8.9. Стандартная схема сложных процентов

где / — нормированная эффективная ставка накопления.

Эта формула, называемая формулой сложных процентов, — осно­вополагающая для класса моделей, относящихся к схеме сложных процентов, т.е. моделей, финансовый закон для которых описывается вышеупомянутой формулой. Формальное описание финансовой схе­мы сводится к заданию:

— финансовых законов, определяющих правила преобразования (при­ведения) финансовых событий и потоков;

— семейства отношений эквивалентности, связанных с этими преоб­разованиями.

Финансовыми законами в стандартной схеме сложных процентов являются;

— закон капитализации

= р>(, (8.109)

где

а(г,р) = а"~¹ (8.110)

и а > 0 — постоянный коэффициент, называемый нормированным коэффициентом капитализации (роста);

— закон дисконтирования

В{г,р,С) = С^р), р 0 — постоянный коэффициент, называемый нормированным коэффициентом дисконтирования.

Таким образом, финансовые законы капитализации и дисконтиро­вания стандартной схемы сложных процентов являются однородными относительно денежных сумм, непрерывными и стационарными (см. § 1.4). Будем считать также, что в стандартной схеме законы капитализации и дисконтирования взаимносопряженные, т.е.

Условие сопряженности равносильно выполнению равенства v = v, где V = 1 /а,

22-5169 т.е. коэффициенты капитализации (роста) а и дисконтирования V — взаимно обратны.

В нашей формулировке финансовых законов схемы сложных про­центов нет никаких упоминаний о ставках.

На абстрактном уровне анализа они, собственно, и не нужны. Однако, учитывая возможные приложения схемы сложных процентов и содержательные модели финансовых процессов роста, на базе кото­рых собственно и возникла сама схема, следовало бы определить понятие ставки, соответствующей финансовым законам схемы. Тем более что сделать это очень легко.

Так, нормированной процентной ставкой называется величина

/ == а — 1

а нормированной учетной ставкой

d= 1- v.

Из этих определений немедленно следуют стандартные соотноше­ния между этими ставками:

Другие виды ставок (как процентных, так и учетных) получаются при преобразовании временной шкалы. Не будем здесь выписывать явные формулы для преобразования финансовых законов схемы слож­ных процентов и соответствующих им параметров (коэффициентов и ставок) при переходе к новой временной шкале, поскольку этот вопрос был подробно рассмотрен в предыдущих параграфах, посвя­щенных различным видам ставок и их эквивалентностям. В этом параграфе временная шкала считается заданной и неизменной. Соот­ветственно неизменными будут и параметры схемы (коэффициенты и ставки).

Два финансовых закона капитализации и дисконтирования порож­дают один общий финансовый закон:

получаемый «склейкой» законов капитализации и дисконтирования. Общий финансовый закон F(t, р, Q является, естественно, однород­ным (по С), непрерывным и стационарным законом. Причем условие

сопряженности законов капитализации и дисконтирования позволяют записать этот закон в виде

где — произвольные моменты времени.

Перечисленные выше финансовые законы порождают преобразова­ния финансовых событий, которые запишем в операторной форме.

Так, для любого события (Г, С) можно задать его приведенное к моменту р значение

где

В тех случаях, когдар > говорят о будущем значении и пишут

а в случае р < / говорят о дисконтированном (текущем) значении

Хотя общий оператор приведения РУ и его частные случаи РУ йУ представляют собой преобразования событий, на практике обычно говорят о преобразовании (датированных) денежных сумм и пишут просто

и соответственно или

Будем использовать эти сокращенные обозначения в тех случаях, когда это не будет приводить к недоразумению.

Показательный вид финансовых законов в схеме сложных процентов и соответствующих ему правил приведения РУ_т, ОУ_т обусловливает дополнительно выполнение для последних так называе­мого свойства поглощения, которое сформулируем теперь для обобщен­ного оператора РУ_т.

Свойство поглощения оператора приведения. Для любого события С) и любых Т_р Т₂

рк_грк,(с,)=ру_тг(с,).

Доказательство этого свойства тривиально. Пусть

С_ч=РУ_г1{С,) = С,у-\

Тогда

РК/К^РК^С^С^и^' =С,хГ- =РУ„(С₁).

Содержательно (на языке процессов накопления) свойство погло­щения означает, что различные траектории процентного роста для слож­ных процентов не могут пересекаться. Такое пересечение вполне возмож­но для процессов накопления по простым процентам. Другими словами, процессы накопления по сложным процентам «не имеют памяти» в отличие от процессов накопления* по простым процентам. Будущее пове­дение такого процесса полностью определяется не только начальным, но и вообще любым состоянием этого процесса. Именно на этом факте основана упоминавшаяся выше простота теории сложных процентов.

