млн руб., вносимыми в конце года; на платеж будут начисляться простые проценты в размере 15% годовых. Определить со­временную величину ренты.

Параметры ренты:

Я= 1,6; / = N=4; р = 1; /= 15%;

/4= 1,6-4 - (1 + 4 • 0,15)"' = 4,0 млн руб.

(4.46)
= 9,656 млн руб.
-4 = 2,5-4
[ 4 + 1 0,055
(4.47)
Смешанные ренты.
Финансовая практика знает случаи, когда для р-срочных рент применяется смешанный метод начисления процен­тов. Суть этого метода заключается в том, что в течение года на вно­симые платежи начисляются простые проценты, а за целые'годовые периоды — сложные проценты. При наличии подобных рент процесс расчета наращенной суммы разбивается на два этапа: а) Расчет наращенной суммы в пределах года:

(я-1) . Р + —Г-1

Если для нахождения современной величины применяется бан­ковский метод учета (простые учетные ставки с!), то современная величина определяется по формуле:

(УУ + 1) £ 2 'р,

Пример 4.19. Коммерческий банк заключил с машиностроительной фир­мой факторинговую сделку — приобрел принадлежавшее ей долговое обя­зательство за изготовленное и проданное ею оборудование, примейМв учет­ную ставку 5,5%. Согласно этим обязательствам фирма должна получить с покупателя вместе с начисленными процентами в течение года 10,0 млн руб., выплачиваемых ежеквартально равными долями по 2,5 млн руб.

Определим сумму, полученную фирмой в банке (современную ве­личину):

б) Так как величина 5 является членом годовой ренты, выпла­чиваемой в течение п лет, то наращенная сумма за весь срок ренты составит:

.. (4.48)

ГОД П\I

Пример 4.20. Страховая компания заключила договор с коммерческим банком на следующих условиях. Компания в начале каждого месяца вно­сит в банк 2,0 млн руб., на которые в течение года начисляются простые проценты по ставке 10%, а за целые годовые периоды — сложные про­центы по ставке 8%. Определить накопленную за 4 года сумму.

Параметры ренты: Я =2,0; р= 12; я = 4; / =10%;/ =8%.

а ' ' г ' ' год ' меж годов»)я

^год -2,0-
= 25,10 млн руб.

'12 + (1^.0)10Л 2

V

5=5 = 25,1 -4,506112= 113,10341 млн руб.

год 4; Я ' ' ' ^ ^

Теоретически могут встречаться ренты с периодом, превышаю­щим один год. Например, рентные платежи вносятся один раз в два или три года и т.п. Вероятность возникновения на практике подоб­ных рент крайне незначительна, в силу чего в данный работе они не рассматриваются.

Вечная рента. В начале данной главы мы рассматривали случай, когда рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, т.е. она является вечной рентой. Как пример вечной ренты приводился выпуск облигационных займов без ограничения срока по­гашения, доходы по которым выплачиваются через определенные промежутки времени, т.е. эти доходы являются членами ренты.

Формально наращенная сумма является бесконечно большой ве­личиной, а следовательно, и современная величина также является большой величиной. Однако при внимательном рассмотрении рас­чет современной величины производится достаточно просто и имеет прикладное значение. Выше было показано, что при неограничен­ном возрастании величины п коэффициент приведения ренты до­стигает значения оц,- =т- Откуда для вечной ренты находим приве­денную, величину:

^ = (4.49)

Следовательно, современная величина вечной ренты зависит от величины члена ренты и принятой ставки процентов. Величина го­дового платежа:

Л = (4.50)

В ограниченной ренте, т.е. ренте с конечным числом членов, со­временная величина А зависит не только от значения годового пла­тежа, но и от коэффициента приведения я , при этом с ростом сро­ка ренты п увеличение значения а..п все время замедляется и, как ранее указывалось, при неограниченном возрастании величины п

коэффициент приведения достигает значения а^,- = т-

Для сравнения коэффициентов приведения обычной ренты с большим сроком п и вечной ренты рассмотрим данные, помещен­ные в табл. 4.2. В ней приведены значения апЧ и для процент­ной ставки г = 5% и различной продолжительности ренты.

Таблица 4.2

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИВЕДЕНИЯ ГОДОВОЙ РЕНТЫ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СРОКОВ

Продолжитель­ность ренты, лет 10 15 20 25 50 100 Вечная
Коэффициент приведения 7,7217 10,3797 12,4622 14,0939 18,2559 19,8479 20,0

Как видно из приведенных данных, при сроке ренты в 50 лет ко­эффициент приведения незначительно отличается от коэффициента приведения вечной ренты.

(4.51)
(4.52)

Для общего случая вечной ренты, когда р > 1, современная ве­личина будет равна:

Я
т
. \
1 J р
1 + —
т)
Р-
-1

Если р=т, то

Аоа = "Г • )

Пример 4.21. Принято решение о выкупе облигаций государственного бес­срочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались дохо­ды в размере 2 тыс. руб. дважды в год — в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла 5% годовых. Определить сумму, под­лежащую выплате на каждую облигацию.

