4.5. Оптимизация портфеля ценных бумаг. Постановка и решение классической задачи оптимизации методом неопределенных множителей Лагранжа

Естественно, что и ожидаемая эффективность, и вариа­ция портфеля будут зависеть от его структуры, т.е. доли исход­ного капитала, вложенной в каждый вид ценных бумаг. Инве­стор всегда сталкивается с дилеммой: желание иметь наиболь­шую эффективность портфеля и желание обеспечить вложение с наименьшим риском. Поскольку «нельзя поймать двух зай-

145

цев сразу», необходимо сделать определенный выбор, кото­рый зависит от характера самого инвестора и от его склонно­сти к риску. Однако разумный инвестор должен быть уверен, что, определив в качестве цели достижение наибольшей ожи­даемой эффективности, он выберет такую структуру, которая поможет добиться этого с наименьшим риском.

Пусть, как и ранее, x. - доля капитала, вложенного в цен­ные бумаги j-го вида. Тогда можно свести задачу выбора опти­мальной структуры портфеля к следующей математической про­блеме, формализованной впервые Г.Марковицем (Н. Markovitz) в 1951 г., за что позднее он был удостоен Нобелевской премии по экономике.

Найти х., минимизирующие вариацию эффективности ^{портфеля} К, =

• i '

при условии, что обеспечивается заданное значение m ожида­емой эффективности, т. е.

lL^mi^xi = m, при =¹.

Решение этой задачи обозначим знаком *. Если х .* > 0, то это означает рекомендацию вложить долю х * наличного ка­питала в ценные бумаги вида j. Если х * < 0, то это означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в коли­честве — х * (на единицу наличного капитала), т.е. участво­вать в операции типа short sale. Если таковые невозможны, то приходится вводить дополнительное требование: х.

Решение задачи численными методами не представляет трудностей.

Американский экономист Д.Тобин заметил, что решение задачи резко упрощается и приобретает новые особенности, если учесть простой факт: кроме рисковых ценных бумаг на рынке имеются и безрисковые (или почти безрисковые) типа государственных обязательств с фиксированным доходом.

Поэтому и на практике, и в теории главная задача - пра­вильное распределение капитала между безрисковыми и рис­ковыми вложениями

Пусть г₀ - эффективность безрискового вложения, а ожи­даемая эффективность какого-либо портфеля рисковых цен­ных бумаг равна т_г (и она, конечно, выше г) Известна также вариация V эффективности этого портфеля.

Неизвестна доля х₀ капитала, которую надо вложить в безрисковые ценные бумаги.

Эффективность комбинированного вклада объединенно­го портфеля (х₀ - в безрисковые, 1 — х₀ - в рисковые) являет­ся случайной:

Я = х₀ г₀ + ( 1 — х₀ ) Я,

р 0 0 ^у 0 ⁷ г

Ожидаемое значение равно

^тр = ^Х0 ^Г0 + ^{( - Х}0 )^т_г = ^тг + ^Х0 ⁽0 ^{- т}г )^,

а вариация определяется только рискованной частью вклада

и равна , „

Гр =(1 -Х0))У_г.

Среднеквадратичное отклонение: о _р = (1 - х₀ )о_г. Исключая х₀, получим

т_г - Г0 тр -Г0 =— ⁰Ор'

т.е. связь между ожидаемым значением и СКО эффективности всего вклада линейна (рис. 4.5). А

Если весь капитал инвестируется в безрисковые ценные бумаги, то эффективность равна г а риск равен нулю; если весь наличный капитал вложить в рисковые ценные бумаги,

то ожидаемая эффективность равна та СКО равно б_г. Лю­бому же промежуточному решению (0 < х₀ < 1) соответствует одна из точек на отрезке прямой, связывающей предельные, простые решения. Однако если возможно брать безрисковые ценные бумаги в долг (х₀ < 0), то достижима и любая ожидае­мая эффективность, сопровождаемая соответственно растущим риском. Теория лишь указывает, каковы будут последствия ре­шения инвестора.

Главный вывод, сделанный Тобиным: если имеется воз­можность выбирать не только между заданным рисковым пор­тфелем и безрисковыми ценными бумагами, но и одновремен­но выбирать структуру рискового портфеля, то оптимальной окажется только одна такая структура, не зависящая от склон­ности инвестора к риску.