Заметим, что в терминах § 1.4 упомянутое выше свойство поглоще­ния есть следствие транзитивности финансовых законов капитализа­ции и дисконтирования, т.е. для любого р из промежутка (т, г): г < р < т имеет место соотношение

а(г,г) = я(г, р)а(р, т),

а для любого рт(т^)\х'■

Семейство таких графиков для различных С₀ и будет представлять собой геометрию отношения эквивалентности в схеме сложных про­центов (рис. 8.5).

Семейство этих кривых (или, как еще говорят, фак- тор-множество) образует раз­биение плоскости время - деньги в том смысле, что, во- первых, их объединение дает всю плоскость и, во-вторых, эти кривые не пересекаются.

Наконец, легко видеть, что для моделей роста по слож­ным процентам каждая такая кривая содержит полностью

траекторию любого процесса накопления по ставке /, индуцированно­го любым состоянием (/₀,С₀), лежащим на этой кривой, как начальным состоянием этого процесса.

Данное выше определение эквивалентности относилось к финансо­вым событиям. Допуская вольность, часто говорят об эквивалентности (или неэквивалентности) денежных сумм. Конечно, в этом случае речь идет о «датированных», т.е. привязанных к определенным моментам времени, а не абстрактных суммах. При этом процентная ставка играет

роль основного «финансового механизма», определяющего изменение стоимости или, точнее, ценности отдельной суммы со временем. Фор­мально это изменение описывается с помощью введенных выше опе­раторов преобразования (приведения). На практике же, конечно, оно реализуется с помощью инвестирования в конкретные финансовые или реальные активы.

Подводя итог, можно сказать, что задание процентной ставки позво­ляет, во-первых, отождествлять события, относящиеся к различным моментам времени, во-вторых, «переносить» денежные суммы от одного момента времени к другому и, наконец, сравнивать суммы, относящиеся к различным моментам времени. '

Последнее утверждение нуждается в пояснении. Рассмотрим следу­ющий вопрос: что больше — РА 100 или 200? В такой постановке ответ на него очевиден. Сформулируем вопрос несколько иначе. Что предпоч­тительнее: ^100 сегодня или #200 год спустя? Поскольку теперь сум­мы относятся к разным моментам времени, то непосредственно на него ответить невозможно. Инвестор, решающий такой вопрос, должен об­ладать способом сравнения таких сумм (событий!). Способ сравнения, конечно, субъективен и зависит от того, насколько инвестор нуждается в деньгах, может ли он позволить себе делать сбережения и т.п.

Однако если рассматривать этот вопрос с инвестиционной точки зрения, то он получает следующую трактовку. Стоит ли отказываться от .-#100 сегодня, чтобы получить в обмен на них #200 через год? Ответ на такой вопрос зависит уже только от инвестиционных возможностей. Так, если единственная возможность состоит в том, чтобы положить деньги в банк под 20% годовых, то ответ, очевидно, положительный, поскольку по такой ставке сегодняшняя стоимость #200 через год равна 200/1,2, что больше, чем #100. В этом смысле #200 через год предпочтительнее, чем # 100 сегодня. Таким образом, указание про­центной ставки позволяет привести суммы к одному и тому же моменту и затем осуществить сравнение.

Точно такая же ситуация возникает, когда мы хотим проводить арифметические операции над суммами, относящимися к различным моментам времени. Так, открыв счет на #200 в банке, дающем 20% годовых, и добавив .#100 в конце года, вы получите, естественно, не просто арифметическую сумму

.-#200 + # 100 = #300,

а иную величину, учитывающую эффект процентного роста:

.-#200(1 + 0,2) + 100 = 3?340.

С такого рода операциями приведения денежных сумм к одному и тому же моменту времени неоднократно столкнемся в дальнейшем.

Свойство поглощения оператора приведения и порожденная им независимость эквивалентности событий от полюса (момента приве­дения) приводит к тому, что в схеме сложных процентов относитель­ный оператор приведения событий PV^ (см. § 1.5) совпадает с про­стым оператором PV_f. Напомним, что относительный оператор PVj^p)

приведения событий к моменту г относительно полюса р преобразует данное событие (t, С) в единственное эквивалентное ему относительно полюса р событие (т, К). Поскольку выбор полюса для определения эквивалентности, как было показано, несуществен, то, полагаяр = г, в силу (8.112), (8.113) получим

PV}^p) = PV_p.

В схеме простых процентов (см. гл. 3) эти операторы существенно различны, что еще раз подтверждает большую простоту схемы сложных процентов по сравнению со схемой простых процентов вопреки их названиям.

Замечани е. Англоязычный термин compound interest указывает не на сложность (complexity), а на итеративный составной характер (compounding) начисления процентов.

На этом закончим изложение стандартной схемы сложных процен­тов. Напомним, что ее существенным моментом является постоянство коэффициентов (или ставок), определяющих финансовые законы схе­мы. На практике ставки, как правило, редко остаются неизменными. В последующих главах мы подробно исследуем процессы роста в не­стационарных условиях, характеризующихся изменчивостью ставок. При этом основное внимание будет уделено общим и непрерывным схемам изменения ставок.