<<
>>

2.6. Задачи и примеры

На протяжении 25 лет создается резервный фонд. На поступающие в него средства начисляются сложные про­центы по ставке 9,75% годовых. В течение первых 10 лет в конце каждого года в фонд вносили по 10 тыс.
$, в тече­ние последующих 10 лет - по 20 тыс. $ в конце года,,а в последние 5 лет - по 25 тыс. $ в конце года. Чему будет равна сумма фонда через 25 лет?

2.1. Создается фонд в течение 5 лет. На поступающие в него средства начисляется 9,75% годовых. Сумма годового взноса - 1 тыс. $, проценты начисляются в конце года. Насколько увеличится наращенная сумма при: а) ежеднев­ных взносах; б) ежедневной капитализации процентов; в) ежедневных взносах и ежедневной капитализации процен­тов? (К = 365 дней)

2.2. На протяжении 12 лет создается фонд. Взносы в него поступают в конце года в размере 8 тыс. $. В течение первых 4 лет на поступившие средства начислялись 8 % годовых, в последующие 4 года - 8,25% годовых и в послед­ние 4 года - 8,75% годовых. Определите величину фонда.

2.3. В течение 12 лет создается фонд, на поступающие в конце года средства начисляется 9% годовых. Годовой взнос - 10 тыс. $. В первые 6 лет взносы поступали в конце года, в следующие 4 года - по полугодиям и в по­следние 2 года - в конце каждого квартала. Определите величину фонда.

2.4. На счет в банк, в течение 6 лет, в конце года посту­пает 15 тыс. $ и начисляется 9,5% годовых. Имеет смысл перейти к ежемесячным взносам в банк (в конце каждого месяца), если это приведет к 5% увеличению суммы счета к концу шестого года. Целесообразно ли увеличение часто­ты взносов?

2.5. На протяжении 15 лет создается фонд. На посту­пающие средства начисляется 9,25% годовых. В течение 10 лет в конце каждого полугодия в фонд вносили по 5 тыс. $. Затем в конце 12-го года было внесено 50 тыс. $, а в нача­ле 14-го года - 100 тыс. $. Какова величина фонда к концу 15-го года?

2.6. Решено за 15 лет создать некоторый фонд.

Взносы п конце каждого года составляют 10 тыс. $, на поступаю­щие средства начисляется 10,5% годовых. Первые 8 лет взносы поступали согласно намеченному плану. Затем было решено изменить порядок взносов: в конце 10-го и в нача­ле 14-го годов внести в фонд по равной сумме 50, так, что- С>ы к концу 15-го года получить намеченную ранее сумму фонда. На суммы 50 проценты начисляются по той же став­ке, что и ранее. Чему равно значение 50?

2.7. На счет в банк в течение 6 лет, под 10,2% годовых, н конце каждого полугодия вносили по 10 тыс. $. Для фи­нансирования некоторого проекта с этого счета в конце 7- го и 8-го годов было снято по 40 тыс. $. Накопление де­нежных средств было продолжено на этом счете по той же ставке процентов. Начиная с конца 9-го года, на счет в кон­це года вносили по 40 тыс. $ в течение 5 лет. Какова сумма счета к концу 13-го года?

2.8. Некто, в возрасте 30 лет, решил создать фонд по дополнительной оплате к пенсии. Для этого было решено в течение 30 лет в конце каждого года вносить в банк по 500 $ под 6% годовых. Какую сумму можно будет снимать со счета ежемесячно, в конце каждого месяца, после дости­жения пенсионного возраста в 60 лет, чтобы на протяжении 20 лет полностью исчерпать накопленный фонд? На остаток средств в фонде начисляется 6% годовых.

2.9. Какую сумму ежегодно нужно вносить на счет в Ланке под 8,5% годовых, чтобы через 20 лет накопить 100 тыс. $, если: а) взносы в конце каждого полугодия; 6) взносы в конце каждого месяца?

2.10. За какой срок можно накопить 100 тыс. $, если в конце каждого квартала на счет вносится 15 тыс. $ и на собранные средства начисляются проценты в конце каждо го полугодия по ставке 8,75% годовых? На сколько нужно увеличить годовые выплаты, чтобы не было недоплаты?

2.11. В течение 8 лет создается фонд. Годовые взносы - в кон це года по 12 тыс. $; на собранные средства начисляется 10% годовых. В каком случае сумма фонда станет больше, если перейти к: а) ежемесячным взносам в конце каждого месяца; б) ежедневной капитализации процентов? (К - 365 дней)

2.12.