Задача оптимизации портфеля ценных бумаг допускает явное решение, только если отсутствуют ограничения неотри­цательности переменных. Построим его с помощью метода множителей Лагранжа. Предварительно перепишем постанов­ку задачи в матричной форме:

Ур = ^х У_х; т^Тх = т_р; 1^Тх = 1,

р

вводя обозначения для (п х п) — матрицы ковариаций V = [V], матрицы-столбца ожидаемых эффективностей т = (т), единичной матрицы-столбца I = (1), а также матрицы-столб­ца неизвестных долей х = (х). Знаком «Т» обозначена опера­ция транспонирования. Согласно этим обозначениям задача оптимизации структуры портфеля принимает вид: миними­зировать

Ур = хХ; (4.8)

при двух ограничивающих условиях

т^Т х = т_р; 1^Т х = 1, (4.9)

причем т является произвольной фиксированной величиной, а матрицы V, т заданы. Введем функцию Лагранжа:

Ь = х^ТУх + А ₀ (1^тх -1) + А₁(т^Тх - т).

Решение поставленной задачи на условный экстремум должно удовлетворять соотношению

= 0;

дх

что эквивалентно уравнению

2 Ух = — А₀ I — А ₁ т, откуда получаем, что

х = -(Ао / 2) У¹1 - (А1 / 2) У"¹ т (4.10)

Подставляя (4.10) в (4.9), приходим к двум уравнениям относительно множителей А ₀ и А ₁:

(- А0 / 2) 1^Т У"¹1 - (А1 / 2) 1^Т У"¹ т = 1, (- А₀ / 2) т^Т У'¹1 - (А₁ / 2) т^т У"¹ т = т_р. Решив систему и подставив найденные значения А ₀ и

А ₁ в (4.10), находим явное представление для оптимальной структуры портфеля:

х = х* = У¹ [тр (I3₁₂ - т 3₁) + т 3₁₂ - I3₂] / Ц/ — 3₁ 3_г)

где 3 = 1^Т У'¹1; 3 = т^т У^А т; 3 = 1^Т У'¹ т.

1 2 12

Решение линейно относительно т_р. Отсюда следует, что У_р*= х*^Т У х* является выпуклой вниз функцией т_р, и это же верно для СКО а *_р.

Если на переменные х наложено условие не­отрицательности, то исходная задача превращается в пробле­му квадратичного программирования, для решения которой разработаны специальные вычислительные методы.

Представление о свойствах решения можно получить с помощью обобщенного метода Лагранжа, вводя дополнитель­ные множители Д = (Д ,і = 1 ,..., п), соответствующие каж­дому неравенству х.> 0.

Решение, выраженное через эти множители, представле­но в виде

х* = V-¹ {С^т (С V-¹ С^т)^-1 [ё + (1/2) С V-¹ Д ] — Д }, где введены обозначения для постоянных матриц

ё^т = {1, т_р}, С^т = {1^т, т^т}, а множители Д и х* удовлетворяют условиям вида

Д х* = 0; Д > 0; х* >0, (4.11)

]

т.е. либо Д.

р

Рассмотрим далее задачу оптимизации при возможности безрисковых вложений. Обозначая через х₀ долю таких вло­жений с гарантированной эффективностью г приходим к проблеме:

шш{х^Т V х / т^Т х + г₀ х₀ = т 1^Т х + х₀ = 1}. (4.12)

Составим функцию Лагранжа:

Ь = х^Т Vх + Я₀ (1^Т х + х₀ - 1) + 1₁ (т^Т х + г₀ х₀ — т_р).

Условия минимума таковы

дЬ = 0; ^ = 0,

дх дх₀

что приводит к системе линейных уравнений

) ¥х + А0 I + Я, т = 0; Я0 + Я, г₀ = 0,

откуда

Я0 = — Я ! х = ¥-\1 Г0-т) (Я ./)). (4.13)

С другой стороны, исключая х₀ из ограничений задачи, получаем

1 - I^Т х = (1 / г₀) (т_р - т^т х),

или

(т - г„!)^Т х = т - г..

⁴ 0 ' р 0

Подстановка сюда х из (4.1) дает уравнение для 1 из ко - торого этот множитель определяется в явном виде:

Я1 = -) (тр - г) / [(т - Г01)^т V-¹ (т - ^I)],

что в свою очередь позволяет преобразовать (4.13) в явное выражение решения

х = х* = V^х (т - г I) (т - г ) / [(т - г 1)^Т V'¹ (т - г I)].

0 р 0 0 0

Существенно, что величина т входит только в скаляр­ный множитель при х*. Следовательно, структура рисковых

вложений не зависит от т :

р

х * V'¹ (т - г₀ I)

ъ

j=1

Минимальная вариация вычисляется по определению

V*_p = х*^т Vх* = (т_р - г₀)²

где £ = (т - г Г)^Т V"¹ (т - г I).