Для решения задачи необходимо найти приведенную величину:

4

Л

= 80,1 тыс. руб.

Отложенная рента. Рассмотрим расчет современной величины для отложенных (отсроченных) рент, т.е. таких, срок реализации кото­рых откладывается на время, указанное в контракте.

(4.53)

Современная величина отложенной ренты является дисконтиро­ванной величиной современной величины немедленной ренты по принятой для нее процентной ставке. Период отсрочки выплаты рент­ных платежей и процентная ставка служат основанием для определе­ния величины дисконтного множителя. Современная величина от­ложенной ренты определяется по формуле:

А= А - V,

А- _

-і-..

где современная величина отложенной ренты;

А — современная величина немедленной ренты; V' — дисконтный множитель за ? лет.

Пример 4.22. Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания стро­ительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми пла­тежами, производимыми в конце года, в размере 2,5 млн руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате от­срочки платежа на два года.

а) Современная величина немедленной ренты:

А = Л • ап., = Я ■ а3.10 = 2,5 • 2,4869 = 6,21725 млн руб.

б) Современная величина отложенной ренты: А=А - V = 6,21725- 1,1^ = 5,138223 млн руб.

в) Выигрыш заказчика:

6,21725 - 5,138223 = 1,079027 млн руб.

Рента пренумерандо. Рассмотрев методы расчета основных пара­метров обычных рент, т.е. таких, в которых рентные платежи произ­водились в конце периода (ренты постнумерандо), перейдем к рас­смотрению методов расчета этих же параметров для рент пренуме­рандо, т.е. рент, в которых платежи производятся в начале каждого периода. Отличие между этими рентами сводится к числу периодов начисления процентов.

Предположим, мы имеем ренту пренумерандо с параметрами:

Л; /; л = 4.

Тогда рентные платежи с начисленными в конце срока процента­ми образуют ряд:

1- й взнос — Л - (1 + /)4 = Л - (1 + /)"

2- й взнос - Л • (1 + О3 = Л • (1 + /)"-'

3- й взнос - Я ■ (1 + О2 = Л • (1 + 0" 2

4- й взнос - Л ■ (1 + /) = Л • (1 + /)"-3.

(4.54)

Переписав этот ряд в обратном порядке, получим геометрическую прогрессию, первый член которой равен Л ■ (1 + /), а знаменатель (1 + /). Сумма членов этой прогрессии определяется по формуле:

(1 + /)"-!

5' = Л-(1 + /)-

То есть сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1+0 раз, поэтому наращенная сум­ма ренты пренумерандо равна:

(4.55)

где 5— наращенная сумма ренты постнумерандо.

(4.56)
(4.57)

Для годовой ренты пренумерандо с «-разовым и непрерывным начислением процентов расчет наращенных сумм производится по формулам:

Ґ ■ Л1"

}

= 1 + — т

3' =Б-е8.

Для /ьсрочной ренты:

(4.58)

т

5

р

=5- ;

(4.59)

(4.60)

5' = 5-е/\

В приведенных формулах величина 5 определяется для соответ­ствующих обыкновенных рент.

Современные величины рент пренумерандо рассчитываются ана­логично, т.е. рассчитывается современная величина обыкновенной рен­ты, которая умножается на соответствующий множитель наращения:

ґ ■ \т

У

А' = А (1 + /); А' = А- 1 + — и т.д.

Ренты с платежами в середине периодов. Расчет обобщающих по­казателей (5" и А") в рентах, где платежи вносятся в середине пе­риодов, производится путем умножения соответствующего показате­ля на множитель наращения за половину-периода:

ґ ■ л

= 5(1 +О0'5; 5" = 5■ 1 + —

. \0,5 т
,0,5.

т

У 2 р 7

5" = 5- 1 + — ; 5 = 5-е2 и т.д.

.

<< | >>
Источник: Мелкумов Я.С.. Финансовые вычисления. Теория и практика: Учебно- справочное пособие. — М.: ИНФРА-М, — 383 с. — (Серия «Высшее образование»).. 2002

Еще по теме 4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДРУГИХ ВИДОВ РЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ:

  1. 2.5. Определение параметров потока платежей
  2. 3. Рентные платежи
  3. 5. Размер рентных платежей и сроки их выплаты
  4. Глава IV. РЕНТНЫЕ ПЛАТЕЖИ И ИХ АНАЛИЗ
  5. §5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
  6. 10.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПЛАТЕЖЕЙ И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА
  7. 1.6. Определение параметров финансовой ренты
  8. 4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ
  9. Определение параметров годовой ренты
  10. Определение первичных параметров финансовых рент
  11. 2.3. Определение параметров годовой ренты
  12. §5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
  13. 2.3. Определение параметров рент постнумерандо
  14. Методика определения параметров корпоративной системы.
  15. Тактика других видов следственного осмотра. Эксгумация