<<
>>

3.3. Приведение денежных сумм в схеме простых процентов

В предыдущем параграфе мы изучали динамику процесса накопле­ния с фиксированной нормированной процентной ставкой. Процесс процентного накопления является детерминированным процессом в том смысле, что задание начального состояния полностью определяет будущее поведение процесса (см.
§ 1.4). Эта детерминированность позволила определить понятие будущего или накопленного к моменту { значения денежной суммы относящейся к моменту Г0. Данное значение определяется соотношением

^ = = г>г0. (3.13)

В финансовой литературе говорят также о будущей, или накопленной, стоимости суммы Оператор будущей стоимости ^У позволяет найти приведенное к будущему моменту / значение любой суммы относящейся к моменту Г0 или, как еще говорят, привести (преобразо­вать) эту сумму к моменту Г. Задавая такое преобразование, которое определяется исключительно значением ставки /, мы приходим к более общей точке зрения, чем при изучении динамики индивидуального процесса процентного накопления.

По существу, мы переходим к рассмотрению семейства (класса) всех таких процессов с общей ставкой накопления /. Формулу (3.13) при таком обобщенном подходе рассматриваем просто как закон преобра­зования событий или денежных сумм. Традиционно момент (буду­щий), к которому приводятся (преобразуются, переносятся) денежные суммы, называется одним из следующих терминов: моментом приведе­ния, полюсом, фокальной датой, моментом валоризации (см. § 5). Вало­ризация означает оценивание, т.е. нахождение стоимости в заданный момент времени.

Отметим, что процесс приведения полностью определяется коэф­фициентом роста

10-5169

в(/0, 0 = 1 +''('-'„), который задает динамику накопления в схеме простых процентов.

Заметим, что процесс процентного накопления однозначно опреде­лен не только в смысле будущих состояний по заданному начальному состоянию, но имеется некоторая определенность относительно про­шлого.

Более точно, текущее состояние (?, 5) однозначно определяет начальный капитал если известен начальный момент / процесса. Конечно, предполагается известным также и основной параметр — нормированная ставка / (ставка накопления). Это немедленно следует из однозначной разрешимости уравнения динамики

относительно _

\ = 1 (3-14)

Определение Л"0 по заданному состоянию (/, является задачей, обратной той, что решалась в предыдущем параграфе. Ее содержатель­ный смысл формулируется так: какую сумму следует инвестировать в момент /0 по ставке /, чтобы к моменту / накопить сумму

Сумма 51 называется текущей (дисконтированной, сегодняшней, на­стоящей, приведенной) стоимостью суммы а оператор ОУ, приведе­ния к моменту времени — оператором текущей стоимости:

ь=*>№.)■

Если t[) — 0, то формула (3.14) примет вид

1 + //

Операция приведения к начальному моменту суммы £ называется дисконтированием этой суммы. Иными словами, данная операция является обратной по отношению к рассмотренной выше операции нахождения будущей или накопленной суммы.

Заметим, что текущее значение в момент tQ события или суммы Сг в финансовой литературе обычно обозначают РУ (С,). Однако в пос­леднее время это обозначение используется в более общей ситуации как обозначение текущей стоимости суммы (события) в любой (не обязательно прошлый) момент времени (см. определение оператора РУ ниже). Поэтому в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что речь идет именно о прошлых (по отношению к данному событию) момен­тах, используется обозначение £>К(С,). Обозначение DV— сокраще­ние от англ. Discount Value. Коэффициент

d(Ut„) = .,! (ЗЛ6)

1+ /(*-/„) 1 + iT

где Т — t — t называется коэффициентом дисконтирования в схеме простых процентов. С его помощью оператор дисконтирования запи­шется в виде

DVJS,) = S, d(t,t,). (3.17)

Как и коэффициент роста, коэффициент дисконтирования зависит только от разности Т ~ t — /0, а не от моментов времени /0 и / непосредственно.

Это дает основание для введения одномерного или стандартного коэффициента дисконтирования

dT ~—-— Т 1 + /Т

так, что

d(t,tQ) = dT DVta(S,) = StdT.