Отсюда⁰ следует л⁰инейность связи между ожидаемой эф­фективностью оптимального портфеля и ее СКО:

а % = Я"¹ (т - Г₀) (4.14)

или

т_р = г₀ + я я*_р . (4.15)

При х₀ = 0 оптимальный портфель состоит только из рис­ковых ценных бумаг, а следовательно, должен быть оптималь­ным также и среди возможных вариантов только рисковых ценных бумаг. Однако минимальные вариации всех портфе­лей, содержащих только рисковые ценные бумаги, для различ­ных соответствующих им ожидаемым эффективностям даются решением задачи Марковица (4.6), (4.7). Таким образом, точка на прямой (4.15), соответствующая х₀ = 0, должна лежать и на кривой а *(т ). Более того, это единственная общая точка этих прямой и кривой в силу единственности оптимального порт­феля рисковых ценных бумаг. Поэтому прямая (4.15) должна касаться кривой а *(т_р) в этой точке (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Графическая иллюстрация решения задачи Марковица

Пусть сначала сделан наилучший выбор только среди всех рисковых ценных бумаг. В зависимости от склонности к риску инвестор выберет одну из точек на кривой Я. После этого воз­никает возможность вклада и в рисковые, и в безрисковые ценные бумаги.

Проведя касательную к кривой Я из точки т = г а = 0, найдем точку с координатами т *, а *, дающими характерис­тики оптимального рискового портфеля. Все другие точки на касательной представляют характеристики оптимального ком - бинированного (из рисковых и безрисковых ценных бумаг) портфеля, и пропорция х₀ в этой комбинации должна опреде­ляться самим инвестором.

Теми же свойствами обладает решение задачи Тобина (4.12) при введении дополнительных ограничений неотри­цательности переменных. Решение может быть представле­но в виде:

х* = (т_р - Г₀) Я"² У-¹ (т - г₀1) + (1 / 2) У"¹ [(т - г₀1) (т - г₀1)^Т У"¹ я"² - 1] /,

где I = (I,у = 1 ,..., и) — множители, удовлетворяющие совмес-

* ~

тно с компонентами х условиям дополняющей нежесткости (4.11). Ненулевые множители определяются совместно с не­нулевыми компонентами х^* из линейной системы уравнений, правая часть которой пропорциональна т — г

Отсюда вытекает, что х* пропорционально т — г а сле­довательно, структура рисковых вложений не должна зави­сеть от этого скалярного множителя.

Хотя гипотеза Тобина о возможности чисто безрисковых вложений практически некорректна, но можно доказать, что при наличии слаборисковых вложений решение задачи Мар- ковица оказывается близким к решению задачи, построенной с учетом пренебрежения слабым риском. Тем самым структу­ра сильнорисковых вложений окажется почти не зависящей от склонности инвестора к риску.

Дадим оценку вклада каждой ценной бумаги, вошедшей в оптимальный портфель, в общую ожидаемую эффективность.

Эффективность оптимального портфеля есть случайная величина, равная

п

К = ^г0 ^х0 +Х ^КУ^х** = ^г0 ^х0 + ^КТх*

у=1 '

где К - случайная эффективностьу-й рисковой ценной бумаги. (Отсюда находим, что

К*_р — т*_р = г₀ х₀ — т*_р + К^Тх* = (К - т)^Тх*, (4.16)

Т *

где учтено условие т_р = г₀х₀ + т х .

Вычислим величины р *, именуемые «бета вклада у относительно оптимального портфеля», которые по определению равны:

в *. = (1 / V*) СоV{ Я.Я*_р} = (1 / V*) Б{(Я. - т) (Я*_р- т_р)}.

В силу (3.9) вектор Ь* с компонентами Ь. дается формулой

в * = (1 / Р*_р) Е{(Я- т) (Я*_р- т_р)} = (1 / Р*_р) Е{(Я- т) (Я - т)^тх*}.

Вспоминая смысл элементов матрицы ковариаций V, не­трудно убедиться, что

V = Е{(Я - т) (Я - т)^т}, откуда следует выражение

в* = (1 / V*_p) Vх*,

или

в * = (т - г₀1) / (т_р — г₀).

Обычно это соотношение записывается в виде т - г₀1 = в* (т_р — г₀), или в скалярной форме

т. - г„ = в*- (т — О, 1 = 1,..., п.

1 0 1 Р ' '

Превышение ожидаемой эффективности какой-либо рис­ковой ценной бумаги или портфеля рисковых ценных бумаг над эффективностью безрискового вклада именуется премией за риск. Теория позволяет сделать важный вывод: премия за риск любой ценной бумаги, включенной в оптимальный порт­фель, пропорциональна премии за риск, связанной с портфе­лем в целом.

Ясно, что чем больше бета данной ценной бумаги, тем выше доля общего риска, связанная с вложением именно в эту ценную бумагу. Вместе с тем, чем больше бета, тем выше и премия за риск.