В течение 8 лет создается фонд. Денежные посту пления в фонд - в конце года равными суммами. На соб­ранные средства в конце года начисляется 10% годовых. Насколько процентов возрастет наращенная сумма фонда при переходе к: а) поквартальным взносам в конце каждо­го квартала; б) поквартальному начислению процентов; в) поквартальным взносам и начислению процентов?

2.13. В течение 6 лет создается фонд, взносы в который поступают в конце каждого полугодия равными суммами. На поступившие средства в конце года начисляется 8,5% годовых. Насколько процентов возрастет сумма фонда в конце 6-го года при переходе к непрерывной капитализации процентов?

2.14. Планируется создать фонд взносами по 10 тыс. $ к конце каждого года. Есть основания считать, что срок создания фонда и используемая годовая ставка процентов имеют еле дующее распределение вероятностей, приведенное в табл. 2.1

Таблица 2.1
Срок создания, года Годовая ставка, %
7 8 8,5
Третий 0,2 0,1 0,05
Четвертый 0,05 0,1 0,15
Пятый 0,05 0,1 0,2

Для наращенной суммы фонда 5 вычислите: 5тіп, 5тал,

, />{40 тыс. < 5 < 50 тыс.}. 2.16. Продается некоторая фирма, приносящая ежегод ный доход в 500 тыс. $, и этот доход можно будет получать 68

и течение 50 лет. Какую цену следует добавить к стоимо­сти недвижимости и оборудования фирмы исходя из ставки сложных процентов 8% годовых, чтобы получить полную стоимость фирмы, если доход получают: а) в конце каждого года; б) в конце каждого месяца?

2.17.

Какую сумму разовым платежом нужно положить II банк под 8% годовых мужчине в возрасте 40 лет, чтобы но достижении им пенсионного возраста в 60 лет в тече­ние 20 лет в начале каждого месяца снимать по 200$, если проценты капитализируются: а) в конце года; б) в конце каждого полугодия?

2.18. Какую сумму разовым платежом нужно положить н банк мужчине в возрасте 60 лет, чтобы в течение 20 лет II конце каждого года снимать по 2 тыс. $, если на остаток иклада меньше 10 тыс. $ начисляется 5% годовых, больше или равно 10 тыс. $ - 8% годовых?

2.19. Задолженность в 1 млн. $ планируется погасить следующим образом: в течение 3 лет в конце года выпла­чивается по 2 тыс. $, а остальной долг гасится равными сум­мами 50 в конце пятого и седьмого годов. На остаток долга исчисляется 7,5% годовых. Чему равно значение 50?

2.20. Стоит ли покупать за 980$ облигацию номиналом I тыс. $ и длительностью 5 лет, если она в конце каждого полугодия дает 40$ процентного дохода и в конце срока погашается по номиналу, если есть возможность поместить чти денежные средства в банк под 9% годовых?

2.21. Авиационная фирма может продать покупателю свою продукцию по одному из двух вариантов оплаты: а) через год выплачивается 20 млн. $, затем с интервалом через год еще 4 платежа по 30 млн. $; б) через год выплачивается НО млн. $, затем с интервалом в полгода 8 платежей по К) млн. $. Какой из вариантов более приемлем для покупа­теля, если он имеет возможность разместить денежные сред- стиа в банке под 8% годовых?

2.22. В аренду сдается оборудование стоимостью 1 млн. $ I роком на 4 года. Остаточная стоимость оборудования в конце аренды оценивается в 500 тыс. $. На профилактиче­ский осмотр и ремонт арендодатель тратит дополнительно пи 200$ в конце второго и третьего годов. Какую годовую

арендную плату следует брать: а) в начале каждого года; б)в конце каждого года, чтобы обеспечить норматив рен­табельности в 15% годовых?

2.23. Участок сельскохозяйственных угодий может при­носить ежегодный доход, который можно рассматривать как случайную величину, равномерно распределенную в интер­вале [190 тыс. $ , 220 тыс. $]. На удобрения в начале года необходимо тратить по 2 тыс. $. При нормативе доходности в 12% годовых назначьте среднюю цену за участок при условии, что ежегодные доходы являются независимыми в совокупности случайными величинами.

