<<
>>

2.5. Определение параметров потока платежей

2.5.1. Определение величины годовой выплаты рейты. При определении величины годовой выплаты ренты используются по­лу ченeiые выше формулы для определения наращённой суммы и со­временной стоимости различных рент. При этом должны быть заданы все параметры ренты, кроме годовой еыплаты. Для р-срочной ренты

с начислением процентов т — раз в году величина годовой выплаты определяется по формулам (2.18) и (2,21):

где 5 и Л наращённая Сумма и современная стоимость ренты соот­ветственно, з^ , и * — коэффициенты наращения и при­' 1711гЬ' ^ / Т71Ц1| ^ \ ГП 1 1 4

ведения ренты соответственно, р — количество выплат и году, ш — количество начислений процентов и году, з — номинальная процентная ставка, п — срок ренты в годах.

Пример 2.28. Б фонд ежегодно в конце года поступают средства в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причём выплаты производятся поквартально, а проценты на­числяются: ежемесячно {раз в году). Наращённая сумма к концу срока, составит 100 тыс. руб. Определить коэффициент наращения ренты и годовую выплату.

Решение. Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и начислении процентов ежемесячно находится по формуле (2.19):

0,15 12
Аг)

тп\ з/т

12,108 76,
ыг

12-7

_ ИГ-1 _ (1+

(-^гч

Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и на­числении процентов раз в году (т = 1) определяется формулой:

4І(1 + 0,15)І/4 -1

,(,> _ {1 + 0--1 _ (1+0Л)т-1 = и ш . Г/ч . П/и ,1 ^ Г„ , Г. ,-%1/4 ,1 1

р[(1 + 01/р-1

Годовые выплаты при начислении процентов ежемесячно составят:

Я —

3 100000

= 8 258,48 руб.

г 12,10876

тп- л/т

Годовые выплаты при начислении процентов раз в году:

100 ООО
Н =
(И 11,67118

= 8568,11 руб.

Для р-срочноЙ непрерывной ренты величина годовой выплаты определяется но формулам (2.24) и (2.27):

гд£ 5 — сила роста.

'Пример 2.29. В фонд ежегодно поступают средства в течение се­ми лет, на которые начисляются проценты но силе роста 15 % годовых, причем выплаты производятся поквартально (раз в году), а проценты начисляются непрерывно, Современная стоимость ренты составляет 50 тыс. руб. Определить коэффициент приведения ренты и её еже; од­ну Ю выплату.

Решение. Коэффициент приведения ренты дли поквартальных выплат находится гто формулам (2.2(1);

= -Г7Г—ч" = / , \ - 4.252 998^ ' р (е"> -1) 4(^-1)

п А 50 0[)0 „,ейл й

П| Л

Для выплат один раз в году коэффициент приведения ренты опреде­ляется по формуле (2.28):

ап,& — ■ = = 4,016838,

а А 50000 й ,

Коэффициенты наращения и приведения при непрерывном начис­лении про цен то а и непрерывных выплатах определяются выражения­ми (2.26а).

Годовая выплат* может быть вычислена по формулам:

(2.63)

Г1р и мер 2.30. В фонд ежегодно поступают средсгиа в течение се­ми лет, на которые начисляются проценты по силе роста 15% годовых! причем выплаты производятся и проценты начисляются непрерывно. Современная стоимость ренты составляет 50 тыс. руб. Определить коэффициент приведения ренты н её годовую выплату,

Решение. Коэффициент приведения ренты находится по фор­муле: Л .

