<<
>>

1.3 Сложная процентная ставка

1.3.1. Сложная процентная ставка наращения. Сложная процентная ставка наращении — это ставка, при которой база начисле­ния является переменной, то есть проценты начисляются на проценты.
Формулу сложных процентов можно получить следующим образом. Предположим, что мы имеем Р руб., которые можно инвестировать по процентной ставке наращения г. Через один период наращения (например, год) мы будем иметь Р(1 г) руб. Если повторить этот процесс, инвестировав всю сумму Я{1 + то к концу второго периода будем иметь [_Р(1 + 0](1 4- г) = Р{1 + О2- Продолжая процесс, видим, что показатель степени в формуле для наращенной суммы равен коли­честву периодов наращения. Положив это число равным п> получим формулу сложных процентов.

3 = Р(1 + г)" (1-14)

где 3 — наращ&шая сумма, Р — первоначальный размер долга, \ — сложная ставка наращения, п — число периодов (лет) наращения, — множитель наращения по сложным процентам.

Пример 1.8. Какой величины достигнет долг, равный 6ООО руб., через А года при росте по сложной ставке наращения 18,5% годовых? Решение. 8 = Р(1 + г)п = 6000 (1-НОД85)4 - 11831,00 руб. в При наращении по сложным процентам наращён над сумма быстро растёт при увеличении числа периодов (лет). В табл. 1.1 представлен множитель наращения в зависимости от числа лет для доух значений ставки.

Таблица 1.1
ті, лет і ~ 10% і = 20%
5 1,61 2,49
10 2,594 6,192
20 0,727 ЗЄ ,34
50 117,4 9100,4

Формулу (114) используют и в том случае, когда срок для начис­ления процентов является дробным числом.

Пример 1.9. Какой величины достигнет долг, равный 8 000 руб. через 4,й года при росте по сложной ставке наращения 20% годовых?

Решелне.

+ = 8 000 ■ (1 + 0,2)4* _ 18506,48 руб. в

1.3,2. Номинальная процентная ставка наращения. Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются т раз в году, В кон­трактах обычно фиксируется не станка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начис­лении процентов один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через Зі то проценты за один период начисляются по ставке а количество начислений равно тп. Наращённая сумма при исполь­зовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:

/ і \тп

Б = Р (і + I) . (1.1®

Пример 1.10. Какой величины достигнет долг, равный 15 000 руб, через 5,7 года при росте по сложной ставке 16,5 % і-одойьіх при начис­лен ни процентов раз в году и помесячно?

Решение.

3 р(1 + г)* = 15 000 (1 + 0,165)*7 = 35 821,93 руб.

3 = Р + тУП = 16 000 і1 + ЛгГ = 38 Ш>55 *

L3.3, Дисконтирование. Определение дисконтирования по сложной процентной ставке то же, что и по простор дайной и разделе 1.2.2. Используя (1-34) И (1Л5), получим формулы дисконтировалня сложных процентов;

Множители; = v и т------------ J. ч = v называются дисконтными

»а

множителями. Разность

D^S - Р (1.17)

называется дисконтом с суммы Я.

Пример 1Л1. Построить таблицу для дисконтного множителя при сроке ссуды 5; 10; 20; 50 лет и при сложной ставке наращения 10 % и 20%.

(- \ mrt ,

Решение. Результаты приведены в табл.

1,2. ш
Та б л иг; а 1,2
Mj лет і 10% і = 20%
5 0,621 0,402
10 0,386 0,Ш
20 ОД 49 0,026
50 0,00852 0,000 LI

Пример 1.12. Сумма 12000 руб, выплачивается через 2,4 года. Номинальная ставка процентов — 16% годовых. Определить современ­ную стоимость при ежеквартальном начислении процентов. Решение,

П $ 12 000 CnOJrtK *

Р = ---- ----- ^г^ - 7---------------- t-ttw = 8 234,95 руб, а

1+ ^

1,3.4. Сложная учётная ставка. В этом случае каждый раз учетная ставка применяется ие к первппачалыюй сумме, как при про­стой учётной ставке, а к сумме,уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Поэтому сумма, выдаваемая банком при учёте век­селя, рассчитывается по формулам:

г Л \ггггг

где (I — сложная учетная ставка.

ГІ ример 1.13. Вексель на сумму 20ООО руб., срок платеж^ по ко­торому наступает через 1,8 юда, учтён ію сложной процентной ставке 18% годовых. Определить сумму, порученную владельцем ьекселн при Учете, и дисконт при: ежегодном и ежемесячном дисконтировании.

Решение.

Р = 5(1 -- ä)n -- 20OÜO{ 1 - 03)^ = руб.

D = 3 - Р ^ 20 ООО - 13992,40 = 0007,51 руб.

