<<
>>

Случайные потоки, платежей

Такие потоки могут быть весьма разнообразны:

1) полностью детерминированный поток - моменты платежей и величины платежей полностью определены;

2) частично детерминированный поток - полностью определены моменты платежей либо величины платежей и т.

д.

Ограничимся рассмотрением двух примеров.

Пример 1.

По договору в течение 5 лет в конце каждого квартала издательство переводит на счет автора случайную сумму денег (зависит от числа проданных книг). Предположим, что эта сумма равномерно распределена от 1000 до 1400 руб. Как найти современную величину этой ренты?

Решение. Так как момент платежей точно определен, то для расчетов можно заменить поток реальных платежей потоком их математических ожиданий и использовать соответствующую формулу из детерминированного анализа. Так как

переводимая сумма равномерно распределена, то ее математическое ожидание есть середина промежутка распределения, т.е. 1200 руб. Для простоты пусть квартальная ставка сложных процентов /=3%, тогда искомая современная величина равна

1200-а(20,3)=1200-14,877=17852 руб.

Пример 2.

Предположим, что единичные платежи следуют друг за другом через случайные промежутки времени, распределенные по показательному закону с параметром Х>0 (пуассоновский поток платежей). Найдем современную величину такого случайного потока платежей (точнее, математическое ожидание этой величины).

Дисконтируем к современному моменту первый платеж. Для этого надо подсчитать интеграл

Вспомним, что параметр X в показательном законе есть обратная величина к математическому ожиданию, и получаем, что Х=1/Т, где Т - среднее время между платежами, и окончательно, что математическое ожидание современной величины первого платежа равно 1/[1+Т-/п(1+/)].

Поскольку промежуток времени между платежами распределен одинаково, то математическое ожидание современной величины второго платежа равно 1/[1+Т-

2 3

/п(1+/)] , третьего - 1/[1+Т-/п(1+/)] и т.д. Сумма всех этих величин и даст искомую величину. Поскольку 1/[1+Т-/п(1+/)]детерминированного эквивалента плавающей процентной ставки в простейшем случае начисления процентов за пользование деньгами на единичном промежутке.

2. Найдите детерминированный вариант процентной ставки, если ее начисление происходит дважды: первая половина в момент 0,9; вторая половина - в момент 1,1.

3. Найти детерминированный вариант процентной ставки, если с вероятностью 1/3 ее начисление происходит в момент 0,9, и с вероятностью 2/3 - в момент 1,1.

Решение. Пусть величина ставки равна і, а сумма единичная, тогда математическое ожидание наращенной суммы в момент 1 равно

детерминированный вариант чуть меньше і.

4. Найдите детерминированный вариант процентной ставки, если момент ее начисления равномерно распределен на временном отрезке [0,9; 1,1].

5. Проанализируйте инвестиционный проект (-1000, 600, 600), процентная ставка 8%. Окупаются ли инвестиции? Эксперты признали проект среднерисковым и увеличили процент дисконтирования будущих доходов до 13%. Окупятся ли инвестиции в этом случае?

6. В случайный момент, равномерно распределенный на отрезке [0,1], приходит платеж 1. Найдите математическое ожидание его современной величины.

7. Найдите математическое ожидание современной величины случайной ренты: платежи 1000 д.е. осуществляются раз в год: с равной вероятностью либо 1 октября, либо 1 декабря.

8. Найдите математическое ожидание современной величины случайной ренты, в которой момент годового платежа равномерно распределен в текущем году.

9. Сегодня днем цена акции равна 100 руб. За сутки цена может вырасти на 10% с вероятностью 1/3, с такой же вероятностью уменьшится в 1,1 раза и с такой же вероятностью 1/3 остаться равной 100 руб. Найдите распределение цены акции

завтра и послезавтра.

10. Осуществляется одновременно множество инвестиционных проектов («золотая лихорадка на Клондайке»). Инвестиции в каждый проект равны $5000, а будущий годовой доход случаен по проектам - равномерно распределен от 500 до 3000 долл. Какая часть проектов окупится в течение 10 лет? (Процентная ставка 8% в год).

11. В начале года страховая компания кладет в банк 1 д.е. под і% годовых. В любой момент года возможен страховой случай, когда компании придется выплатить 1 д.е. страхового возмещения. Найдите математическое ожидание суммы на счете компании к концу года.

12. Проанализируйте инвестиционный проект, начальные инвестиции в который равны 1 в момент 0, а поток будущих доходов есть пуассоновский поток единичных платежей с плотностью 1 платеж в ед. времени. Ставка процента равна

і.

13. Предположим, что вкладчик срочного годового вклада, может в любой момент востребовать свой вклад (в России это можно, во многих других странах нельзя). При этом банк выплачивает за действительное время вклада проценты из расчета 10% годовых вместо 30% по срочному вкладу. Каков в среднем потерянный процент вкладчика?

Решение. Предполагаем, что момент отзыва вклада равномерно распределен в течение года. Если вклад отзывается в момент х, то выплаченные проценты равны (1+0,1 )х, а должны были быть равны (1+0,3)х. Эту разницу проинтегрируем, имея в виду единичную плотность распределения момента отзыва вклада. Получим

|(1,3Х - 1,1х){1х “ 0,3 1п 1,3 - 0,1 1п 1,1 я 0,093, т.е. около 9,3%.

14. Игрок в «Казино» бросает игральный кубик и передвигает свою фишку на выпавшее число секторов и получает (или отдает) выигрыш, написанный в том секторе, куда он попал. В начальный момент его фишка стоит в секторе «Вход» (рис. 9.1) и игра заканчивается, когда фишка попадает в этот же сектор. Каков средний доход хозяина «Казино» за одну игру? Сколько бросков в среднем продолжается одна игра?

Указание. Обозначим через Z(t) дальнейший средний проигрыш игрока, когда его фишка стоит уже на секторе t. Тогда легко видеть, что Z(t)=Z(t’) для любых секторов t, t’. Это позволит найти решение задачи. Вообще же рассматриваемый случайный процесс может быть отнесен к случайным процессам с независимыми приращениями, играющими важную роль в стохастической финансовой математике.

<< | >>
Источник: Малыхин В.И.. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА,. - 247 с.. 1999

Еще по теме Случайные потоки, платежей:

  1. 11.1. Экономическая природа и классификация денежных потоков
  2. Случайные потоки, платежей
  3. Теоретическое введение.
  4. 1.3. ВЛИЯНИЕ ФАКТОРОВ ВРЕМЕНИ, ЭЛАСТИЧНОСТИ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ НА УРОВЕНЬ КОММЕРЧЕСКОГО РИСКА 1.3.1. Влияние фактора времени на уровень коммерческого риска
  5. 3.4. Потоки платежей и финансовые ренты
  6. 6.1. модели денежных потоков и оценка их стоимости
  7. 16.1. Общая характеристика денежных потоков транснациональных корпораций
  8. 2.7.Дюрация потоков платежей
  9. 9.2. Случайные потоки платежей
  10. §5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры