<<
>>

5.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ОБЩИХ АННУИТЕТОВ В ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ

Введем обозначения :

Ж - платежи общего аннуитета; р - количество платежей общего аннуитета в год; і - норма процента за период конверсии; т - число периодов начисления процента в год;

Я - платежи обыкновенного простого аннуитета, который является эквивалентной заменой общего аннуитета, делаемые т раз в год.

Если аннуитет заменяется другим аннуитетом, то очевидно должны быть выполнены следующие два условия : а) норма процента должна быть той же самой или эквивалентной; Ь) стоимости обоих аннуитетов должны быть одинаковыми в любой момент времени.

Обыкновенный общий аннуитет с платежами Ж , делаемыми р раз в год, и нормой процента і за период конверсии с т периодами конверсии в год и обыкновенный простой аннуитет с платежами Я , делаемыми т раз в год удобно представить на временных диаграммах :

О 1/р 2/р 3/р ... (р-1)/р 1

Ж Ж Ж ... Ж Ж

О 1/т 2/т ... (т-1)/т 1 ___________ I_______ I___ I I I

Я Я ... Я Я

Для того, чтобы эти аннуитеты были эквивалентными, определим норму процента і' за интервал платежа общего аннуитета, которая эквивалентна норме і за период начисления процента. Тогда ( см. раздел 2.6 )

(1 + і)р = (1 + і)т . (1)

Если теперь приравнять аннуитеты в конце года, получим

Я = Ж $-1. . (2)

Заменяя функции составных платежей и их явными

т./ ^ ш\г р \г

выражениями в обеих частях (2), будем иметь

(1 +1)т - 1 (1 +1')р - 1

Я------ ------- = Ж-------- ^------ . (3)

I I 4 '

С помощью (1) это равенство упрощается к виду

Я/1 = Ж/1' . (4)

Разрешая (1) относительно находим, что

= (1 + .) т/р _ 1 , Подставляя это в (4) окончательно получаем

я = ж 1

(1 + 1 ) - 1 • (5)

Дробь в правой части этого равенства является обратным значением функции $-|. для дробного параметра п = т/р .

Так что справедливы равенства

1

Я = ----------- и Ж = .

(6)

I т/Р\г ^ '

—рп

Понятно, что значение дроби т/р в общем случае может быть любым. Однако практически встречается один из следующих вариантов : а) т/р является целым числом : в этом случае для анализа общего аннуитета можно использовать обычные таблицы для целочисленных значений параметра; Ь) т/р является дробью вида к/12 , к = 1, 2, 3, 4 или 6 , поскольку такие дроби встречаются довольно часто для них также составлены соответствующие таблицы функций составных платежей.

ПРИМЕР 1 Сидоров получает пенсию 5 млн рб в конце каждого года. Какие ежемесячные выплаты эквивалентны этой сумме, если деньги стоят j\2 = 6% ?

РЕШЕНИЕ Здесь Ж = 5 млн рб, р = 1, г = 1/2 % , т = 12 и нужно определить Я .

0 (1 год) 1 __________________________________ I___ I

5 млн

0 1 2 ... 11 12

____ I________ I________ I_____________ I________ I___

Я Я ... Я Я

Использование равенства (6) дает

Я = 5000 / я-|0,5О/о = 405,35 тыс рб .

Таким образом, Сидоров мог бы получать ежемесячно 405350 рб вместо получения 5 млн рб в конце года. Такой результат получился бы, если бы мы воспользовались уравнением эквивалентности с датой сравнения в конце года.

ПРИМЕР 2 Заменить платежи по 500 тыс рб в конце каждого квартала на полугодовые платежи, если норма процента 5% , т = 2 .

РЕШЕНИЕ Мы имеем Ж = 500000 , р = 4 , г = 2,5 % и т = 2.

0 1 2 3 4 I_______ I_______ I_______ I______ I

500т 500т 500т 500т

0 1 2 ___________ I________________ I_____ I

Я Я

Из уравнения (6) получаем

Я = 500/ ^|2,5% = 500 х 2,01242284 = 1006,2 тыс рб .

Таким образом, полугодовые платежи 1006,2 тыс рб эквивалентны поквартальным платежам 500 тыс рб при норме процента _/2 = 5 % .

<< | >>
Источник: Медведев Г. А.. Начальный курс финансовой математики: Учеб.пособие.-М.: ТОО «Остожье», - 267с.. 2000

Еще по теме 5.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ОБЩИХ АННУИТЕТОВ В ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ:

  1. § 2. Общая характеристика основных ценных бумаг
  2. 5. Право на обжалование решений общего собрания
  3. 22.4. Обыкновенные акции различного статуса
  4. 4.2 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И ИТОГОВАЯ СУММА ОБЫКНОВЕННОГО АННУИТЕТА
  5. Глава 5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
  6. 5.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ОБЩИХ АННУИТЕТОВ В ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ
  7. 5.3. ИТОГОВАЯ СУММА И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННОГО ОБЩЕГО АННУИТЕТА
  8. 5.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АННУИТЕТОВ В ОБЩИЕ
  9. 5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ОБЩЕГО АННУИТЕТА
  10. 5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ОБЩЕГО АННУИТЕТА
  11. 7.1. ОБЫКНОВЕННАЯ ПРОСТАЯ И ОБЩАЯ ВЕЧНЫЕ РЕНТЫ
  12. 7.3. ДРУГОЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
  13. Глава 10. ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
  14. 10.1. ОБЩИЕ ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ
  15. 10.2. ОБЩИЙ СЛУЧА
  16. 10.5. ДРУГИЕ ВИДЫ АННУИТЕТОВ
  17. § 5.9. СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ РЕНТЫ К ПРОСТОЙ РЕНТЕ
  18. Программа учебного курса «Ценные бумаги»