В случае t{) = 0 выражение для коэффициента дисконтирования упро­щается:

В этом случае оператор дисконтирования запишется в виде

DVt{S,) = SA.

Обратная задача решается не только для модели накопительного

счета, но и в других ситуациях. Так, предприятие, нуждающееся в

дополнительных оборотных средствах, зная выручку, которую оно

получит в результате реализации продукции в течение некоторого

периода, может определить максимальный объем займа, который оно в

состоянии себе позволить при условии своевременного покрытия долга.

Пример 3.5. Какую сумму необходимо вложить в настоящий момент /0 сроком на 2 года под 5% годовых, чтобы накопить .#1000?

Решение. Положим для простоты /(1 = 0. Так как в данном случае S2 = Г,

а переход к прошлым моментам — правилом

у^окісу-сА^)--^^, г«.

Оба оператора можно объединить в рамках одного общего операто­ра приведения, называемого оператором текущей стоимости РУг, ко­торый для любого события (/, С) определяется формулой

/ ч [^г(с,) = с/дМ> если г > г; у _ ру (сі гу ' х '

хК " {ХЖг(С,) = С,,т), еслит<

Операция приведения событий к моменту времени т наглядно изображается на рис. 3.3.

Пример 3.6. Пусть в некоторой временнбй шкале сумма = .^200 относится к моменту Л = 1, а сумма 52 = ,^600 к моменту і7 = 3. Найти приведенные к моменту т = 2 значения этих сумм, если нормированная процентная ставка і = 20%.

Решени е. Поскольку < г, то приведенное к г значение = .#200 есть будущая стоимость этой суммы, т.е.

^ = РУ2 ) = 200(1 + 0,2) = 240 (. *?).

Далее, так как Т2 > г, то приведенное к гзначение ^ = .^600 — текущая (дисконтиро­ванная) стоимость этой суммы, т.е.

Введенному выше общему оператору приведения (текущей стоимо­сти) РУт в схеме простых процентов соответствует обобщенный коэффи­циент приведения или обобщенный коэффициент дисконтирования:

\а(г,т) прит>г;

т) при т < г.

Из очевидного соотношения

^ финансовых событий как к

будущим, так и прошлым мо-

тЦт,г) = 1

следует свойство самосопряженности коэффициента v(t, г) (см. §1.5):

и(г,т)

1

и

(3.18)

М'

Поскольку коэффициент и(/, т), как и коэффициенты а(1, г) и с/{Г, г), зависит только от разности Т= т— то можно ввести (упрощенный) одномерный коэффициент приведения

а(Т)=1 + 1'Т, если Т >0;

. 1 } 1-/Т

Свойство (3.18) для коэффициента и(Т) перепишется в виде

(-ту

1

о(7>

v

С помощью обобщенных коэффициентов дисконтирования опера­тор текущей стоимости представляется в виде

График функции v(T) изображен на рис. 3.4.

T=v(T) =
V-
(ЗЛ9)
если Т < 0.

м

Рис. 3.4

График функции таким образом, «гладко склеен» из луча — графика функции роста а( Т) и графика функции с1{—Т).

<< | >>
Источник: Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф.. Финансовая математика: Учебник. — М.: Гардарики, - 624 с.. 2002

Еще по теме 3.3. Приведение денежных сумм в схеме простых процентов:

  1. 2.1.2. Потоки платежей в схеме простых процентов
  2. 7.2.2. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СХЕМЫ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
  3. 2.1.2. Потоки платежей в схеме простых процентов
  4. 1.1 Модели развития операций по схеме простых процентов
  5. 2.1. Наращение по схеме простых процентов
  6. 3.2. Накопительные модели в схеме простых процентов: динамическая модель роста
  7. 3.3. Приведение денежных сумм в схеме простых процентов
  8. Глава 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
  9. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
  10. Г л а в а 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
  11. Потоки платежей в схеме простых процентов
  12. 6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков платежей в схеме простых процентов