2.24. Имеются два варианта строительства и эксплуата­ции дороги: 1) в течение 2 лет ежемесячные инвестиции в строительство по 50 тыс. $ в конце каждого месяца, затем профилактический ремонт после 5 лет эксплуатации доро­ги. На ремонт в начале каждого из 3 месяцев выделяется по 20 тыс. $; 2) в течение 2 лет ежемесячные инвестиции в строительство по 80 тыс. $ в конце каждого месяца, за­тем профилактический ремонт после 10 лет эксплуатации дороги. На ремонт в начале каждого из 4 месяцев планирует­ся выделить по 25 тыс. $. Временной горизонт эксплуатации дороги после завершения строительства - 50 лет для каждо­го из вариантов. Какой из вариантов наиболее экономичный, если банк согласен финансировать строительство и эксплуа­тацию дороги при помещении на его счет денежных средств под 9% годовых? Для выбранного варианта оцените современ­ную стоимость строительства и эксплуатации дороги.

2.25. На аукцион выставляется нефтеносный участок, который при вложении в него по 250 тыс. $ в начале каж­дого квартала, в течение года, может в дальнейшем прино­сить ежегодный доход, в конце каждого года, в следующих размерах: первые 20 лет - по 10 тыс. $, в последующие 10 лет - по 1 млн. $. Оцените стартовую цену участка при нормативе доходности в 9% годовых.

2.26. В условия предыдущей задачи внесем изменения Ежегодные доходы являются независимыми в совокупно­сти случайными величинами. Они равномерно распределе­ны в интервале [9 млн. $; 10 млн. $] на первом этапе эксплуатации длительностью 20 лет. На втором этапе экс­плуатации длительностью 10 лет имеют дискретное распре­деление: 4 млн. $ с вероятностью 0,7 и 5,5 млн. $ с вероят­ностью 0,3. На последнем этапе длительностью 5 лет до­ход- это дискретная случайная величина со следующим распределением вероятностей: 2 млн. $ с вероятностью 0,6; 1 млн. $ с вероятностью 0,3 и 0,5 млн. $ с вероятностью 0,1. Оцените среднюю современную стоимость этого неф­теносного участка для ставки дисконтирования в 10% годо­вых.

2.27. Планируется на протяжении 10 лет создать фонд с ежегодными поступлениями по 100 тыс. $ в конце года. Какая должна быть ставка процентов, чтобы в фонде было накоплено 2,5 млн. $ при капитализации процентов: а) еже­годной; б) ежемесячной?

2.28. На протяжении 10 лет создается фонд с ежегодны­ми поступлениями по 100 тыс. $ в конце года. На посту­пившие средства начисляется 8% годовых, если сумма не превышает 500 тыс. $, и 10% годовых, если сумма превыша­ет 500 тыс. $. Чему будет равна сумма фонда через 10 лет?

2.29. Долг в сумме 200 тыс. $ должен быть погашен за 5 лет равными выплатами в конце каждого полугодия. На остаток долга начисляется 9,5% годовых. Определите вели­чину разовой уплаты по погашению долга?

2.30. Долг в сумме 500 тыс. $, выданный под 8,7% годо­вых, гасится следующим образом: в течение 2 лет (льгот­ный период) основной долг не гасится, затем сумма долга погашается равными платежами (постнумерандо) за 5 лет. Определите величину годовых платежей по погашению долга в течение пятилетнего периода, если: а) на протяжении льгот­ного периода в конце года выплачиваются только проценты; б) проценты за льготный период присоединяются к сумме долга.

2.31. Долг в сумме 700 тыс. $ гасится равными плате­жами в конце каждого года на протяжении 4 лет, затем гасится также равными платежами, но возросшими на 30% по сравнению с первым периодом, в течение последующих 3 лет в конце каждого года. На остаток задолженности на­числяется 9,25% годовых. Чему равна величина годового платежа по погашению долга в первом периоде?

2.32. Долг в сумме 400 тыс. $, выданный под 10% годо­вых, должен быть погашен за 8 лет равными платежами в конце каждого года. Однако после трех выплат, согласно достигнутой договоренности, остальную задолженность было решено погасить равными суммами 50 в конце шестого, седь­мого и восьмого годов по той же ставке процентов. Чему равно значение 50?

2.33. За какой срок долг в сумме 525 тыс. $ может быть погашен годовыми платежами в 80 тыс. $ в конце каждого года, если на остаток долга начисляется 8,25% годовых? Если найденное значение округлить до ближайшего меньшего числа, то каким должен быть годовой член Я по погашению долга, чтобы долг был погашен полностью?