«1/р - 1 = 100 ООО ■ 4 (1 + 0,15):/4 -1

Ежеквартальные выплаты при начислении процентов раз в году и при ежеквартальных выплатах находятся по формуле:

Я 14223,24 в1 я

- — -——------- = 3555,81 руб-

р 4

Ежегодные выплаты при начислении процентов и выплатах раз в году находятся по формуле (2.08):

П= Лм» - 100000 - 0,15 = 15 000 руб. Л

Для переменных рент рассмотрим метод расчёта величины плате­жей при айда]гной современной стоимости на примере ренты с измене­нием выплат по закону арифметической прогрессии. При определении выплаты и конце первого ^да Я и постоянного годового приращения выплат а воспользуемся формулой (2.43):

а = А - Д^., ^ (2,70)

При мер 2.35. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличивать­ся каждый год на 2,5 тыс, руб, в течение 10 лет при поступлениях денег в конце каждого года- Начисление процентов производится по ставке 12% годовых. Современная стоимость переменного потока платежей равна 300 тыс. руб. Определить выплату, сделанную в конце первого года.

Решение. Предварительно найдём коэффициент приведения по­стоянной ренты постнумерандо

о„.; = = = 5,650 222 5.

Для определения выплаты, сделанной в конце первого года, восполь­зуемся формулой (2.69):

Я - Л +па1/П _ ® ~ 300000

аПц га^г г 5,660 222 5

= 14223,24 руб.

10 ■ 2500 ■ 1,12-'° _ 2590 = 44 1 33,62 руб. . 0,12-5,6502225 0,12

Пример 2,36. Ожидаете, что сбыт продукции будет увеличи­ваться каждый год по закону арифметической прогрессии в течение 10 лет при поступлении денег в конце каждого года. Начисление про­центов производится по ставке 12 % годовых. Выплата в конце первого года переменного потока платежей равна 44 тыс. руб- Современная стоимость переменного потока платежей — 300 тыс. руб, Определить постоянное годовое приращение выплат

Решение- Коэффицишт приведения ПОСТОЯННОЙ ренты посту- мсрандо ап>1 был определен в предыдущем примере:

art;i = 5,6502225.

/(ля определен кя постоянного годового приращения выплат в ос поль­зу«-мен формулой (2,70):

a = i , ШООО-ШОО' 5,650Ш5 = g .

5,6502225 — 10 ■ 1Д2

2.5.2. Расчёт срока ренты. В практической деятельности воз­никают задачи определения срока ренты при прочих известных па­раметрах. Рассмотрим решение этой задачи для нескольких тип о а |жнт. Срок ренты определяется иэ формул для наращённой суммы и современной стоимости ренты> которые получены нами par г ее. Наи­более общим случаем постоянной ренты является рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. Для этой ренты наращённая сумма определяется формулами (2.18) и (2.19). Перепишем эти формулы, объединив их в одну:

Л (2.71)

5= R

Представки (2.71) в виде:

Прологарифмировав правую и левую части этого равенства, получим:

Решив это уравнение относительно окончательно получим:

■I, г

Ч

+ 1
(2.72)
rn In

m/p

) ^

П =

»4)

При расчёте но этой формуле срок получается, как правило, дроб­ным.

Поэтому количество периодов пр округляется до целого числа. Затем уточняется значение разового платежа по формуле, следующей из (2.71):

ИГ

(2,73)

(i+r

V

Пример 2.37, Б фонд ежегодно поступают сродства, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причём выплаты про­изводятся в конце каждого квартала) а проценты начисляются ежеме­сячно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс, руб, Определить срок ренты.

* ■= ^
- 1

Решение. Срок ренты находится по формуле (2,72):

In
+ 1
Я1

ЫТ

п =
тп In

К)

А
ia/4

ИГ

ю4

- 1

+ 1

ОД5\ 12;
12 In 1 +

In 2,518828 й а — 0,107 лет.