/ J v tiiTi f л ге ч 12 Otlti

(l- ^J = 20ООО (l - - 14-420,52 руб.

D = S - P = 20 OUÜ - 14 429,52 = 5 570;% руб. я

1.3,5. Сила роста. Если в формуле (1.15), определяющей пара- іцешіуіо сумму при использовании номинальной процентной Ставки нараїцєлнн, периоды начислення процентов постоянно уменьшать, то количество этих периодов ь году будет уиеличипаться.

В пределе при стремлении длительности периодов к нулю их число стремится к бес­конечности. Такое начисление процентом называется непрерывным, а процентная ставка при непрерывном начислении называется силой роста. Большое значение не прерывное наращелке имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при анализе характеристик ценных бумаг.

Сила роста называется постоянной, если она пе изменяется во времени. Если сила роста изменяется во времени, то она называется переменной.

Формула для наращённой суммы при непрерывном начислении процентов для постоянной силы роста S следует из формулы (1Д5) при стремлении m к бесконечности, то есть:

S^ Jim Р (і -і- —УГІГ* „

m-юо \ inj

ТЪк как äiiTL (1 4- j/m)m — eJ", где е — число Эйлера (основание цату-

TU —+ со

ралькых логарифмов), то, заменяя j ira силу роста (5, получим формулу для наращённой суммы при непрерывном начислении процентов:

SizPj". (L1O)

Связь дискретных ставок і и j с силой роста її находится из ра­венства множителей наращения дискретных (1.14), (1.15) н непрерыв^ ной (1-19) ставок, то есть:

Реши» эти уравнения, получим:

J = ln(l-M), 1, (1.20)

£} , j = m— іj . (1.21)

По формулам (1.20) и (1-21) можно, в частности. зная дискретные ставки цепных бумаг, рассчитать силу роста этих бумаг.

] Пример ] .14 На сумму 15000 руб. начисляются проценты по сложной годовой стайке г — 22% а течение лет. Определит^ силу роста и наращённую сумму при дискретном и непрерывном начисле­нии.

Решение.

5 = 1н(1 + *) = 1п 1,22 ^0,19885684 Или

Наращённая сумма при непрерывном начислении:

$ = Ре*" = ^ОООе0'11^0*^6 085,04 руб.

Наращённая сумма при дискретом начислении:

5 = Р(1 -И)" = 15 000(1 4- 0,22)^ =30085,04 руб.

Таким образом, как и следовало ожидать, наращённые суммы при дискретном и непрерывном начислениях совпали. ■

Пусть переменная сила роста изменяется но времени, то есть 5Е = = /(1). В этом случае наращённая сумма и современная стоимость о [ I ре д е л я ются соотношениями;

п ^ и

Б = Рехр(|Ч 0,

Пример 1.18. За какой срок сумма, равная 22000 руб., достигнет 50 ООО руб. при непрерывном начислении процентов? Сила роста во времени изменяется по лилейному закону, начальное значение силы роста 5о = 0,12, а прирост силы роста а — 0,1.

= 3,026 года.

Пример 1.19- Определить начальное значение силы роста при ее линейном изменении но времени, если долг о а 2,5 года увеличится с У ООО руб до 10 ООО руб. при приросте силы роста а = —ОД, Решен и е,

^ _ Ь 15000 + 0'Д '2

п

60 = " X = " ЗШЮ _---------------------------- = о 3764 или 37,64%.

2,5

<< | >>
Источник: Б.Т. Кузнецов. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. — М.: Издательство «Экзамен», — 128 с.. 2005

Еще по теме 1.3 Сложная процентная ставка:

  1. 7.2.6. ЭФФЕКТИВНАЯ ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  2. § 1.4. Процентная ставка межбанковского рынка как операционная цель
  3. 1.3 Сложная процентная ставка
  4. 1.5 Эквивалентность процентных ставок
  5. Процентная ставка
  6. Лекция 2: СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
  7. 2.4. Определение срока платежа и уровня процентной ставки
  8. 4.2. Эквивалентность процентных ставок
  9. § 3.3. СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ СЛОЖНОЙ СТАВКИ ССУДНОГО ПРОЦЕНТА
  10. § 3.4. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ. НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  11. S 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  12. 2.4. Эквивалентные ставки
  13. 2.4.1. Простая процентная и сложная процентная ставки
  14. 2.4.3. Простая учетная и сложная процентная ставки
  15. 2.4.4. Сложная учетная и сложная процентная ставки
  16. 2.2. Процент, процентная ставка, простые классы кредитных сделок
  17. 2.2. Процентные ставки
  18. § 4.3. СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ СЛОЖНОЙ СТАВКИ ССУДНОГО ПРОЦЕНТА