2.34. Долг, в сумме 400 тыс. $, погашается в течение б лет равными платежами с годовыми выплатами по 90 тыс. $. Какой вариант погашения долга более выгоден для кредито­ра: а) погашение в конце каждого полугодия, начисление процентов на остаток долга в конце года; б) выплаты в конце года при ежемесячной капитализации процентов на остаток долга? Чему равна максимальная эффективность зай­ма в виде годовой ставки сложных процентов?

2.35. Долг в размере 870 тыс. $ намечено погасить в течение 10 лет платежами постнумерандо, по 120 тыс. $ ежегодно. Первые четыре выплаты были сделаны согласно достигнутой договоренности. Затем было решено на 2 года отложить погашение задолженности и возобновить ее пога­шение равными выплатами постнумерандо, начиная с конца седьмого года. Какими должны быть погасительные плате­жи во втором периоде, чтобы намеченная ранее эффектив­ность погашения ссуды не изменилась?

2.36. Фонд создается в течение 5 лет. На собранные средства начисляется 8,25% годовых. Годовые платежи по 24 тыс. $ поступают в конце каждого месяца. Насколько процентов возрастет наращенная сумма фонда, если перей­ти к смешанной форме начисления процентов?

2.37. В течение полутора лет создается фонд. Взносы в сумме 100 тыс. $ поступают в конце каждого месяца. На поступившие средства начисляется 7,5% годовых. Чему равна сумма фонда, если: а) начисляются простые проценты; б) сложные проценты?

2.38. В течение 10 лет создается фонд, годовые взносы И сумме 400 тыс. $ вносятся в конце каждого года под 12% годовых. На сколько можно уменьшить годовой взнос й фонд, чтобы получить ту же наращенную сумму, если взно­си вносятся: а) в начале года; б) в начале каждого полуго­дия?

2.39. Долг в сумме 800 тыс. $ гасится равными выпла- гмми в конце каждого года в течение 5 лет, на остаток долга начисляется 8,5% годовых. В каком случае годовые Орсходы по обслуживанию долга возрастут больше и на сколько, если: а) будет предоставлена годовая отсрочка по погашению долга, проценты за этот период присоединяются к сумме долга; б) ставка годовых процентов возрастет на 0,5% ?

2.40. Оценить, косвенно, какую сумму завещал А.Б. Но- Псль на учреждение международных премий, если эта сумма Оыла положена в банк под 10% годовых. Каждый год на­значается шесть Нобелевских премий по 1 млн. $ и 1 млн. $ идет на организационные расходы.

2.41. Месторождение полезных ископаемых планирует­ся эксплуатировать в течение 40 лет. Ожидается, что в Первые 30 лет чистый годовой доход составит по 80 млн. $ ли каждый год, а в последние 10 лет - по 40 млн. $ за Кйждый год. Оцените современную стоимость доходов от эксплуатации месторождения для ставки 10 % годовых.

Указание: воспользуйтесь теорией рент с выплатами в (средине периодов.

2.42. Некоторую задолженность предлагается погасить м течение 5 лет одним из следующих способов: а) выплачи- иить в конце каждого года по 200 тыс. $; б) выплачивать в конце каждого полугодия по 97500 $. Для ставки дисконти- 1'ижания 10% годовых определить, какой из этих способоЕ. В большей мере возмещает задолженность? Для какой став­ни дисконтирования оба способа погашения задолженности Пудут равноценны?

2.43. Долг в сумме 800 тыс. $ должен быть погашен в мнение 8 лет равными платежами в конце каждого года. 11.1 остаток долга начисляется 8% годовых. После 4 лет вы­плат, согласно намеченному плану погашения, должник, по согласованию с банком, решил гасить задолженность рав­ными выплатами в конце каждого полугодия. Явившись в банк в конце седьмого года, должник решил оставшуюся задолженность погасить разовым платежом. Какую сумму ему нужно вернуть банку?

2.44. Кредит в сумме 700 тыс. $ выдан под 10% годо вых. Планируется погасить задолженность, выплачивая по 68 тыс. $ в конце каждого года. За какой срок можно пога­сить задолженность? На сколько нужно увеличить намечен ную сумму выплат, чтобы погасить задолженность не более чем за 8 лет?

2.45. В 1984 г. на химическом заводе в городе Бхопала (Индия) произошла крупная авария, повлекшая человеческие жертвы. Владелец предприятия, корпорация "Юнион карбайд", предложила в качестве компенсации 200 млн. $, выплачи­ваемых в течение 35 лет поквартально. Если бы правитель­ство Индии согласилось с этим предложением, то какую сумму следовало бы поместить корпорации в банк под 10% годовых, чтобы произвести эти выплаты?