12 ► 1x11,0125

Количество кварталов в полученном сроке составит пр — С, 197 ■ 4 = — 24,788. Округляем полученное число до 25, то есть количество лет ренты принимается равным 6,25, Подставив это число в форму­лу (2.73), получим величину ежеквартальной выплаты;

£-8
= ios
= 2407,56 руб.
120,25
0,15

TT

-1
»
-1

иг-

R)'

Если известна современная стоимость ренты с начислением процен­тов по номинальной процентной ставке н с неоднократными выплатами

в году, то срок такой рейты может быть найден из формул (2.21) и (2.22), Перепишем эти формулы, объединив их в одну:

(2.74)
1/р
2У

т }

1 +

А = Я-

Решив это уравнение относительно п, получим:

3 \т/р 1+ — '1 7Т1 /
(
п = —

(2.75)

т

[ і +

V т ;

Формула для уточнения значения разового платежа имеет иид;

1

т/р

■ \ т + -)

(2.76)

гп }

-(»а-

Пример 2Л8, Долг о размере 50 тыс. руб, погашается равными частями в конце каждого квартала по 2,5 тыс. руб. На взносы начисля­ются проценты раз в году по ста&ке 15 % годовых. Определить время погашения долга.

Решение. Срок ренты находится но формуле (2.75), которая для условий примера принимает вид:

-і)
1/Р
1п
(1-М)
п =

м

1п{1 + 0 ™ 1п (1 + 0,15)

1п0,238838 . оол

лет.

= ьїдГ^ = 8,886

Количество кварталов в полученном сроке составит пр = 8,886 - 4 = ~ 35,5. Округляем полученное число до 35, то есть количество лет рен­ты принимается равным 8,75. Подставив это число в формулу (2,76), уточним величину ежеквартальной выплаты:

5 = /1(і±і!^і=5оооо-

1,1В1"-1 1Д5-*7*
= 2 519,6 руб.

Р 1 - (1 -!- і) 1

Рассмотрим ещё один пример определения срока для р — срочной ренты с непрерывным начислением процентов при известной наращён-

ной сумме, определяемой формулами (2.24). Объединив эти формулы в одну, получим:

З^Я-е£П~1 (2.77)

р - 1)

Из формулы (2.77) определяем срок ренты;

£

п ~ \ 1п о

Формула для расчёта уточнённой величины разовой выплаты следует из (2.77):

Пример 2.39. В фонд ежегодно поступают средства, на которые начисляются проценты но силе роста 16% годовых, причём выплаты производятся в конце каждого кпартала, а проценты начисляются непрерывно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс- руб. Определить срок ренты.

Решение. Срок ренты находится по формуле (2.78):

1 і

п — 7 1п

о

- 6,184 года.

Количество кварталов в полученном сроке составит пр = 6,184 ■ 4 = = 24,736. Округляем полученное число до 25} то есть количество лет ренты принимается равным б,25< Подставив это число в форму­лу (2.79), получим величину ежеквартальной выплаты;

К -1 е^-1

~ = Т - 3-00000 то 1 = 2 459,50 руб. Я

Р е — 1 е 1 — 1

Для других типов ренты срок находится аналогично.

2,5,3. Расчёт процентной ставки ренты* Если известны все параметры ренты, кроме процентной ставки, то расчёт процентной ставки можно трактовать как определение доходности финансовой операции, Процентная ставка определяется из соотношений для рас­чёта наращённой суммы и современной стоимости но формулам, по­лученным выше для различных типов рент. В отличие от определе­ния годовой выплаты ренты или её срока, выражение для расчёта процентной ставки, как правило, нельзя представить в виде фор­мулы, Поэтому процентную ставку ренты рассчитывают цифровыми способами. Рассмотрим один из них, называемый методом Ньютона- Рафона.

Рис. 2Л0

В общем случае метод Ныотоиа-Р&фсонасостоігт в последователь­ном приближении к решению xq нелинейного уравнения f[x) = 0. Рас­смотри« геометрический смысл метода, поясняемый рисунком 2.10-

Предполагается, что функция /(і) в исследуемой области является гладкой, непрерывной, монотонно возрастающей или монотонно убы­вающей. Вблизи решения выбирается произвольная точка . Через точку {x\J (xj)) проводится касательная к функции /{%)> которая пересекается с осью Оя в точке х^• Как следует из рис. 2,10, эта точка лежит ближе к решению xq по сравнению с точкой Координата точки Х2 определяется из геометрии рис. 2.10. Из прямоугольного тре­угольника следует, что

tg a (2,00)

