<<
>>

4.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Когда А , Я и г ( или Б , Я и г ) заданы, уравнение аннуитета А = Я а п\г ( или Б = Я* -| г ) может быть разрешено относительно п или путем

интерполяции или при помощи логарифмирования. Процедура расчета простая, но появляется проблема интерпретации нецелого решения. Например, если уравнение аннуитета приводит к равенству а п\г = 20 ,

как встретилось в предыдущем разделе, интерполяция дает результат п = 22,42696. Легко проверить, что произведение дробной части этого решения на величину периодического платежа дает точное значение заключительного платежа F , определяемого в примере 1 ,

500000 х 0,42696 = 21348 рб.

Оказывается это имеет место и в общем случае.

к
а -,

к

Пусть даны А , Я и г . Значение п определим с помощью интерполяции. Представим п в виде к + / , где к - целое число, а /- дробная часть, f < 1. Тогда F = f Я равно заключительному платежу, выплачиваемому через один период после последнего платежа Я и обеспечивающему эквивалентность платежей. Докажем это. Из уравнения аннуитета имеем а п\I = А/Я . Составим таблицу данных

к +f к + 1

А / Я а

к + 1 г

Из уравнения пропорции получим

- а

А
Г
Я

к 11

1
а

к + 1 г к г

f =

Знаменатель этой формулы можно вычислить по формуле (10) при п = 1 с учетом того, что а ц. = (1 + 1) -1 . Это дает следующее выражение для f

А

Я а ~\г

к - 1

(1 + г )

Умножая это равенство на Я(1 + г) -ы, получим

f Я (1 + г)-к"1 = А - Я ат

С другой стороны, если F определять при помощи уравнения эквивалентности с датой сравнения в начале первого интервала платежа, мы получим согласно диаграмме

0 1 2 3 ... к-1 к к+1 I_______ I_____ I_____ I____ I I I

R R R ... R R F

A

следующее уравнение эквивалентности стоимостей

A = R a + F(1 + i) -к-1 .

Сравнивая этот результат с предыдущим, убеждаемся, что в условиях линейной интерполяции F = f R , что и требовалось.

Таким образом, когда уравнение аннуитета a -| i = A/R разрешается

относительно n приближенно при помощи линейной интерполяции, дробная часть n может интерпретироваться как дробная часть R , необходимая в качестве заключительного платежа F , когда F выплачивается одним периодом позже последнего платежа R .

В заключение заметим, что точное значение n находится из уравнения аннуитета, записанного в явной форме

1 - (1 + i ) "n A a -, =

п\1 I Я

что может быть переписано более удобно

(1 -/А/Я)(1 + 0п = 1 .

Логарифмируя это равенство и выражая затем п , получим его точное значение в виде

п = - (^(1 - ШЯ)) / 1од(1 + 0 .

К сожалению, это выражение не поддается практической интерпретации.

<< | >>
Источник: Медведев Г. А.. Начальный курс финансовой математики: Учеб.пособие.-М.: ТОО «Остожье», - 267с.. 2000

Еще по теме 4.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРПОЛЯЦИИ:

  1. 10.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПЛАТЕЖЕЙ И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА
  2. 10.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБЩЕЙ ТЕОРЕМЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
  3. Определение эквивалентности платежей
  4. Метод квадратичной интерполяции
  5. 4.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛАТЕЖЕЙ АННУИТЕТА
  6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРА И ГРАФИКА ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ
  7. § 8.4.2. Метод интерполяции
  8. 3.3. Определение сроков новых платежей
  9. 4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДРУГИХ ВИДОВ РЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ
  10. § 8.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ОТДЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА ПРОСТОЙ РЕНТЫ
  11. § 5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ОТДЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА ПРОСТОЙ РЕНТЫ
  12. 2.5. Определение параметров потока платежей
  13. 3.3. Прогнозирование элементов рынка методом интерполяции динамических рядов
  14. 1.1. Однократные платежи в условиях определенности
  15. 2.4. Определение срока платежа и уровня процентной ставки
  16. МЕТОД КУБИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
  17. Повзун С. А. О НЕОБХОДИМОСТИ ВЫРАБОТКИ ОФИЦИАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ДЕФЕКТ В ОКАЗАНИИ МЕДИЦИНСКОЙ ПОМОЩИ»
  18. 1.2. Определение срока платежа и уровня процентных ставок