2.46. Продается участок земли, который может давать два урожая в год (через полгода). Для севооборота пооче­редно выращивают культуры двух типов А и В. Чистый доход, который можно получить от продажи собранного уро­жая, оценивается в 1280 $ для культуры типа Лив 2000 $ для культуры типа В. Какую цену следует назначить на дан­ный участок земли при нормативе доходности в 12% годо­вых?

2.47. В страховой компании застрахована однородная со­циальная группа лиц в возрасте 53 года численностью 3000 че­ловек. Страхование производится на один год. В случае смер­ти застрахованного в течение года страховая компания вы­плачивает его наследникам 120 тысяч условных единиц и не платит ничего, если застрахованный остается живым в течение года.

Определите страховую премию а каждого участника этого страхового договора, которая обеспечит вероятность выпол­нения компанией своих обязательств на уровне 95% если k3 = 87791,26; d53 = 665,0646.

2.48. Страховая компания заключила договор страхова­нии жизни с однородной социальной группой в 8000 чело- Ш'к на один год. Возраст застрахованных - 43 года. В слу­чае смерти застрахованного в течение года от несчастного Случая страховая компания выплачивает его наследникам 800 тысяч условных единиц, а в случае смерти от естест- щчшых причин - 400 тысяч. Страховая компания не платит ничего, если застрахованный не умрет в течение года. Ве­роятность смерти от несчастного случая, в таком возрасте, оценивается в 0,0007.

Найдите размер страховой премии а, обеспечивающий ве­роятность не убыточной деятельности компании в 95%, если, ' согласно таблице смертности, /43 = 92299,23; й?43 = 317,7619.

2.49. В страховой компании застраховано 1000 человек однородной социальной группы в возрасте 27 лет, для кото-

! рых вероятность умереть в течение года равна 0,0013288, и группа в 4000 человек в возрасте 48 лет, соответствующая исроятность смерти которых - 0,0050436. Страховая компа­ния выплачивает наследникам застрахованных первой груп- ' пы - 300 тысяч условных единиц, а второй группы - 160 ты­сяч, в случае смерти застрахованного в течение года и не Платит ничего, если застрахованный доживет до конца года.

Определите страховые премии а,, а2 социальной группы, гарантирующие 99% вероятность выполнения страховой ком­панией своих обязательств.

2.50. Однородная социальная группа в 1000 человек в иозрасте 70 лет страхует свою жизнь на протяжении 5 лет

; на следующих условиях. Если застрахованный умрет в те- ! чение этих 5 лет, то его наследникам страховая компания выплачивает сумму в 250 тысяч условных единиц, если ос­танется живым, то компания не платит ничего.

Определите величину страховой премии а, обеспечиваю­щей 95% вероятность выполнения компанией своих обяза­тельств, если норматив доходности компании / = 8% годо- иых и используются следующие данные таблицы смертно- 1 сти: с170 = 2195,4578; йп = 2319,4639; й12 = 2442,6884; 61 = 2309,44 2.52. Пусть на пенсионный счет страхователя (возрас; ! >0 лет) в течение трех лет поступают взносы пренумеран до: 80, 120 и 160 тысяч условных единиц. Пенсия будет выплачиваться с 55 лет пожизненно, в конце каждого месяца Норматив доходности в страховой компании - 6% годовых Определите размер месячных пенсионных платежей Для расчета используйте следующий ряд коммутационных чи ?50 = 4859,3; £>51 = 4557,1; Д52 = 4271,55; £>56 = = 3277,32; N56 = 39525,92. 56

<< | >>
Источник: Кирлица В. П.. Финансовая математика : рук. к решению задач : учеб. пособие /В. П. Кирлица. - Мн. : ТетраСистемс, - 192 с.. 2005

Еще по теме 2.6. Задачи и примеры:

  1. 2.5.1. НЕРАВЕНСТВА НА ВЫПУКЛЫХ КОМБИНАЦИЯХ
  2. 1.2. Задача производителя и ее свойства
  3. 1.2. Задачи российского уголовного права
  4. Предисловие
  5. МЕТОДЫ ОТСЕЧЕНИЙ
  6. 1.5. Финансовая политика предприятия
  7. ФРАГМЕНТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫУЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ«АНАЛИЗ ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ»
  8. § 3. Бюджетная система и бюджетное устройство Российской Федерации
  9. Некоторые проблемы решения оптимизационных задач на ЭВМ
  10. Анализ решения двойственной задачи
  11. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
  12. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