Лі - %2

"ІТак как tgOf является производной f (х-[) функции f{x) в точке X\t то решение (2,80) относительно х2 можно записать в виде:

я*о /

Аналогично находится координата точки Хз ещё ближе лежащей к ре­шению В общем случае реку рентное соотношение можно предста­вить в виде;

где t — номер итерации-

Для годовой ренты наращённая сумма определяется формулой (2.5), которую перепишем в виде:

I - 4;

= --££4 = 1,1171235. f (яз)

Поскольку результаты во второй и в третьей итерациях слабо от­личаются друг от друга, то вычисления можно прекратить и при­нять в соответствии с (2.83) г - % -1 = 0,117123 5 или 11,712 35%,

Другим методом, подтверждающим окончание вычислений, яшіяегся проверка. Для этого в правую часть уравнения (2.82) подставляют полученное значение ставки. Если результат совладает с левой частью или слабо отличается от неё, то вычисления прекращаются, Для рас­сматриваемого примера

і 0,117 12:5 5

Поскольку результаты практически совпали, так как о/Я = І0, то принимаем і = 11,712 35 % ~ 11,71%. 9

Аналогичным образом проводится расчёт процентной ставки и для других рент. Например, современная стоимость р-срочиой ренты опре­деляется формулами (2.16) н (2Д7), которые запишем и *жде:

Д р[(1 + і)1/р-і]

Так же как и в предыдущем случае, это уравнение приведем к виду, удобному для дальнейших расчётов. Введём замену (2.83) и перенесем правую часть (2.80) влево. П результате получим:

;; г ^

х1'* -1]

Умножив левую и правую частя этого уравнения на р (х1^ — 1) а;", найдём:

D качестве искомой функции принимаем:

f{x) - - (i-H £ р) + L (2.87)

Производная этой функции вычисляется по формуле:

Пример 2.41, Единовременное вложение средств л предприятие составило 50 тыс. руб. В течение 7 лег по истечении каждого квартала инвестор получает 2,5 тыс. руб. Определить доходность инвестиций.

Решение. Для решения используются формулы (2.81), (2.87) и )2(8). Я)%66:?= № гмс. ?У6„ А/Л = е Подожьм о, = 1,15.

Первая итерация:

/ С=В1> = д - (1 + ^ р) + 1 = 5 - 4 ■ 1,1Б7'ав -

-(1 + 5-4) 1,15г + 1 = 0,231683;

М -(»+;) д Р*Т'- » (1 + £ Р) «Г1 -

= 7,25 ■ 5 ■ 4 ■ 1,15й'" - 7 (М- 5 ■ 4) 1,15В = 83;

= Е]

Вторая итерация:

/(т2) = - (1+ -^£ + 1 = 0,052 001;

АЗ

/' Ы = (п + £ - п (1 + ^ р) хГ1 = 4,12418,

= 1,105 507 6.

гм

Третья итерации;

/*

<< | >>
Источник: Б.Т. Кузнецов. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. — М.: Издательство «Экзамен», — 128 с.. 2005

Еще по теме 2.5. Определение параметров потока платежей:

  1. §5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
  2. 4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДРУГИХ ВИДОВ РЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ
  3. 2.1. Материальные потоки и их параметры
  4. 6.2. ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЦЕЛЕВЫХ ПАРАМЕТРОВ ОРГАНИЗАЦИИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ ПРЕДПРИЯТИЯ
  5. 4.3.2. Потоки платежей
  6. 2. Потоки платежей
  7. 10.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПЛАТЕЖЕЙ И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА
  8. 4.3.2. Потоки платежей
  9. 2.1. Потоки платежей
  10. Случайные потоки, платежей
  11. Потоки платежей 2.2.
  12. 1.6. Определение параметров финансовой ренты
  13. 2.7.Дюрация потоков платежей
  14. Определение первичных параметров финансовых рент
  15. 9.2. Случайные потоки платежей