<<
>>

Уровневая функция полезности, выводимая из полезности Неймана-Монгенштерна

Рассмотрим квадратичную функцию полезности, отличаю­щуюся от функции (16) наличием свободного члена, и возьмем его таким, что:

и (Я) = аЫ + Ь(Я - Е(Я))2, (Ъ < 0). (22)

Запись функции полезности Неймана-Монгенштерна (ФП Н.-М.) в форме (22) более наглядна, нежели в функции (16): ин­вестор считает полезным для себя увеличить доход Я, но избега­ет при этом его отклонений от прогнозного значения Е(Я).

Чем больше 1Ы, тем сильнее проявляется тенденция к снижению рис­ков-уклонений, связанных со случайностью, таким образом, -Д-

!Ь1

ассоциируется с показателем склонности к риску. Переходя в функцию (22) к ожидаемой полезности, получим уровневую ФП Н.-М:

и (щ,о) = ат + Ьа2, (23)

где т = Е(Я), о2 = Е(Я - Е(Я))2, и (т, о) = Е(и(Я)).

Можно сказать, что как критерий максимизации выражение (23) представляет свертку двух критериев: максимума ожидаемого дохода т и минимума риска о2.

Подчеркнем, что функция полезности карты кривых безраз­личия (23) и функция полезности дохода (22) однозначно связа­ны друг с другом. Отсюда понятно, что решения инвестицион­ных задач, полученные по любой из этих функций, должны совпасть, а кривые безразличия можно рассматривать либо как траекторию постоянной полезности и (ш,о), либо как траекто­рию постоянной ожидаемой величины полезности Н.-М. Е[и(х)].

| Пример 10. Используя данные примера 8, убедимся, что ФП (23) приводит к тому же | результату, что и ФП (16). В нашем случае:

и (т, а) = Е(и(Я)) = 1,2 Е(Я) - 0,1 Е(Я)2.

Отсюда, применяя известную формулу с2(И.) = Е(Я2) — Е2(Я), получим

и (ш, а) = 1,2т -0,1 т2 -0,1о2. (24)

Сравним значения этой функции, используя характеристики первого и второго портфелей из примера 8. Эти портфели сулят нулевые ожидаемые доходы (1111 = 1112 = 0), и поскольку второй портфель безрисковый, ТО Иь поэтому, как и в примере 8, следует выбрать безрис­ковый портфель (рис. 8).

о

Рис. 8. Кривая безразличия, на которой лежит второй портфель,

расположена выше. Уровень кривой безразличия совпадает с ожидаемой величиной полезности дохода вдоль нее (см. пример 8)


Пример 11. Рассмотрим простейшую задачу портфельных инвестиций и решим ее двумя способами: максимизируя ожидаемую полезность и с помощью уровневой функции полезности.

Итак, имеются два актива со случайными эффективностями Яь 112. Возможные значения этих эффекгивностей и их вероят­ности сведены в таблицу:

вероятности (р) 0,2 0.6
т

Я2

5% -1% 1,25% 2,75%

Пусть функция полезности инвестора

и(Я) = 1,211 - 0,1Я2.

(25)

Будем искать оптимальные пропорции X}, Х2 (х; + Х2 = 1) со­ставного актива по критерию ожидаемой полезности.

При этом способе полезность составного актива выступает как случайная величина со значениями, зависящими от долей XI и XI. Комбинируя эти значения полезности с заданными вероят­ностями (р), придем к математической постановке интересующей нас задачи максимизации.

Чтобы воспользоваться этой схемой, запишем ряд распреде­ления случайной эффективности смеси (составного актива):

вероятности (р) 0,2 0,8
доход "смеси" (К) 5х, + (-1 )(1 - Хі) = 6х, - 1 1.25Х, + 2,75(1 -X!) = 2,75 - 1,5хі
От него с помощью функции(25) легко перейти к ряду рас­пределения случайных значений полезности и (Я):
вероятности(р) 0,2 0,8
полезность (11(К)) и,(х,) = 1,2(6X1-1)- 0,1 (6х, -1)2 и2(Хі) = 1,2(2,75-1,5x0 - 0,1(2,75- 1,5хі)2
и найти:

Е(и(Я)) = О.ги^хО + 0,8и2(х1). (26)

Дифференцируя это выражение по х^ получим уравнение:

0,2(1,2 • 6 - 0,2(6x1 - 1)6) + 0,8 (-1,2 • 1,5 - 0,2(2,75 - 1,5Х1)(-1,5)) = 0,

из которого найдем, что X] = 0,5, т. е. в каждый актив следует ВЛОЖИТЬСЯ ПОЛОВИНОЙ наличности. Вычисляя (26) при Х1 = 0,5, найдем, что максимум ожидаемой полезности равен двум: шах Е(и(Я)) = 0,21^(0,5) + 0,8и2(0,5) = 2.

Решим ту же задачу, опираясь на уровневую функцию полез­ности (24), выводимую из функции полезности инвестора (25). Для оптимизации по данному методу необходимо выразить ожи­даемую доходность смеси и дисперсию этой доходности через неизвестные XI И Х2.

В примере 2 эти активы уже фигурировали и там было уста­новлено, что Ш; = т2 = 2 и О!2 = 022 = 2,25 и он — 1- Отсюда легко получить характеристики составного актива: ш = 2, а2 — Х)2С12 — 2X1X20102 + Х22сз2 = 2,25(2х) — I)2.

Подставляя эти формулы в функцию (24), получим следую­щую задачу максимизации:

2 - 0,1 х 2,25(2x1 - I)2 ------------------- »шах, (27)

которая имеет очевидное решение Х[ = 0,5, что совпадает с ответом, найденным первым методом. Максимальный уровень, т. е. значение критерия (27) на оптимальном решении X) = 0,5, тот же, что и у максимума ожидаемой доходности — 2.

Кривая безразличия для уровневой ФП Н.-М.

Ее уравнение выводится из ФП Н.-М. (23) и имеет вид:

1с - аш с

с = Л—--------- , где т > — .

V Ь а

Этой зависимости соответствует карта кривых безразличия, изображенных на рис. 9.

о

Рис. 9. Кривые безразличия уровневой функции полезности


Как видим, характер полученных кривых согласуется с ли­ниями уровня, нанесенными на рис. 7 для случая а) (неприятие риска).

<< | >>
Источник: Капитоненко В. В.. Финансовая математика и ее приложения: Учебн.-практ. пособие для вузов. - М.: "Издательство ПРИОР", 144 – с.. 1999
Помощь с написанием учебных работ

Еще по теме Уровневая функция полезности, выводимая из полезности Неймана-Монгенштерна:

  1. 8.3 Свойства равновесий Эрроу — Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана — Моргенштерна
  2. 7.2. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 7.2.1. Графики функций полезности
  3. 11.2. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 11.2.1. Графики функций полезности
  4. 2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность
  5. § 4. Закон убывающей предельной полезности. Измерение величины полезности
  6. ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
  7. 5.7. Функция полезности
  8. ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
  9. 20.2. Некоторые известные конкретные функции полезности денег
  10. 8. Типовые функции полезности дохода
  11. 1.2.2. Ординалистская функция полезности
  12. 1.3. Представление предпочтений функцией полезности
  13. 1.2.3. Кардиналистская функция полезности
  14. 2.1.5. Однозначность функции полезности
  15. 2.4 Представление предпочтений функцией полезности
  16. Функция полезности дохода
  17. 7.1 Представление предпочтений линейной функцией полезности
  18. 2.2.1. Избранные функции полезности и отношение к риску